Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Hàm số lôgarit và đồ thị của nó対数（たいすう）関数（かんすう）とそのグラフ

Công thức公式

y = \log_a x
0 < p < q \iff \log_a p < \log_a q \quad (a > 1)
0 < p < q \iff \log_a p > \log_a q \quad (0 < a < 1)
\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}

Ví dụ例題

So sánh độ lớn của ba số u = \(\log_2\) 3, v = \(\log_2\) 5, w = \(\log_{\frac{1}{2}}\) \(\frac{1}{4}\).

3つの数（かず） u = \(\log_2\) 3, v = \(\log_2\) 5, w = \(\log_{\frac{1}{2}}\) \(\frac{1}{4}\) の大小（だいしょう）関係（かんけい）を比較（ひかく）しなさい。

  1. Tính giá trị của w: w = \(\log_{\frac{1}{2}}\) \(\frac{1}{4}\) = 2.wの値（あたい）の計算（けいさん）：w = \(\log_{\frac{1}{2}}\) \(\frac{1}{4}\) = 2 となります。
  2. Vì cơ số 2 > 1 nên hàm số y = \(\log_2\) x là hàm số đồng biến. Do 2 < 3 < 4, ta có \(\log_2\) 2 < \(\log_2\) 3 < \(\log_2\) 4, suy ra 1 < u < 2.底（そこ）2 > 1より関数（かんすう） y = \(\log_2\) x は増加（ぞうか）関数（かんすう）です。2 < 3 < 4 より \(\log_2\) 2 < \(\log_2\) 3 < \(\log_2\) 4 となり、1 < u < 2 が得（え）られます。
  3. Do 4 < 5 < 8, ta có \(\log_2\) 4 < \(\log_2\) 5 < \(\log_2\) 8, suy ra 2 < v < 3.4 < 5 < 8 より \(\log_2\) 4 < \(\log_2\) 5 < \(\log_2\) 8 となり、2 < v < 3 が得（え）られます。
  4. Kết hợp các kết quả 1 < u < 2, w = 2, và 2 < v < 3, ta thu được thứ tự u < w < v.1 < u < 2, w = 2, 2 < v < 3 の結果（けっか）を合（あ）わせると、u < w < v の順序（じゅんじょ）が得（え）られます。
Vậy thứ tự độ lớn là u < w < v.したがって、大小（だいしょう）関係（かんけい）は u < w < v です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hàm số y = \(\log_{\frac{1}{3}}\) x. Mệnh đề nào sau đây là đúng về đồ thị và tính chất của hàm số này?関数（かんすう） y = \(\log_{\frac{1}{3}}\) x について、そのグラフと性質（せいしつ）に関（かん）する記述（きじゅつ）として正（ただ）しいものはどれですか。

2. So sánh hai số A = \(\log_{0.5}\) 3 và B = \(\log_{0.5}\) 5.2つの数（かず） A = \(\log_{0.5}\) 3 と B = \(\log_{0.5}\) 5 の大小（だいしょう）関係（かんけい）を比較（ひかく）しなさい。

3. Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 4. Tìm giá trị của trung bình cộng \(\frac{x+y}{2}\) và đánh giá tích xy dựa trên bất đẳng thức \(\frac{x+y}{2}\) \(\ge\) \(\sqrt{xy}\).x + y = 4 を満（み）たす2つの正（せい）の数（かず） x, y について、相加（そうか）平均（へいきん） \(\frac{x+y}{2}\) の値（あたい）を求（もと）め、不（ふ）等式（とうしき） \(\frac{x+y}{2}\) \(\ge\) \(\sqrt{xy}\) を用（もち）いて積（せき） xy の最大（さいだい）値（ち）を評価（ひょうか）しなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.10.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.10.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu rõ các đặc trưng đồ thị của hàm số lôgarit y = log_a x như tập xác định, tập giá trị và đường tiệm cận.対数（たいすう）関数（かんすう） y = log_a x の定義（ていぎ）域（いき）、値域（ちいき）、漸近（ぜんきん）線（せん）などのグラフの特徴（とくちょう）を明確（めいかく）に理解（りかい）する。
  2. Vận dụng tính chất đồng biến và nghịch biến theo cơ số a để so sánh độ lớn của các lôgarit.底（そこ）aの値（あたい）に応（おう）じた増加（ぞうか）・減少（げんしょう）の性質（せいしつ）を利用（りよう）して、対数（たいすう）の大小（だいしょう）関係（かんけい）を正（ただ）しく比較（ひかく）できるようになる。
Trực giác · イメージ

