Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Tính toán và tính chất của lôgarit対数（たいすう）の計算（けいさん）と性質（せいしつ）

Công thức公式

a^{\log_a b} = b
\log_a M^r = r \log_a M
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}
\log_a b = \frac{1}{\log_b a}

Ví dụ例題

Tính giá trị của biểu thức A = 3^{\(\log_3\) 5} + \(\log_4\) 8 - \(\log_9\) 3.

式（しき） A = 3^{\(\log_3\) 5} + \(\log_4\) 8 - \(\log_9\) 3 の値（あたい）を求（もと）めなさい。

  1. Áp dụng công thức a^{\(\log_a\) b} = b, ta có 3^{\(\log_3\) 5} = 5.公式（こうしき） a^{\(\log_a\) b} = b を適用（てきよう）すると、3^{\(\log_3\) 5} = 5 となります。
  2. Áp dụng công thức đổi cơ số sang cơ số 2, ta có \(\log_4\) 8 = \(\frac{\log_2 8}{\log_2 4}\) = \(\frac{3}{2}\).底（そこ）を2とする底（そこ）の変換（へんかん）公式（こうしき）を適用（てきよう）すると、\(\log_4\) 8 = \(\frac{\log_2 8}{\log_2 4}\) = \(\frac{3}{2}\) となります。
  3. Áp dụng công thức nghịch đảo \(\log_a\) b = \(\frac{1}{\log_b a}\), ta có \(\log_9\) 3 = \(\frac{1}{\log_3 9}\) = \(\frac{1}{2}\).逆数（ぎゃくすう）の公式（こうしき） \(\log_a\) b = \(\frac{1}{\log_b a}\) を適用（てきよう）すると、\(\log_9\) 3 = \(\frac{1}{\log_3 9}\) = \(\frac{1}{2}\) となります。
  4. Thay các giá trị vào biểu thức: A = 5 + \(\frac{3}{2}\) - \(\frac{1}{2}\) = 6.各値（かくち）を式（しき）に代入（だいにゅう）すると、A = 5 + \(\frac{3}{2}\) - \(\frac{1}{2}\) = 6 となります。
Vậy giá trị của biểu thức A là 6.したがって、式（しき） A の値（あたい）は 6 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính giá trị của biểu thức P = 2^{\(\log_2\) 7} + \(\log_3\) 27^2.式（しき） P = 2^{\(\log_2\) 7} + \(\log_3\) 27^2 の値（あたい）を求（もと）めなさい。

2. Cho \(\log_2\) 3 = x. Tính giá trị của \(\log_8\) 9 theo x.\(\log_2\) 3 = x とするとき、\(\log_8\) 9 の値（あたい）を x を用（もち）いて表（あらわ）しなさい。

3. Khi chứng minh \(\log_2\) 3 là số vô tỷ bằng phương pháp phản chứng, ta giả sử \(\log_2\) 3 = \(\frac{m}{n}\) (m, n là các số nguyên dương). Đẳng thức nào sau đây dẫn đến mâu thuẫn?背理（はいり）法（ほう）を用（もち）いて \(\log_2\) 3 が無理（むり）数（すう）であることを証明（しょうめい）するとき、\(\log_2\) 3 = \(\frac{m}{n}\)（m, n は正（せい）の整数（せいすう））と仮定（かてい）します。このとき矛盾（むじゅん）を導（みちび）く等式（とうしき）はどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.10.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.10.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu và áp dụng thành thạo các tính chất tính toán và công thức đổi cơ số của lôgarit.対数（たいすう）の計算（けいさん）性質（せいしつ）と底（そこ）の変換（へんかん）公式（こうしき）を理解（りかい）し、正（まさ）しく適用（てきよう）できるようになる。
  2. Nắm vững cách sử dụng phương pháp phản chứng để chứng minh một lôgarit là số vô tỷ.背理（はいり）法（ほう）を用（もち）いて対数（たいすう）が無理（むり）数（すう）であることを証明（しょうめい）する手法（しゅほう）をマスターする。
Trực giác · イメージ

Trực giác về phép tính và chuyển đổi cơ số lôgarit対数（たいすう）計算（けいさん）と底（そこ）の変換（へんかん）に関（かん）する直感（ちょっかん）

Lôgarit giúp chúng ta thao tác với các số mũ phức tạp thông qua các công thức biến đổi cơ số và hạ số mũ. Khi đổi cơ số, ta đưa các biểu thức về cùng một cơ số thích hợp để đơn giản hóa việc tính toán.

