Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Tính lồi lõm của đồ thị và bất đẳng thứcグラフの凹凸（おうとつ）と不等（ふとう）式（しき）

Công thức公式

f(p x_1 + q x_2) \le p f(x_1) + q f(x_2)
\sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \ge \frac{\sin x + \sin y}{2}
f(p_1 x_1 + p_2 x_2 + \dots + p_n x_n) \le p_1 f(x_1) + p_2 f(x_2) + \dots + p_n f(x_n)

Ví dụ例題

Cho x = 0 và y = pi/3. Sử dụng bất đẳng thức sin((x+y)/2) >= (sin x + sin y)/2 để tính giá trị sin(pi/6) và kiểm tra bất đẳng thức.

x = 0 および y = pi/3 とします。不（ふ）等式（とうしき） sin((x+y)/2) >= (sin x + sin y)/2 を用（もち）いて sin(pi/6) の値（あたい）を計算（けいさん）し、不（ふ）等式（とうしき）を検証（けんしょう）しなさい。

  1. Tính trung điểm (x+y)/2 = (0 + pi/3)/2 = pi/6, ta có vế trái là sin(pi/6) = 1/2.中点（なかてん） (x+y)/2 = (0 + pi/3)/2 = pi/6 を計算（けいさん）すると、左辺（さへん）は sin(pi/6) = 1/2 となります。
  2. Tính vế phải: (sin 0 + sin(pi/3))/2 = (0 + sqrt(3)/2)/2 = sqrt(3)/4.右辺（うへん）を計算（けいさん）します：(sin 0 + sin(pi/3))/2 = (0 + sqrt(3)/2)/2 = sqrt(3)/4 となります。
  3. So sánh hai vế: vì 1/2 = 2/4 > sqrt(3)/4 (do 2 > sqrt(3) approx 1.732), bất đẳng thức 1/2 >= sqrt(3)/4 được thỏa mãn.両辺（りょうへん）を比較（ひかく）します：2 > sqrt(3) ≒ 1.732 より 1/2 = 2/4 > sqrt(3)/4 となり、不（ふ）等式（とうしき） 1/2 >= sqrt(3)/4 が成立（せいりつ）します。
Giá trị vế trái sin(pi/6) bằng 1/2, lớn hơn vế phải sqrt(3)/4, phù hợp với tính chất lồi lên của hàm sin trên [0, pi].左辺（さへん）の sin(pi/6) の値（あたい）は 1/2 であり、右辺（うへん）の sqrt(3)/4 より大（おお）きく、[0, pi] における正弦（せいげん）関数（かんすう）の上（うえ）に凸（とつ）の性質（せいしつ）に合致（がっち）しています。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Áp dụng bất đẳng thức sin((x+y)/2) >= (sin x + sin y)/2 với x = pi/6 và y = pi/2. Giá trị của vế trái sin((x+y)/2) là bao nhiêu?x = pi/6 および y = pi/2 に対（たい）して不等（ふとう）式（しき） sin((x+y)/2) >= (sin x + sin y)/2 を適用（てきよう）します。左辺（さへん） sin((x+y)/2) の値（あたい）はいくらですか。

2. Cho hàm f lồi xuống thỏa mãn f(p x_1 + q x_2) <= p f(x_1) + q f(x_2). Với x_1 = 1, x_2 = 5, f(1) = 2, f(5) = 10, chọn p = 1/2 và q = 1/2. Giá trị vế phải p f(x_1) + q f(x_2) bằng bao nhiêu?下（した）に凸（とつ）な関数（かんすう） f が f(p x_1 + q x_2) <= p f(x_1) + q f(x_2) を満（み）たすとします。x_1 = 1, x_2 = 5, f(1) = 2, f(5) = 10, p = 1/2, q = 1/2 のとき、右辺（うへん） p f(x_1) + q f(x_2) の値（あたい）はいくらですか。