Trực giác về sự thay đổi của hàm số lôgarit theo cơ số底（そこ）による対数（たいすう）関数（かんすう）の変化（へんか）に関（かん）する直感（ちょっかん）

Hàm số lôgarit y = log_a x là hàm ngược của hàm số mũ, luôn đi qua điểm (1, 0) và có trục tung làm đường tiệm cận. Chiều tăng hay giảm của đồ thị phụ thuộc trực tiếp vào cơ số a lớn hơn 1 hay nằm trong khoảng từ 0 đến 1.

対数（たいすう）関数（かんすう） y = log_a x は指数（しすう）関数（かんすう）の逆（ぎゃく）関数（かんすう）であり、点（てん）(1, 0)を必（かなら）ず通（かよ）ってy軸（じく）を漸近（ぜんきん）線（せん）とします。グラフが増加（ぞうか）するか減少（げんしょう）するかは、底（そこ）aが1より大（おお）きいか0と1の間（あいだ）にあるかによって決定（けってい）されます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 対数（たいすう）関数（かんすう）Hàm số lôgarit

    Hàm số lôgarit có dạng y = log_a x với cơ số a > 0 và a khác 1. Đây là hàm số ngược của hàm số mũ y = a^x. Đồ thị của nó luôn đi qua điểm đặc biệt (1, 0).

    対数（たいすう）関数（かんすう）は底（そこ）a > 0かつa ≠ 1として y = log_a x の形（かたち）で表（あらわ）されます。これは指数（しすう）関数（かんすう） y = a^x の逆（ぎゃく）関数（かんすう）です。そのグラフは常（つね）に特別（とくべつ）な点（てん）(1, 0)を通（とお）ります。

  • 底（そこ）Cơ số

    Cơ số a là yếu tố quyết định hình dạng và tính chất biến thiên của hàm số lôgarit. Cơ số phải luôn thỏa mãn điều kiện dương và khác 1. Giá trị của cơ số so với 1 quyết định hàm số đồng biến hay nghịch biến.

    底（そこ）aは対数（たいすう）関数（かんすう）のグラフの形状（けいじょう）と増減（ぞうげん）特性（とくせい）を決定（けってい）する要素（ようそ）です。底（そこ）は常（つね）に正（せい）かつ1でない条件（じょうけん）を満（み）たす必要（ひつよう）があります。底（そこ）と1との大小（だいしょう）関係（かんけい）によって関数（かんすう）の単調（たんちょう）性（せい）が決（き）まります。

  • 漸近（ぜんきん）線（せん）Đường tiệm cận

    Đường tiệm cận của hàm số lôgarit y = log_a x là trục tung có phương trình x = 0. Khi x tiến dần về 0 từ phía bên phải, đồ thị tiến sát đến trục tung nhưng không bao giờ cắt trục này. Đây là đường tiệm cận đứng của đồ thị.

    対数（たいすう）関数（かんすう） y = log_a x の漸近（ぜんきん）線（せん）は方程（ほうてい）式（しき） x = 0 で表（あらわ）されるy軸（じく）です。xが右側（みぎがわ）から0に近（ちか）づくとき、グラフはy軸（じく）に無限（むげん）に近（ちか）づきますが交（まじ）わることはありません。これはグラフの垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）です。

  • 定義（ていぎ）域（いき）Tập xác định

    Tập xác định của hàm số lôgarit y = log_a x là khoảng (0, +infinity). Biểu thức lấy lôgarit x bắt buộc phải nhận giá trị thực dương. Việc xác định đúng tập xác định là bước đầu tiên để giải các bài toán lôgarit.

