Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Hệ thức truy hồi (giữa 3 số hạng kề nhau)漸化（ぜんか）式（しき）（隣接（りんせつ）3項（こう）間（かん））

Công thức公式

p a_{n+2}+q a_{n+1}+r a_n=0
p x^2+q x+r=0
a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n)
a_n=a_{n-1}+a_{n-2}

Ví dụ例題

Cho hệ thức truy hồi \(a_{n + 2} - 3\) \(a_{n + 1} + 2\) \(a_{n} = 0\) với \(a_{1} = 1\), \(a_{2} = 3\). Hãy tính số hạng \(a_{3}\).

漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 2} - 3\) \(a_{n + 1} + 2\) \(a_{n} = 0\) （\(a_{1} = 1\), \(a_{2} = 3\)）が与（あた）えられたとき、第（だい）3項（こう） \(a_{3}\) を求（もと）めなさい。

  1. Lập phương trình đặc trưng \(x^{2} - 3 x + 2 = 0\) và tìm hai nghiệm \(\alpha = 1\), \(\beta = 2\).特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} - 3 x + 2 = 0\) を立（た）て、2つの解（かい） α = 1, β = 2 を求（もと）めます。
  2. Biến đổi hệ thức thành \(a_{n + 2} - a_{n + 1} = 2 (a_{n + 1} - a_{n})\) rồi thay \(a_{1} = 1\), \(a_{2} = 3\) để tính \(a_{3} = 3 (3) - 2 (1) = 7\).漸化（ぜんか）式（しき）を \(a_{n + 2} - a_{n + 1} = 2 (a_{n + 1} - a_{n})\) に変形（へんけい）し、\(a_{1} = 1\), \(a_{2} = 3\) を代入（だいにゅう）して \(a_{3} = 3 (3) - 2 (1) = 7\) を計算（けいさん）します。
Vậy giá trị của số hạng \(a_{3}\) là 7.したがって、第（だい）3項（こう） \(a_{3}\) の値（あたい）は 7 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hệ thức truy hồi \(a_{n + 2} - 5\) \(a_{n + 1} + 6\) \(a_{n} = 0\). Phương trình đặc trưng tương ứng là phương trình nào?漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 2} - 5\) \(a_{n + 1} + 6\) \(a_{n} = 0\) に対応（たいおう）する特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）はどれか。

2. Cho dãy Fibonacci \(a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}\) với \(a_{1} = 1\) và \(a_{2} = 1\). Giá trị của \(a_{4}\) là bao nhiêu?初項（しょこう） \(a_{1} = 1\)、\(a_{2} = 1\) のフィボナッチ数列（すうれつ） \(a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}\) において、\(a_{4}\) の値（あたい）はいくらか。

3. Biến đổi hệ thức \(a_{n + 2} - 4\) \(a_{n + 1} + 3\) \(a_{n} = 0\) về dạng \(a_{n + 2} - \alpha\) \(a_{n + 1} = \beta\)(\(a_{n + 1} - \alpha\) \(a_{n}\)). Với \(\alpha = 1\), giá trị của \(\beta\) là bao nhiêu?漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 2} - 4\) \(a_{n + 1} + 3\) \(a_{n} = 0\) を \(a_{n + 2}\) - α \(a_{n + 1}\) = β(\(a_{n + 1}\) - α \(a_{n}\)) の形（かたち）に変形（へんけい）する。α = 1 のとき、β の値（あたい）はいくらか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.12.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.12.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu cách lập phương trình đặc trưng từ hệ thức truy hồi 3 số hạng.隣接（りんせつ）3項（こう）間（かん）の漸化（ぜんか）式（しき）から特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）を導（みちび）く方法（ほうほう）を理解（りかい）する。
  2. Biến đổi hệ thức truy hồi về dạng dãy số nhân để tìm số hạng tổng quát.漸化（ぜんか）式（しき）を等比（とうひ）数列（すうれつ）の形（かたち）に変形（へんけい）して一般（いっぱん）項（こう）を求（もと）める。
Trực giác · イメージ

Trực giác về hệ thức truy hồi 3 số hạng隣接（りんせつ）3項（こう）間（かん）漸化（ぜんか）式（しき）の直感（ちょっかん）

Quan hệ giữa 3 số hạng liên tiếp được đưa về dạng tích số nhân giống như giải phương trình bậc hai.