3. Trong bất đẳng thức mở rộng f(p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3) <= p_1 f(x_1) + p_2 f(x_2) + p_3 f(x_3), nếu chọn p_1 = 1/3, p_2 = 1/3 và p_3 = k, thì k nhận giá trị nào để bất đẳng thức hợp lệ?拡張（かくちょう）不（ふ）等式（とうしき） f(p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3) <= p_1 f(x_1) + p_2 f(x_2) + p_3 f(x_3) において、p_1 = 1/3, p_2 = 1/3, p_3 = k とするとき、不（ふ）等式（とうしき）が成立（せいりつ）するための k の値（あたい）はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững định nghĩa và tính chất của đồ thị lồi xuống và lồi lên.下（した）に凸（とつ）および上（うえ）に凸（とつ）のグラフの定義（ていぎ）と性質（せいしつ）を理解（りかい）する。
  2. Áp dụng công thức lồi lõm để chứng minh bất đẳng thức cho hai hay nhiều biến.凹凸（おうとつ）の公式（こうしき）を適用（てきよう）して、2変数（へんすう）または多（た）変数（へんすう）の不（ふ）等式（とうしき）を証明（しょうめい）する。
Trực giác · イメージ

Sự so sánh giữa dây cung và đồ thị hàm số弦（げん）と関数（かんすう）グラフの比較（ひかく）

Khi nối hai điểm trên đồ thị lồi xuống bằng một đoạn thẳng, đoạn thẳng đó luôn nằm phía trên hoặc trùng với đồ thị. Ngược lại, đối với đồ thị lồi lên, đoạn thẳng nối hai điểm luôn nằm phía dưới hoặc trùng với đồ thị.

下（した）に凸（とつ）のグラフ上（じょう）の2点（てん）を線分（せんぶん）で結（むす）ぶと、その線分（せんぶん）は常（つね）にグラフの上側（うえがわ）または一致（いっち）する位置（いち）にあります。逆（ぎゃく）に上（うえ）に凸（とつ）のグラフでは、2点（てん）を結（むす）ぶ線分（せんぶん）は常（つね）にグラフの下側（したがわ）または一致（いっち）する位置（いち）にあります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 下（した）に凸（とつ）Lồi xuống

    Đồ thị hàm số lồi xuống khi dây cung nối hai điểm bất kỳ nằm phía trên đồ thị. Tương ứng, giá trị hàm số tại trung điểm hoặc điểm chia trong nhỏ hơn hoặc bằng trung bình trọng số các giá trị hàm số.

    任意（にんい）の2点（てん）を結（むす）ぶ弦（げん）がグラフの上側（うえがわ）にあるとき、関数（かんすう）グラフは下（した）に凸（とつ）であると言（い）います。対応（たいおう）する内分（ないぶん）点（てん）での関数（かんすう）値（ち）は、関数（かんすう）の値（あたい）の加重（かじゅう）平均（へいきん）以下（いか）になります。

  • 上（うえ）に凸（とつ）Lồi lên

    Đồ thị hàm số lồi lên khi dây cung nối hai điểm bất kỳ nằm phía dưới đồ thị. Với hàm lồi lên như hàm sin trên đoạn từ 0 đến pi, giá trị hàm số tại trung điểm lớn hơn hoặc bằng trung bình cộng hai giá trị hàm số.

    任意（にんい）の2点（てん）を結（むす）ぶ弦（げん）がグラフの下側（したがわ）にあるとき、関数（かんすう）グラフは上（うえ）に凸（とつ）であると言（い）います。0からpiの範囲（はんい）の正弦（せいげん）関数（かんすう）のように上（うえ）に凸（とつ）な関数（かんすう）では、中点（ちゅうてん）での関数（かんすう）値（ち）は2つの関数（かんすう）値（ち）の相加（そうか）平均（へいきん）以上（いじょう）になります。

  • 凹凸（おうとつ）の性質（せいしつ）の拡張（かくちょう）Mở rộng tính chất lồi lõm

    Tính chất lồi lõm cho hai điểm có thể mở rộng cho n điểm với các trọng số có tổng bằng 1. Điều này cho phép chứng minh các bất đẳng thức tổng quát nhiều biến từ tính lồi lõm của đồ thị.