    対数（たいすう）関数（かんすう） y = log_a x の定義（ていぎ）域（いき）は開（ひらけ）区間（くかん） (0, +infinity) です。真数（しんすう）xは必（かなら）ず正（せい）の実（じつ）数値（すうち）をとらなければなりません。正（ただ）しい定義（ていぎ）域（いき）の特定（とくてい）は対数（たいすう）問題（もんだい）を解（と）く最初（さいしょ）のステップです。

  • 値域（ちいき）Tập giá trị

    Tập giá trị của hàm số lôgarit y = log_a x là toàn bộ tập số thực R. Giá trị y có thể nhận bất kỳ số thực nào từ âm vô cùng đến dương vô cùng. Điều này khác biệt với hàm số mũ có tập giá trị chỉ gồm các số dương.

    対数（たいすう）関数（かんすう） y = log_a x の値域（ちいき）は実数（じっすう）全体（ぜんたい） R です。yの値（あたい）は負（ふ）の無限（むげん）大（だい）から正（せい）の無限（むげん）大（だい）まで任意（にんい）の実数（じっすう）をとることができます。これは値域（ちいき）が正（せい）の実数（じっすう）に限（かぎ）られる指数（しすう）関数（かんすう）とは対照（たいしょう）的（てき）です。

  • 増加（ぞうか）関数（かんすう）Hàm số đồng biến

    Khi cơ số a > 1, hàm số lôgarit y = log_a x là hàm số đồng biến trên toàn bộ tập xác định. Khi đó, với hai số dương p < q, ta luôn có log_a p < log_a q. Tính chất này giúp so sánh hai lôgarit mà không cần đảo chiều bất đẳng thức.

    底（そこ）a > 1のとき、対数（たいすう）関数（かんすう） y = log_a x は定義（ていぎ）域（いき）全体（ぜんたい）で増加（ぞうか）関数（かんすう）となります。このとき、2つの正（せい）の数（かず） p < q に対（たい）して常（つね）に log_a p < log_a q が成立（せいりつ）します。この性質（せいしつ）により不（ふ）等号（とうごう）を維持（いじ）して対数（たいすう）を比較（ひかく）できます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：定義（ていぎ）域（いき）、値域（ちいき）、漸近（ぜんきん）線（せん）の特定（とくてい）

    Bước 1: Xác định tập xác định, tập giá trị và đường tiệm cận

    Tập xác định của hàm số lôgarit y = log_a x là tập hợp các số thực dương x > 0, còn tập giá trị là toàn bộ tập số thực R. Đồ thị hàm số nhận trục tung x = 0 làm đường tiệm cận đứng.

    対数（たいすう）関数（かんすう） y = log_a x の定義（ていぎ）域（いき）は正（せい）の実数（じっすう）全体（ぜんたい） x > 0 であり、値域（ちいき）は実数（じっすう）全体（ぜんたい） R です。グラフは y 軸（じく）（直線（ちょくせん） x = 0）を垂直（すいちょく）な漸近（ぜんきん）線（せん）として持（も）ちます。

  2. 02
    ステップ2：底（そこ）aによる増減（ぞうげん）の分析（ぶんせき）

    Bước 2: Phân tích chiều biến thiên theo cơ số a

    Khi cơ số a > 1, hàm số lôgarit là hàm số đồng biến, tức là x tăng thì y tăng. Ngược lại, khi 0 < a < 1, hàm số lôgarit là hàm số nghịch biến, tức là x tăng thì y giảm.

    底（そこ） a > 1 のとき、対数（たいすう）関数（かんすう）は増加（ぞうか）関数（かんすう）となり x が増加（ぞうか）すると y も増加（ぞうか）します。一方（いっぽう）、0 < a < 1 のときは減少（げんしょう）関数（かんすう）となり x が増加（ぞうか）すると y は減少（げんしょう）します。

  3. 03
    ステップ3：同（どう）底（てい）の対数（たいすう）の大小（だいしょう）比較（ひかく）

    Bước 3: So sánh độ lớn lôgarit cùng cơ số

    Để so sánh log_a p và log_a q với 0 < p < q, ta dựa vào giá trị của cơ số a. Nếu a > 1 thì giữ nguyên chiều bất đẳng thức log_a p < log_a q; nếu 0 < a < 1 thì đảo chiều thành log_a p > log_a q.