連続（れんぞく）する3項（こう）の関係（かんけい）は、二（に）次（じ）方程（ほうてい）式（しき）を解（と）くように等比（とうひ）数列（すうれつ）の積（せき）の形（かたち）へ帰着（きちゃく）されます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 隣接（りんせつ）3項（こう）間（かん）giữa 3 số hạng kề nhau

    Mối quan hệ truy hồi liên kết 3 số hạng liên tiếp trong một dãy số.

    数列（すうれつ）において連続（れんぞく）する3つの項（こう）を結（むす）びつける漸化（ぜんか）関係（かんけい）のことです。

  • 特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）phương trình đặc trưng

    Phương trình bậc hai dùng để tìm hệ số biến đổi hệ thức truy hồi về dạng dãy số nhân.

    漸化（ぜんか）式（しき）を等比（とうひ）数列（すうれつ）に変形（へんけい）するための係数（けいすう）を求（もと）める二（に）次（じ）方程（ほうてい）式（しき）です。

  • フィボナッチ数列（すうれつ）dãy số Fibonacci

    Dãy số trong đó mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng ngay trước nó.

    各項（かくこう）が直前（ちょくぜん）の2つの項（こう）の和（わ）となる数列（すうれつ）のことです。

  • 連立（れんりつ）漸化（ぜんか）式（しき）hệ hệ thức truy hồi

    Hệ gồm nhiều hệ thức truy hồi đan xen giữa các dãy số với nhau.

    複数（ふくすう）の数列（すうれつ）が互（たが）いに絡み合（からみあ）う複数（ふくすう）の漸化（ぜんか）式（しき）の組（くみ）のことです。

  • 場合（ばあい）の数（かず）số trường hợp

    Số khả năng xảy ra của một sự kiện, thường được đếm bằng hệ thức truy hồi.

    事象（じしょう）が起（お）こる場合（ばあい）の数（かず）であり、漸化（ぜんか）式（しき）を用（もち）いて数え上（かぞえあ）げられます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）の作成（さくせい）

    Bước 1: Lập phương trình đặc trưng

    Thay \(a_{n + 2}\), \(a_{n + 1}\), \(a_{n}\) bằng \(x^{2}\), x, 1 để lập phương trình bậc hai p \(x^{2} + q\) x+r=0.

    \(a_{n + 2}\), \(a_{n + 1}\), \(a_{n}\) を \(x^{2}\), x, 1 に置き換（おきか）えて二（に）次（じ）方程（ほうてい）式（しき） p \(x^{2} + q\) x+r=0 を作（つく）ります。

  2. 02
    ステップ2：解（かい）αとβの算出（さんしゅつ）

    Bước 2: Tìm nghiệm \(\alpha\) và \(\beta\)

    Giải phương trình đặc trưng để tìm hai nghiệm \(\alpha\) và \(\beta\).

    特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）を解（と）いて2つの解（かい）αとβを求（もと）めます。

  3. 03
    ステップ3：等比（とうひ）数列（すうれつ）の形（かたち）への変形（へんけい）

    Bước 3: Biến đổi về dạng dãy số nhân

    Viết hệ thức dưới dạng \(a_{n + 2} - \alpha\) \(a_{n + 1} = \beta\)(\(a_{n + 1} - \alpha\) \(a_{n}\)) để xác định dãy số nhân.

    漸化（ぜんか）式（しき）を \(a_{n + 2}\)-α \(a_{n + 1}\)=β(\(a_{n + 1}\)-α \(a_{n}\)) の形（かたち）に書き換（かきか）えて等比（とうひ）数列（すうれつ）を特定（とくてい）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn chỉ số khi lập phương trình đặc trưng, thay \(a_{n + 2}\) thành x thay vì \(x^{2}\).特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）を作（つく）る際（さい）に添字（そえじ）を間違（まちが）え、\(a_{n + 2}\) を \(x^{2}\) ではなく x に置き換（おきか）えてしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Ghi nhớ thay \(a_{n + 2}\) bằng \(x^{2}\), \(a_{n + 1}\) bằng x và \(a_{n}\) bằng 1 trong p \(x^{2} + q\) x+r=0.p \(x^{2} + q\) x+r=0 において \(a_{n + 2}\) を \(x^{2}\)、\(a_{n + 1}\) を x、\(a_{n}\) を 1 に置換（ちかん）することを覚（おぼ）えておきます。