    2点（てん）に対（たい）する凹凸（おうとつ）の性質（せいしつ）は、和（わ）が1となる重（おも）みを持（も）つn個（こ）の点（てん）へ拡張（かくちょう）できます。これにより、グラフの凹凸（おうとつ）性（せい）から多（た）変数（へんすう）の一般（いっぱん）化（か）不（ふ）等式（とうしき）を証明（しょうめい）することが可能（かのう）になります。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：関数（かんすう）の凹凸（おうとつ）性（せい）を確認（かくにん）する

    Bước 1: Xác định tính lồi lõm của hàm số

    Xác định xem hàm số lồi xuống hay lồi lên trên khoảng đang xét. Điều này quyết định chiều của bất đẳng thức giữa giá trị hàm số tại điểm chia và trung bình trọng số.

    検討（けんとう）対象（たいしょう）の区間（くかん）で関数（かんすう）が下（した）に凸（とつ）か上（うえ）に凸（とつ）かを確認（かくにん）します。これにより、内分（ないぶん）点（てん）での関数（かんすう）値（ち）と加重（かじゅう）平均（へいきん）との間（あいだ）の不（ふ）等号（とうごう）の向（む）きが決（き）まります。

  2. 02
    ステップ2：2点（てん）に対（たい）する不（ふ）等式（とうしき）を立（た）てる

    Bước 2: Thiết lập bất đẳng thức cho hai điểm

    Áp dụng công thức lồi lõm cho hai điểm với các hệ số trọng số p và q sao cho p cộng q bằng 1. Đối với trung điểm, chọn p bằng q và bằng 1/2.

    和（わ）が1となる重（おも）み係数（けいすう）pとqを用（もち）いて、2点（てん）に対（たい）する凹凸（おうとつ）公式（こうしき）を適用（てきよう）します。中点（ちゅうてん）の場合（ばあい）は、pとqをともに1/2とします。

  3. 03
    ステップ3：多点（たてん）へ拡張（かくちょう）する

    Bước 3: Mở rộng cho nhiều điểm

    Sử dụng dạng mở rộng của tính chất lồi lõm cho n điểm với các trọng số p_1 đến p_n có tổng bằng 1. Thay các giá trị cụ thể để thu được bất đẳng thức cần chứng minh.

    和（わ）が1となる重（おも）みp_1からp_nを持（も）つn点（てん）に対（たい）する凹凸（おうとつ）の拡張（かくちょう）形式（けいしき）を使用（しよう）します。具体（ぐたい）的（てき）な値（あたい）を代入（だいにゅう）して、証明（しょうめい）すべき不（ふ）等式（とうしき）を導（みちび）きます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn chiều bất đẳng thức giữa đồ thị lồi xuống và đồ thị lồi lên.下（した）に凸（とつ）のグラフと上（うえ）に凸（とつ）のグラフで不（ふ）等号（とうごう）の向（む）きを逆（ぎゃく）にしてしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Đồ thị lồi xuống có f(p x_1 + q x_2) <= p f(x_1) + q f(x_2), còn đồ thị lồi lên có chiều ngược lại >=.下（した）に凸（とつ）のグラフでは f(p x_1 + q x_2) <= p f(x_1) + q f(x_2) であり、上（うえ）に凸（とつ）のグラフでは逆（ぎゃく）の向（む）き >= になります。