対数（たいすう）は底（そこ）の変換（へんかん）や累乗（るいじょう）の引き出（ひきだ）しを通（つう）じて、複雑（ふくざつ）な指数（しすう）を扱（あつか）いややすくします。適切（てきせつ）な共通（きょうつう）の底（そこ）に揃（そろ）えることで、式（しき）の計算（けいさん）を大幅（おおはば）に簡略（かんりゃく）化（か）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 対数（たいすう）の性質（せいしつ）Tính chất của lôgarit

    Các tính chất của lôgarit cho phép biến đổi biểu thức số mũ thành biểu thức tuyến tính. Quy tắc hạ số mũ r của M ra ngoài giúp đơn giản hóa việc tính toán. Đẳng thức a mũ log_a b bằng b cho kết quả trực tiếp.

    対数（たいすう）の性質（せいしつ）により、指数（しすう）の計算（けいさん）を線形（せんけい）な計算（けいさん）に変形（へんけい）できます。真数（しんすう）の累乗（るいじょう）rを前（まえ）に出（だ）す規則（きそく）は計算（けいさん）の簡略（かんりゃく）化（か）に役立（やくだ）ちます。aのlog_a b乗（のり）がbになる性質（せいしつ）も重要（じゅうよう）です。

  • 底（そこ）の変換（へんかん）公式（こうしき）Công thức đổi cơ số

    Công thức đổi cơ số cho phép chuyển lôgarit cơ số a sang cơ số c mới thông qua thương của hai lôgarit. Đặc biệt, khi c bằng b, ta có công thức nghịch đảo giữa log_a b và log_b a. Đây là công thức cốt lõi để xử lý các bài toán khác cơ số.

    底（そこ）の変換（へんかん）公式（こうしき）により、底（そこ）aの対数（たいすう）を新（あたら）しい底（そこ）cの商（しょう）として表（あらわ）すことができます。特（とく）にcがbのとき、log_a bとlog_b aの逆数（ぎゃくすう）関係（かんけい）が得（え）られます。底（そこ）が異（こと）なる問題（もんだい）を処理（しょり）するための必須（ひっす）公式（こうしき）です。

  • 無（む）理数（りすう）Số vô tỷ

    Số vô tỷ là số thực không thể biểu diễn dưới dạng phân số m/n với m, n là các số nguyên. Nhiều giá trị lôgarit của các số nguyên tố không trùng cơ số là số vô tỷ. Việc nhận biết số vô tỷ giúp đánh giá chính xác tập giá trị.

    無（む）理数（りすう）は整数（せいすう）m, nを用（もち）いた分数（ぶんすう）m/nとして表（あらわ）せない実数（じっすう）です。底（そこ）と真数（しんすう）の素因（そいん）数（すう）が異（こと）なる多（おお）くの対数（たいすう）画像（がぞう）は無理（むり）数（すう）となります。無（む）理数（りすう）の理解（りかい）は値（あたい）の範囲（はんい）の正確（せいかく）な把握（はあく）に不可欠（ふかけつ）です。

  • 背理（はいり）法（ほう）Phương pháp phản chứng

    Phương pháp phản chứng bắt đầu bằng việc giả sử mệnh đề cần chứng minh là sai. Từ giả thiết đó, ta thực hiện các phép biến đổi logic để dẫn đến một điều mâu thuẫn. Nhờ đó, ta kết luận mệnh đề ban đầu phải đúng.

    背理（はいり）法（ほう）は証明（しょうめい）したい命題（めいだい）の否定（ひてい）を仮定（かてい）することから始（はじ）まります。その仮定（かてい）から論理（ろんり）的（てき）な変形（へんけい）を進（すす）めて矛盾（むじゅん）を導き出（みちびきだ）します。これにより元（もと）の命題（めいだい）が正（ただ）しいことを結論（けつろん）付（つ）けます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：対数（たいすう）の累乗（るいじょう）引き出（ひきだ）し公式（こうしき）の適用（てきよう）

    Bước 1: Áp dụng công thức hạ số mũ lôgarit

    Sử dụng công thức hạ số mũ để chuyển số mũ của biểu thức bên trong ra phía trước lôgarit. Điều này giúp đưa các lũy thừa về dạng nhân với hệ số đơn giản.

    真数（しんすう）の真上（まうえ）の累乗（るいじょう）を対数（たいすう）の前（まえ）の係数（けいすう）として引き出（ひきだ）す公式（こうしき）を使用（しよう）します。これにより、累乗（るいじょう）の計算（けいさん）を簡単（かんたん）な掛け算（かけざん）に変換（へんかん）できます。

  2. 02
    ステップ2：共通（きょうつう）の底（そこ）への対数（たいすう）変換（へんかん）

    Bước 2: Đổi cơ số lôgarit về cùng cơ số

    Khi gặp các lôgarit có cơ số khác nhau, ta áp dụng công thức đổi cơ số để đưa về cùng một cơ số c thích hợp. Dạng đặc biệt là công thức nghịch đảo giữa cơ số và biểu thức lấy lôgarit.

