Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Hàm số lượng giác của góc tổng quát一般（いっぱん）角（かく）の三角（さんかく）関数（かんすう）

Công thức公式

\sin\theta = \frac{y}{r}
\cos\theta = \frac{x}{r}
\tan\theta = \frac{y}{x}
-1 \leqq \sin\theta \leqq 1

Ví dụ例題

Cho điểm P(-3, 4) nằm trên tia quay của góc theta. Hãy tính khoảng cách r, giá trị \(\sin\)\(\theta\), \(\cos\)\(\theta\), \(\tan\)\(\theta\) và kiểm tra bất đẳng thức -1 \leqq \(\sin\)\(\theta\) \leqq 1.

角（かく） theta の動径（どうけい）上（じょう）に点（てん） P(-3, 4) がある。距離（きょり） r、\(\sin\)\(\theta\), \(\cos\)\(\theta\), \(\tan\)\(\theta\) の値（あたい）を求（もと）め、不（ふ）等式（とうしき） -1 \leqq \(\sin\)\(\theta\) \leqq 1 を確認（かくにん）せよ。

  1. Bước 1: Tính khoảng cách r: Áp dụng căn bậc hai của x bình cộng y bình, ta có \(r = \sqrt{(-3)^{2} + 4^{2}} = 5\).ステップ1：距離（きょり） r を計算（けいさん）する：\(r = \sqrt{(-3)^{2} + 4^{2}} = 5\) と計算（けいさん）される。
  2. Bước 2: Tính sin, cosin và tang: Áp dụng công thức, ta được \(\sin\)\(\theta\) = \(\frac{4}{5}\), \(\cos\)\(\theta\) = -\(\frac{3}{5}\) và \(\tan\)\(\theta\) = -\(\frac{4}{3}\).ステップ2：正弦（せいげん）、余弦（よげん）、正接（せいせつ）を計算（けいさん）する：公式（こうしき）より、\(\sin\)\(\theta\) = \(\frac{4}{5}\)、\(\cos\)\(\theta\) = -\(\frac{3}{5}\)、\(\tan\)\(\theta\) = -\(\frac{4}{3}\) となる。
  3. Bước 3: Kiểm tra tập giá trị của sin: Nhận thấy \(\sin\)\(\theta\) = \(\frac{4}{5}\) = 0.8 thỏa mãn điều kiện -1 \leqq \(\sin\)\(\theta\) \leqq 1.ステップ3：正弦（せいげん）の値（あたい）の範囲（はんい）を検証（けんしょう）する：\(\sin\)\(\theta\) = \(\frac{4}{5}\) = 0.8 は -1 \leqq \(\sin\)\(\theta\) \leqq 1 を満（み）たしている。
Giá trị thu được là \(\sin\)\(\theta\) = \(\frac{4}{5}\), \(\cos\)\(\theta\) = -\(\frac{3}{5}\), \(\tan\)\(\theta\) = -\(\frac{4}{3}\) và thỏa mãn tập giá trị của sin.求（もと）める値（あたい）は \(\sin\)\(\theta\) = \(\frac{4}{5}\)、\(\cos\)\(\theta\) = -\(\frac{3}{5}\)、\(\tan\)\(\theta\) = -\(\frac{4}{3}\) であり、正弦（せいげん）の値（あたい）の範囲（はんい）を満（み）たす。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho điểm P(3, 4) nằm trên tia quay của góc \(\theta\). Giá trị của \(\sin \theta\) là bao nhiêu?角（かく） \(\theta\) の動径（どうけい）上（じょう）に点（てん） P(3, 4) がある。\(\sin \theta\) の値（あたい）はいくらか。

2. Cho điểm P(-4, 3) nằm trên tia quay của góc \(\theta\). Giá trị của \(\cos \theta\) là bao nhiêu?角（かく） \(\theta\) の動径（どうけい）上（じょう）に点（てん） P(-4, 3) がある。\(\cos \theta\) の値（あたい）はいくらか。

3. Cho điểm P(1, 2) nằm trên tia quay của góc \(\theta\). Giá trị của \(\tan \theta\) là bao nhiêu?角（かく） \(\theta\) の動径（どうけい）上（じょう）に点（てん） P(1, 2) がある。\(\tan \theta\) の値（あたい）はいくらか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.11.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.11.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Tính giá trị sin, cosin và tang của một góc tổng quát dựa trên tọa độ điểm P(x, y) và bán kính r.座標（ざひょう） P(x, y) と半径（はんけい） r から一般（いっぱん）角（かく）の正弦（せいげん）、余弦（よげん）、正接（せいせつ）の値（あたい）を計算（けいさん）する。
  2. Xác định dấu của các hàm số lượng giác theo góc phần tư và miền giá trị của sin.各（かく）象限（しょうげん）における三角（さんかく）関数（かんすう）の符号（ふごう）および正弦（せいげん）の値（あたい）の範囲（はんい）を判定（はんてい）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về đường tròn đơn vị và tọa độ điểm単位（たんい）円（えん）と点（てん）座標（ざひょう）の直感（ちょっかん）的（てき）理解（りかい）

Khi tia quay quét trên đường tròn đơn vị bán kính r = 1, tọa độ x và y của giao điểm biểu diễn trực tiếp cho cosin và sin của góc. Nhờ đó, các giá trị lượng giác không bị giới hạn trong tam giác vuông mà mở rộng cho mọi góc.