Quên điều kiện các trọng số p_i phải có tổng bằng 1 và không âm.重（おも）み p_i の和（わ）が 1 であり、かつ非（ひ）負（ふ）でなければならないという条件（じょうけん）を忘（わす）れる。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn kiểm tra p_1 + p_2 + ... + p_n = 1 và p_i >= 0 trước khi áp dụng bất đẳng thức mở rộng.拡張（かくちょう）不（ふ）等式（とうしき）を適用（てきよう）する前（まえ）に、常（つね）に p_1 + p_2 + ... + p_n = 1 かつ p_i >= 0 であることを確認（かくにん）してください。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Đồ thị lồi xuống có giá trị tại điểm chia trong nhỏ hơn hoặc bằng trung bình trọng số giá trị hàm số.下（した）に凸（とつ）のグラフでは、内分（ないぶん）点（てん）での値（あたい）は関数（かんすう）の値（あたい）の加重（かじゅう）平均（へいきん）以下（いか）になります。
  • Hàm sin trên khoảng [0, pi] có tính lồi lên, thỏa mãn sin((x+y)/2) >= (sin x + sin y)/2.区間（くかん） [0, pi] における正弦（せいげん）関数（かんすう）は上（うえ）に凸（とつ）の性質（せいしつ）を持（も）ち、sin((x+y)/2) >= (sin x + sin y)/2 を満（み）たします。
  • Tính chất lồi lõm có thể mở rộng cho n điểm với tổng các trọng số p_i bằng 1.凹凸（おうとつ）の性質（せいしつ）は、重（おも）み p_i の総和（そうわ）が 1 となる n 個（こ）の点（てん）に拡張（かくちょう）できます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

f(p x_1 + q x_2) \le p f(x_1) + q f(x_2)

Bất đẳng thức lồi xuống cho hai điểm x_1 và x_2 với p + q = 1 và p, q >= 0. Giá trị hàm tại điểm chia trong không vượt quá trung bình trọng số.

p + q = 1かつp, q >= 0を満（み）たす2点（てん）x_1, x_2に対（たい）する下（した）に凸（とつ）の不（ふ）等式（とうしき）です。内分（ないぶん）点（てん）での関数（かんすう）値（ち）は加重（かじゅう）平均（へいきん）を超（こ）えません。

\sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \ge \frac{\sin x + \sin y}{2}

Bất đẳng thức cho hàm sin tại trung điểm x và y trong khoảng lồi lên. Giá trị sin của trung điểm hai góc lớn hơn hoặc bằng trung bình cộng sin của hai góc.

上（うえ）に凸（とつ）な区間（くかん）におけるxとyの中点（ちゅうてん）に対（たい）する正弦（せいげん）関数（かんすう）の不（ふ）等式（とうしき）です。2つの角（かく）の中点（ちゅうてん）での正弦（せいげん）値（ち）は、2つの正弦（せいげん）値（ち）の相加（そうか）平均（へいきん）以上（いじょう）になります。

f(p_1 x_1 + p_2 x_2 + \dots + p_n x_n) \le p_1 f(x_1) + p_2 f(x_2) + \dots + p_n f(x_n)

Dạng mở rộng của bất đẳng thức lồi xuống cho n điểm với tổng các p_i bằng 1. Bất đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hàm số tại tâm điểm trọng số và tổng trọng số hàm số.

p_iの和（わ）が1となるn点（てん）に対（たい）する下（した）に凸（とつ）の不（ふ）等式（とうしき）の拡張（かくちょう）形式（けいしき）です。重（おも）み付（つ）き中心（ちゅうしん）点（てん）での関数（かんすう）値（ち）と関数（かんすう）の重（おも）み付（つ）き総和（そうわ）との関係（かんけい）を示（しめ）します。

EJU 2026 · MATH.19.2

Tính lồi lõm của đồ thị giúp chứng minh các bất đẳng thức quan trọng giữa giá trị của hàm số và tổ hợp tuyến tính các điểm. Hiểu rõ tính chất lồi xuống hoặc lồi lên cho phép mở rộng bất đẳng thức cho nhiều biến.

グラフの凹凸（おうとつ）性（せい）は、関数（かんすう）の値（あたい）と点（てん）の線形（せんけい）結合（けつごう）との間（あいだ）の重要（じゅうよう）な不（ふ）等式（とうしき）を証明（しょうめい）するのに役立（やくだ）ちます。下（した）に凸（とつ）や上（うえ）に凸（とつ）の性質（せいしつ）を理解（りかい）することで、多（た）変数（へんすう）の不（ふ）等式（とうしき）へ拡張（かくちょう）できます。

グラフの凹凸（おうとつ）と不等（ふとう）式（しき）
下に凸上に凸凹凸の性質の拡張