    異（こと）なる底（そこ）が含（ふく）まれる場合（ばあい）、底（そこ）の変換（へんかん）公式（こうしき）を用（もち）いて適切（てきせつ）な共通（きょうつう）の底（そこ）cに統一（とういつ）します。底（そこ）と真数（しんすう）を入れ替（いれか）える逆数（ぎゃくすう）の公式（こうしき）も有効（ゆうこう）です。

  3. 03
    ステップ3：式（しき）の簡略（かんりゃく）化（か）と値（あたい）の計算（けいさん）

    Bước 3: Rút gọn biểu thức và tính giá trị

    Sử dụng đẳng thức lũy thừa với số mũ lôgarit để triệt tiêu cơ số và thu được kết quả trực tiếp. Kiểm tra kỹ các điều kiện cơ số và số lấy lôgarit để đảm bảo tính chính xác.

    底（そこ）と対数（たいすう）の底（そこ）が一致（いっち）する累乗（るいじょう）の性質（せいしつ）を用（もち）いて、値（あたい）を直接（ちょくせつ）求（もと）めます。底（そこ）と真数（しんすう）の条件（じょうけん）を確認（かくにん）し、正確（せいかく）に計算（けいさん）を完了（かんりょう）します。

  4. 04
    ステップ4：背理（はいり）法（ほう）による無理（むり）数（すう）の証明（しょうめい）

    Bước 4: Chứng minh số vô tỷ bằng phương pháp phản chứng

    Giả sử lôgarit là số hữu tỷ biểu diễn dưới dạng phân số tối giản m/n. Chuyển về dạng lũy thừa để chỉ ra sự mâu thuẫn về tính chia hết hoặc tính chẵn lẻ.

    対数（たいすう）が有理（ゆうり）数（すう）m/nであると仮定（かてい）し、整数（せいすう）の既約（きやく）分数（ぶんすう）で表（あらわ）します。指数（しすう）の形（かたち）に変形（へんけい）して素因（そいん）数（すう）分解（ぶんかい）の矛盾（むじゅん）を導（みちび）き、無（む）理数（りすう）であることを示（しめ）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn giữa công thức hạ số mũ \(\log_a\) M^r = r \(\log_a\) M với lũy thừa của cả lôgarit (\(\log_a\) M)^r.真数（しんすう）の累乗（るいじょう）の公式（こうしき） \(\log_a\) M^r = r \(\log_a\) M と、対数（たいすう）全体（ぜんたい）の累乗（るいじょう） (\(\log_a\) M)^r を混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Chỉ có số mũ r nằm trên M mới được chuyển ra làm hệ số r \(\log_a\) M, còn (\(\log_a\) M)^r không thể hạ số mũ r ra ngoài.Mの上（うえ）の累乗（るいじょう）rのみを前（まえ）に出（だ）して r \(\log_a\) M とできますが、(\(\log_a\) M)^r は前（まえ）へ引き出（ひきだ）すことはできません。

Đổi cơ số nhầm vị trí tử số và mẫu số trong công thức \(\log_a\) b = \(\frac{\log_c b}{\log_c a}\) thành \(\frac{\log_c a}{\log_c b}\).底（そこ）の変換（へんかん）公式（こうしき） \(\log_a\) b = \(\frac{\log_c b}{\log_c a}\) において、分子（ぶんし）と分母（ぶんぼ）の a と b を逆（ぎゃく）にして \(\frac{\log_c a}{\log_c b}\) と誤（あやま）ること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Ghi nhớ rằng số b (ở trên) nằm ở tử số \(\log_c\) b, còn cơ số cũ a (ở dưới) nằm ở mẫu số \(\log_c\) a.上（うえ）にある真数（しんすう）bが分子（ぶんし） \(\log_c\) b に、下（した）にある元（もと）の底（そこ）aが分母（ぶんぼ） \(\log_c\) a に配置（はいち）されると覚（おぼ）えましょう。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Nắm vững các tính chất cơ bản của lôgarit như a^{\(\log_a\) b} = b và công thức hạ số mũ \(\log_a\) M^r = r \(\log_a\) M.a^{\(\log_a\) b} = b や真数（しんすう）の累乗（るいじょう）引き出（ひきだ）し公式（こうしき） \(\log_a\) M^r = r \(\log_a\) M などの対数（たいすう）の基本（きほん）性質（せいしつ）をマスターする。
  • Sử dụng công thức đổi cơ số \(\log_a\) b = \(\frac{\log_c b}{\log_c a}\) và công thức nghịch đảo \(\log_a\) b = \(\frac{1}{\log_b a}\) để đưa về cùng một cơ số.底（そこ）の変換（へんかん）公式（こうしき） \(\log_a\) b = \(\frac{\log_c b}{\log_c a}\) と逆数（ぎゃくすう）公式（こうしき） \(\log_a\) b = \(\frac{1}{\log_b a}\) を使（つか）って底（そこ）を統一（とういつ）する。
  • Vận dụng phương pháp phản chứng để chứng minh tính chất số vô tỷ của lôgarit bằng cách chỉ ra mâu thuẫn giữa số chẵn và số lẻ.偶数（ぐうすう）と奇数（きすう）の矛盾（むじゅん）を示（しめ）すことで、背理（はいり）法（ほう）を用（もち）いて対数（たいすう）が無理（むり）数（すう）であることを証明（しょうめい）する。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