    0 < p < q における log_a p と log_a q の大小（だいしょう）を比較（ひかく）する際（さい）、底（そこ）aの条件（じょうけん）を確認（かくにん）します。a > 1 なら不（ふ）等号（とうごう）の向（む）きは保持（ほじ）され、0 < a < 1 なら不（ふ）等号（とうごう）の向（む）きが逆転（ぎゃくてん）します。

  4. 04
    ステップ4：相加（そうか）相乗（そうじょう）平均（へいきん）の不（ふ）等式（とうしき）の活用（かつよう）

    Bước 4: Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân

    Khi tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dạng lôgarit, ta áp dụng bất đẳng thức trung bình \((x + y) / 2 \ge \sqrt{xy}\) với x, y > 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y.

    対数（たいすう）を含（ふく）む式（しき）の最小（さいしょう）値（ち）を求（もと）める際（さい）、正（せい）の数（かず）に対（たい）する相加（そうか）相乗（そうじょう）平均（へいきん）の不（ふ）等式（とうしき） \((x + y) / 2 \ge \sqrt{xy}\) を利用（りよう）します。等号（とうごう）は x = y のときに成立（せいりつ）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên đảo chiều bất đẳng thức khi so sánh hai lôgarit có cơ số nằm trong khoảng (0, 1).底（そこ）が 0 < a < 1 の範囲（はんい）にあるとき、2つの対数（たいすう）を比較（ひかく）する際（さい）に不（ふ）等号（とうごう）の向（む）きを逆転（ぎゃくてん）し忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn kiểm tra điều kiện cơ số: nếu 0 < a < 1 thì từ 0 < p < q suy ra log_a p > log_a q vì hàm số nghịch biến.常（つね）に底（そこ）の条件（じょうけん）を確認（かくにん）しましょう。0 < a < 1 のときは関数（かんすう）が減少（げんしょう）するため、0 < p < q から log_a p > log_a q へと不（ふ）等号（とうごう）が逆転（ぎゃくてん）します。

Xác định nhầm đường tiệm cận của hàm số lôgarit y = log_a x thành đường nằm ngang y = 0 thay vì trục tung x = 0.対数（たいすう）関数（かんすう）のグラフの漸近（ぜんきん）線（せん）を、垂直（すいちょく）なy軸（じく） x = 0 ではなく水平（すいへい）な x軸（じく） y = 0 と誤認（ごにん）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Đồ thị hàm số lôgarit nhận trục tung x = 0 làm đường tiệm cận đứng, còn đồ thị hàm số mũ mới có tiệm cận ngang y = 0.対数（たいすう）関数（かんすう）のグラフはy軸（じく）（x = 0）を垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）として持（も）ち、水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）y = 0を持（も）つのは指数（しすう）関数（かんすう）であることを覚（おぼ）えておきましょう。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Hàm số lôgarit y = log_a x có tập xác định x > 0, tập giá trị R và đường tiệm cận đứng là trục tung x = 0.対数（たいすう）関数（かんすう） y = log_a x の定義（ていぎ）域（いき）は x > 0、値域（ちいき）は実数（じっすう）全体（ぜんたい） R、垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）はy軸（じく） x = 0 である。
  • Khi cơ số a > 1 hàm số đồng biến; khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến, cần lưu ý đảo chiều bất đẳng thức khi so sánh.底（そこ） a > 1 では増加（ぞうか）関数（かんすう）、0 < a < 1 では減少（げんしょう）関数（かんすう）となり、比較（ひかく）時（じ）の不（ふ）等号（とうごう）の逆転（ぎゃくてん）に注意（ちゅうい）する。
  • Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân \(\frac{x+y}{2}\) \(\ge\) \(\sqrt{xy}\) để giải các bài toán đánh giá và tìm cực trị.相加（そうか）相乗（そうじょう）平均（へいきん）の不（ふ）等式（とうしき） \(\frac{x+y}{2}\) \(\ge\) \(\sqrt{xy}\) を活用（かつよう）して、評価（ひょうか）や極値（きょくち）問題（もんだい）を解決（かいけつ）する。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

y = \log_a x

Công thức định nghĩa hàm số lôgarit cơ số a với biến số x > 0. Giá trị y đại diện cho số mũ cần thiết để \(a^{y} = x\). Công thức này là nền tảng cho mọi khảo sát đồ thị và tính chất của lôgarit.