Nhân sai hệ số \(\alpha\) và \(\beta\) dẫn đến công thức biến đổi bị mất cân bằng.係数（けいすう） α と β の掛け算（かけざん）を間違（まちが）え、変形（へんけい）後（ご）の式（しき）が元（もと）の漸化（ぜんか）式（しき）と一致（いっち）しなくなる。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nhân khai triển \(a_{n + 2} - \alpha\) \(a_{n + 1} = \beta\)(\(a_{n + 1} - \alpha\) \(a_{n}\)) để đối chiếu lại với p \(a_{n + 2} + q\) \(a_{n + 1} + r\) \(a_{n} = 0\).\(a_{n + 2}\)-α \(a_{n + 1}\)=β(\(a_{n + 1}\)-α \(a_{n}\)) を展開（てんかい）して p \(a_{n + 2} + q\) \(a_{n + 1} + r\) \(a_{n} = 0\) と照合（しょうごう）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Phương trình đặc trưng p \(x^{2} + q\) x+r=0 giúp tìm hệ số để đưa hệ thức truy hồi về dạng dãy số nhân.特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき） p \(x^{2} + q\) x+r=0 は漸化（ぜんか）式（しき）を等比（とうひ）数列（すうれつ）に変形（へんけい）するための係数（けいすう）を見（み）つけるのに役立（やくだ）ちます。
  • Dạng biến đổi \(a_{n + 2} - \alpha\) \(a_{n + 1} = \beta\)(\(a_{n + 1} - \alpha\) \(a_{n}\)) là chìa khóa giải hệ thức truy hồi 3 số hạng.変形（へんけい）形（けい） \(a_{n + 2}\)-α \(a_{n + 1}\)=β(\(a_{n + 1}\)-α \(a_{n}\)) は隣接（りんせつ）3項（こう）間（かん）漸化（ぜんか）式（しき）を解（と）く鍵（かぎ）となります。
  • Dãy Fibonacci \(a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}\) là mô hình truy hồi tiêu biểu cho các bài toán đếm số trường hợp.フィボナッチ数列（すうれつ） \(a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}\) は場合（ばあい）の数（かず）の数え上（かぞえあ）げにおける代表（だいひょう）的（てき）な漸化（ぜんか）式（しき）モデルです。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

p a_{n+2}+q a_{n+1}+r a_n=0

Dạng tổng quát của hệ thức truy hồi tuyến tính giữa 3 số hạng kề nhau.

隣接（りんせつ）3項（こう）間（かん）の線形（せんけい）漸化（ぜんか）式（しき）の一般（いっぱん）形（けい）です。

p x^2+q x+r=0

Phương trình đặc trưng thu được bằng cách thay các số hạng theo lũy thừa của x.

各項（かくこう）をxのべき乗（じょう）に置き換（おきか）えて得（え）られる特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）です。

a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n)

Dạng biến đổi tương đương giúp coi dãy \(b_{n} = a_{n + 1} - \alpha\) \(a_{n}\) là một dãy số nhân có công bội \(\beta\).

数列（すうれつ） \(b_{n} = a_{n + 1}\)-α \(a_{n}\) を公比（こうひ）βの等比（とうひ）数列（すうれつ）とみなす同値（どうち）変形（へんけい）です。

a_n=a_{n-1}+a_{n-2}

Hệ thức truy hồi xác định dãy số Fibonacci kinh điển trong toán học.

数学（すうがく）における古典（こてん）的（てき）なフィボナッチ数列（すうれつ）を定義（ていぎ）する漸化（ぜんか）式（しき）です。

EJU 2026 · MATH.12.2

Nắm vững cách giải hệ thức truy hồi giữa 3 số hạng kề nhau bằng phương trình đặc trưng.

特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）を用（もち）いて隣接（りんせつ）3項（こう）間（かん）の漸化（ぜんか）式（しき）を解（と）く方法（ほうほう）を習得（しゅうとく）します。

漸化（ぜんか）式（しき）（隣接（りんせつ）3項（こう）間（かん））
隣接3項間特性方程式フィボナッチ数列連立漸化式