a^{\log_a b} = b

Đẳng thức này thể hiện mối quan hệ ngược giữa phép nâng lên lũy thừa và phép lấy lôgarit cùng cơ số a. Khi nâng cơ số a lên số mũ log_a b, kết quả thu được chính là b. Áp dụng công thức này giúp tính nhanh các biểu thức mũ chứa lôgarit.

この等式（とうしき）は、同（おな）じ底（そこ）aにおける指数（しすう）計算（けいさん）と対数（たいすう）計算（けいさん）の逆（ぎゃく）関係（かんけい）を表（あらわ）しています。底（そこ）aをlog_a b乗（のり）すると、結果（けっか）はbそのものになります。対数（たいすう）を含（ふく）む指数（しすう）式（しき）の計算（けいさん）を迅速（じんそく）に行（おこな）う際（さい）に活用（かつよう）されます。

\log_a M^r = r \log_a M

Công thức cho phép chuyển số mũ r của biểu thức M bên trong lôgarit ra làm hệ số nhân bên ngoài. Điều này đơn giản hóa biểu thức từ dạng lũy thừa về dạng nhân. Nó áp dụng cho mọi số thực r khi M dương và a hợp lệ.

この公式（こうしき）は、真数（しんすう）Mの累乗（るいじょう）rを対数（たいすう）の前（まえ）の掛け算（かけざん）の係数（けいすう）として移動（いどう）させることができます。累乗（るいじょう）の形（かたち）を掛け算（かけざん）の形（かたち）へと簡略（かんりゃく）化（か）できます。Mが正（せい）かつaが適当（てきとう）な実数（じっすう）rに対（たい）して成り立（なりた）ちます。

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Công thức đổi cơ số giúp biến đổi lôgarit cơ số a của b thành thương của hai lôgarit cùng cơ số c. Cơ số c có thể chọn tùy ý thỏa mãn điều kiện c > 0 và c khác 1. Đây là công thức nền tảng để quy về cùng cơ số.

底（そこ）の変換（へんかん）公式（こうしき）は、底（そこ）aの対数（たいすう）log_a bを共通（きょうつう）の底（そこ）cを持（も）つ2つの対数（たいすう）の商（しょう）に変形（へんけい）します。底（そこ）cはc > 0かつc ≠ 1を満（み）たす任意（にんい）の数（かず）を選（えら）べます。底（そこ）を統一（とういつ）するための基本（きほん）公式（こうしき）です。

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}

Đây là trường hợp đặc biệt của công thức đổi cơ số khi chọn cơ số mới c chính là b. Nó chỉ ra rằng log_a b và log_b a là hai số nghịch đảo của nhau. Công thức này rất tiện lợi khi cần hoán đổi vị trí giữa cơ số và biểu thức lấy lôgarit.

これは新（あたら）しい底（そこ）cとしてbを選（えら）んだ場合（ばあい）の底（そこ）の変換（へんかん）公式（こうしき）の特例（とくれい）です。log_a bとlog_b aが互（たが）いに逆数（ぎゃくすう）の関係（かんけい）にあることを示（しめ）しています。底（そこ）と真数（しんすう）の位置（いち）を入れ替（いれか）えたいときに非常（ひじょう）に便利（べんり）です。

EJU 2026 · MATH.10.2

Bài học này giúp bạn làm chủ các tính chất cơ bản và công thức đổi cơ số của lôgarit trong kỳ thi EJU. Bạn sẽ học cách biến đổi biểu thức lôgarit và áp dụng phương pháp phản chứng để chứng minh số vô tỷ.

本課（ほんか）では、EJU試験（しけん）に必要（ひつよう）な対数（たいすう）の基本（きほん）性質（せいしつ）と底（そこ）の変換（へんかん）公式（こうしき）を習得（しゅうとく）します。対数（たいすう）式（しき）の変形（へんけい）と背理（はいり）法（ほう）を用（もち）いた無（む）理数（りすう）の証明（しょうめい）方法（ほうほう）を学（まな）びます。

対数（たいすう）の計算（けいさん）と性質（せいしつ）
対数の性質底の変換公式無理数背理法