半径（はんけい） r = 1 の単位（たんい）円上（えんじょう）を動径（どうけい）が動（うご）くとき、交点（こうてん）の x 座標（ざひょう）と y 座標（ざひょう）がそのまま余弦（よげん）と正弦（せいげん）を表（あらわ）す。これにより三角（さんかく）比（ひ）の定義（ていぎ）が直角（ちょっかく）三角形（さんかくけい）から任意（にんい）の一般（いっぱん）角（かく）へ拡張（かくちょう）される。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 三角（さんかく）関数（かんすう）Hàm số lượng giác

    Các hàm số xác định tỉ số tọa độ trên bán kính đối với một góc tổng quát bất kỳ.

    任意（にんい）の一般（いっぱん）角（かく）に対（たい）して座標（ざひょう）と半径（はんけい）の比（ひ）として定義（ていぎ）される関数（かんすう）。

  • 正弦（せいげん）Sin

    Tỉ số giữa tung độ y và bán kính r của điểm biểu diễn trên tia quay.

    動径（どうけい）上（じょう）の点（てん）の y 座標（ざひょう）と半径（はんけい） r の比（ひ）。

  • 余弦（よげん）Cosin

    Tỉ số giữa hoành độ x và bán kính r của điểm biểu diễn trên tia quay.

    動径（どうけい）上（じょう）の点（てん）の x 座標（ざひょう）と半径（はんけい） r の比（ひ）。

  • 正接（せいせつ）Tang

    Tỉ số giữa tung độ y và hoành độ x của điểm biểu diễn trên tia quay khi x khác 0.

    x が 0 でないときの動径（どうけい）上（じょう）の点（てん）の y 座標（ざひょう）と x 座標（ざひょう）の比（ひ）。

  • 単位（たんい）円（えん）Đường tròn đơn vị

    Đường tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng 1.

    原点（げんてん）を中心（ちゅうしん）とする半径（はんけい） 1 の円（えん）。

  • 象限（しょうげん）Góc phần tư

    Bốn vùng của mặt phẳng tọa độ được chia bởi hai trục tọa độ Ox và Oy.

    座標（ざひょう）軸（じく） Ox, Oy によって分（わ）けられる座標（ざひょう）平面（へいめん）の4つの領域（りょういき）。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：動径（どうけい）上（じょう）の点（てん） P(x, y) の座標（ざひょう）の特定（とくてい）

    Bước 1: Xác định tọa độ điểm P(x, y) trên tia quay

    Xác định điểm P(x, y) khác gốc tọa độ trên tia quay ứng với góc \(\theta\) và tính khoảng cách r từ gốc tọa độ đến P.

    角（かく） \(\theta\) の動径（どうけい）上（じょう）にある原点（げんてん）以外（いがい）の点（てん） P(x, y) を定（さだ）め、原点（げんてん）からの距離（きょり） r を計算（けいさん）する。

  2. 02
    ステップ2：定義（ていぎ）に基（もと）づく三角（さんかく）関数（かんすう）の値（あたい）の計算（けいさん）

    Bước 2: Tính giá trị các hàm số lượng giác theo định nghĩa

    Tính \(\sin \theta\) bằng y/r, \(\cos \theta\) bằng x/r và \(\tan \theta\) bằng y/x với điều kiện x khác 0.

    \(\sin \theta = y / r\)、\(\cos \theta = x / r\)、\(\tan \theta = y / x\)（ただし x ≠ 0）に従（したが）って各値（かくち）を求（もと）める。

  3. 03
    ステップ3：象限（しょうげん）に応（おう）じた三角（さんかく）関数（かんすう）の符号（ふごう）の判定（はんてい）

    Bước 3: Xác định dấu của hàm số lượng giác theo góc phần tư

    Kiểm tra dấu của tọa độ x và y trong góc phần tư tương ứng để xác định dấu âm hay dương của sin, cosin và tang.

    動径（どうけい）が位置（いち）する象限（しょうげん）での x と y の符号（ふごう）を確認（かくにん）し、正弦（せいげん）、余弦（よげん）、正接（せいせつ）の正負（せいふ）を判定（はんてい）する。

  4. 04
    ステップ4：正弦（せいげん）の値（あたい）の範囲（はんい）の適用（てきよう）

    Bước 4: Áp dụng tập giá trị của sin

    Luôn đảm bảo giá trị \(\sin \theta\) nằm trong khoảng từ -1 đến 1 trên đường tròn đơn vị.