変数（へんすう） x > 0 に対（たい）する底（そこ）aの対数（たいすう）関数（かんすう）の定義（ていぎ）式（しき）です。値（あたい）yは \(a^{y} = x\) となるために必要（ひつよう）な指数（しすう）を表（あらわ）します。この公式（こうしき）は対数（たいすう）のグラフ観察（かんさつ）と性質（せいしつ）理解（りかい）の根幹（こんかん）をなします。

0 < p < q \iff \log_a p < \log_a q \quad (a > 1)

Mối quan hệ tương đương này thể hiện tính chất đồng biến của hàm số lôgarit khi cơ số a lớn hơn 1. Do hàm số đồng biến, chiều bất đẳng thức giữa p và q được giữ nguyên cho log_a p và log_a q. Công thức được dùng trực tiếp để so sánh hai lôgarit.

この同値（どうち）関係（かんけい）は底（そこ）aが1より大（おお）きいときの対数（たいすう）関数（かんすう）の増加（ぞうか）特性（とくせい）を示（しめ）しています。関数（かんすう）が増加（ぞうか）するため、pとqの間（あいだ）の不（ふ）等号（とうごう）の向（む）きがそのまま対数（たいすう）に引き継（ひきつ）がれます。対数（たいすう）の大小（だいしょう）比較（ひかく）に直接（ちょくせつ）使用（しよう）されます。

0 < p < q \iff \log_a p > \log_a q \quad (0 < a < 1)

Mối quan hệ tương đương này thể hiện tính chất nghịch biến của hàm số lôgarit khi cơ số 0 < a < 1. Vì hàm số nghịch biến, chiều bất đẳng thức giữa p và q bị đổi chiều đối với lôgarit. Đây là điểm mấu chốt dễ nhầm lẫn khi giải bất phương trình lôgarit.

この同値（どうち）関係（かんけい）は底（そこ）が 0 < a < 1 のときの対数（たいすう）関数（かんすう）の減少（げんしょう）特性（とくせい）を示（しめ）しています。関数（かんすう）が減少（げんしょう）するため、pとqの間（あいだ）の不（ふ）等号（とうごう）の向（む）きが対数（たいすう）では逆転（ぎゃくてん）します。対数（たいすう）不（ふ）等式（とうしき）を解（と）く際（さい）の間違（まちが）いやすい急所（きゅうしょ）です。

\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}

Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cho hai số không âm x, y. Nó khẳng định trung bình cộng luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân. Công thức này thường dùng để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các lôgarit hoặc biểu thức mũ.

2つの非（ひ）負（ふ）の実数（じっすう）x, yに対（たい）する相加（そうか）相乗（そうじょう）平均（へいきん）の不（ふ）等式（とうしき）です。相加（そうか）平均（へいきん）は常（つね）に相乗（そうじょう）平均（へいきん）以上（いじょう）であることが主張（しゅちょう）されます。対数（たいすう）や指数（しすう）の和（わ）を含（ふく）む式（しき）の最小（さいしょう）値（ち）を求（もと）める際（さい）によく利用（りよう）されます。

EJU 2026 · MATH.10.2

Bài học này hướng dẫn cấu trúc của hàm số lôgarit y = log_a x và tính chất đồ thị của nó trong kỳ thi EJU. Bạn sẽ học cách xác định tập xác định, đường tiệm cận và so sánh độ lớn của lôgarit dựa vào cơ số.

本課（ほんか）では、EJU試験（しけん）に出題（しゅつだい）される対数（たいすう）関数（かんすう） y = log_a x の構造（こうぞう）とグラフの性質（せいしつ）を解説（かいせつ）します。定義（ていぎ）域（いき）や漸近（ぜんきん）線（せん）の特定（とくてい）、底（そこ）に基（もと）づく対数（たいすう）の大小（だいしょう）関係（かんけい）の比較（ひかく）方法（ほうほう）を学（まな）びます。

対数（たいすう）関数（かんすう）とそのグラフ
対数関数底漸近線定義域