    単位（たんい）円（えん）において \(\sin \theta\) の値（あたい）が常（つね）に -1 以上（いじょう） 1 以下（いか）となることを確認（かくにん）する。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên tính khoảng cách r và coi trực tiếp tung độ y là giá trị \(\sin khi\) r khác 1.半径（はんけい） r が 1 でないときに、距離（きょり） r の計算（けいさん）を忘（わす）れて y 座標（ざひょう）をそのまま正弦（せいげん）の値（あたい）と誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Phải chia tung độ y cho khoảng cách r vì \(\sin\)\(\theta\) = \(\frac{y}{r}\).\(\sin\)\(\theta\) = \(\frac{y}{r}\) であるため、必（かなら）ず y 座標（ざひょう）を距離（きょり） r で割（われ）る必要（ひつよう）がある。

Nhầm dấu của hoành độ và tung độ khi xác định giá trị hàm số lượng giác ở các góc phần tư khác nhau.各（かく）象限（しょうげん）における x 座標（ざひょう）と y 座標（ざひょう）の符号（ふごう）を誤（あやま）り、三角（さんかく）関数（かんすう）の正負（せいふ）を間違（まちが）えること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Cần căn cứ vào tọa độ thực tế của điểm trên tia quay trong từng góc phần tư để chọn đúng dấu.各（かく）象限（しょうげん）における動径（どうけい）上（じょう）の点（てん）の実際（じっさい）の座標（ざひょう）符号（ふごう）に基（もと）づいて正負（せいふ）を決定（けってい）しなければならない。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Hàm số lượng giác được định nghĩa qua tỉ số giữa tọa độ điểm P(x, y) trên tia quay và khoảng cách r.三角（さんかく）関数（かんすう）は動径（どうけい）上（じょう）の点（てん） P(x, y) の座標（ざひょう）と距離（きょり） r の比（ひ）として定義（ていぎ）される。
  • Đường tròn đơn vị giúp xác định trực tiếp cosin qua hoành độ x và \(\sin qua\) tung độ y.単位（たんい）円（えん）では x 座標（ざひょう）が余弦（よげん）、y 座標（ざひょう）が正弦（せいげん）を直接（ちょくせつ）表（あらわ）す。
  • Giá trị của sin luôn thỏa mãn bất đẳng thức -1 \leqq \(\sin\)\(\theta\) \leqq 1 đối với mọi góc tổng quát.正弦（せいげん）の値（あたい）は任意（にんい）の一般（いっぱん）角（かく）に対（たい）して常（つね）に -1 \leqq \(\sin\)\(\theta\) \leqq 1 を満（み）たす。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\sin\theta = \frac{y}{r}

Định nghĩa hàm số sin của góc \(\theta\) bằng tỉ số giữa tung độ y và khoảng cách r.

角（かく） \(\theta\) の正弦（せいげん）を y 座標（ざひょう）と距離（きょり） r の比（ひ）として定義（ていぎ）する公式（こうしき）である。

\cos\theta = \frac{x}{r}

Định nghĩa hàm số cosin của góc \(\theta\) bằng tỉ số giữa hoành độ x và khoảng cách r.

角（かく） \(\theta\) の余弦（よげん）を x 座標（ざひょう）と距離（きょり） r の比（ひ）として定義（ていぎ）する公式（こうしき）である。

\tan\theta = \frac{y}{x}

Định nghĩa hàm số tang của góc \(\theta\) bằng tỉ số giữa tung độ y và hoành độ x với x khác 0.

角（かく） \(\theta\) の正接（せいせつ）を y 座標（ざひょう）と x 座標（ざひょう）の比（ひ）（x ≠ 0）として定義（ていぎ）する公式（こうしき）である。

-1 \leqq \sin\theta \leqq 1

Bất đẳng thức xác định tập giá trị của hàm số \(\sin cho\) mọi góc \(\theta\).

任意（にんい）の角（かく） \(\theta\) に対（たい）して正弦（せいげん）の値（あたい）が取（と）る範囲（はんい）を示（しめ）す不（ふ）等式（とうしき）である。

EJU 2026 · MATH.11.1

Hàm số lượng giác định nghĩa giá trị sin, cosin và tang cho góc tổng quát dựa trên tọa độ của điểm trên đường tròn. Đường tròn đơn vị giúp xác định dấu và miền giá trị của các hàm số lượng giác theo từng góc phần tư.

三角（さんかく）関数（かんすう）は円上（えんじょう）の点（てん）座標（ざひょう）を用（もち）いて一般（いっぱん）角（かく）に対（たい）する正弦（せいげん）、余弦（よげん）、正接（せいせつ）を定義（ていぎ）する。単位（たんい）円（えん）を用（もち）いることで各（かく）象限（しょうげん）における三角（さんかく）関数（かんすう）の符号（ふごう）や値（あたい）の範囲（はんい）を明確（めいかく）に特定（とくてい）できる。

一般（いっぱん）角（かく）の三角（さんかく）関数（かんすう）
三角関数正弦余弦正接