Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Hiệp phương sai và hệ số tương quan共（きょう）分散（ぶんさん）と相関（そうかん）係数（けいすう）

Công thức公式

s_{xy}=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=\frac1n\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-\bar x\bar y
s_x^2=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2,\quad s_y^2=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar y)^2
r=\frac{s_{xy}}{s_xs_y}=\frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum(x_i-\bar x)^2\sum(y_i-\bar y)^2}},\quad s_xs_y>0
\operatorname{Cov}(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=E[XY]-E[X]E[Y]
\rho_{X,Y}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y)}}
\operatorname{Cov}(aX+b,cY+d)=ac\operatorname{Cov}(X,Y)

Ví dụ例題

Ba cặp dữ liệu là (1,1), (2,3), (3,2). Tính \(s_{xy}\) và r theo quy ước chia cho n.

3組（くみ）のデータ(1,1)、(2,3)、(3,2)について、nで割（わ）る定義（ていぎ）による共（きょう）分散（ぶんさん）\(s_{xy}\)と相関（そうかん）係数（けいすう）rを求（もと）める。

  1. x̄ = ȳ = 2. Các độ lệch x là −1, 0, 1; các độ lệch y là −1, 1, 0.x̄=ȳ=2。xの偏差（へんさ）は−1,0,1、yの偏差（へんさ）は−1,1,0。
  2. Tổng tích độ lệch = 1 + 0 + 0 = 1; vì n = 3 nên \(s_{xy}\) = 1/3.偏差（へんさ）の積（せき）の和（わ）は1+0+0=1。n=3なので\(s_{xy}\)=1/3。
  3. Tổng bình phương độ lệch của mỗi biến đều là 2. Do đó \(s_x^2\) = \(s_y^2\) = 2/3, r = (1/3)/(2/3) = 1/2.偏差（へんさ）の2乗（のり）の和（わ）はどちらも2。\(s_x^2\)=\(s_y^2\)=2/3より、r=(1/3)/(2/3)=1/2。
Hiệp phương sai bằng 1/3, hệ số tương quan bằng 0,5: có tương quan tuyến tính dương nhưng ba điểm không thẳng hàng.共（きょう）分散（ぶんさん）は1/3、相関（そうかん）係数（けいすう）は0.5。正（せい）の相関（そうかん）があるが、3点（てん）が一（いち）直線（ちょくせん）上（じょう）に並（なら）ぶわけではない。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Với (1,1), (2,3), (3,2), hiệp phương sai theo quy ước chia cho n bằng bao nhiêu?データ(1,1)、(2,3)、(3,2)の共（きょう）分散（ぶんさん）を、nで割（わ）る定義（ていぎ）で求（もと）めよ。

2. Nếu Y = −2X + 5 và Var(X) hữu hạn, dương thì hệ số tương quan của X và Y bằng bao nhiêu?Y = −2X + 5で、Var(X)が有限（ゆうげん）かつ正（せい）のとき、XとYの相関（そうかん）係数（けいすう）はいくつか。

3. X có các giá trị 2,2,2; Y có các giá trị 1,3,5. Hệ số tương quan r là gì?Xの値（あたい）が2,2,2、Yの値（あたい）が1,3,5のとき、相関（そうかん）係数（けいすう）rはどうなるか。

Trí Lữ · Bài học và hình vẽ nguyên bản theo JASSO 2026Trí Lữ · JASSO 2026に沿（そ）ったオリジナル教材（きょうざい）

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

Bài học, ví dụ, hình vẽ và câu luyện do Trí Lữ biên soạn. Phạm vi: mục 13(3), JASSO 2026; tham chiếu định nghĩa tương quan Pearson của NIST.本文（ほんぶん）・例題（れいだい）・図（ず）・練習（れんしゅう）問題（もんだい）はTrí Lữのオリジナル。範囲（はんい）はJASSO 2026の13(3)。Pearsonの相関（そうかん）係数（けいすう）の定義（ていぎ）はNISTを参照（さんしょう）。

JASSO 2026 · NIST · Pearson

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Tính hiệp phương sai và hệ số tương quan từ các cặp dữ liệu.組（くみ）になったデータから共（きょう）分散（ぶんさん）と相関（そうかん）係数（けいすう）を求（もと）める。
  2. Giải thích dấu, độ lớn và trường hợp không xác định của hệ số tương quan.相関（そうかん）係数（けいすう）の符号（ふごう）・大（おお）きさと、定義（ていぎ）できない場合（ばあい）を説明（せつめい）する。
Trực giác · イメージ

Xét độ lệch so với trung bình平均（へいきん）からのずれに注目（ちゅうもく）する

Nếu x và y cùng lớn hơn trung bình hoặc cùng nhỏ hơn trung bình, tích hai độ lệch dương. Nếu hai độ lệch trái dấu, tích âm. Trung bình các tích này là hiệp phương sai.

xとyがともに平均（へいきん）より大（おお）きい、またはともに小（ちい）さいとき、偏差（へんさ）の積（せき）は正（せい）になる。一方（いっぽう）が平均（へいきん）より大（おお）きく他方（たほう）が小（ちい）さいときは負（ふ）になる。その積（せき）の平均（へいきん）が共（きょう）分散（ぶんさん）である。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 共（きょう）分散（ぶんさん）hiệp phương sai

    Trung bình của tích hai độ lệch. Dấu cho biết chiều biến thiên chung; giá trị còn phụ thuộc đơn vị đo.

    2つの変量（へんりょう）の偏差（へんさ）の積（せき）の平均（へいきん）。符号（ふごう）は変化（へんか）の向（む）きを表（あらわ）すが、値（あたい）は測定（そくてい）単位（たんい）にも左右（さゆう）される。

  • 相関（そうかん）係数（けいすう）hệ số tương quan

    Hiệp phương sai chia cho tích hai độ lệch chuẩn. Chỉ xác định khi cả hai độ lệch chuẩn khác 0; không có đơn vị và nằm trong đoạn [−1, 1].

    共（きょう）分散（ぶんさん）を2つの標準（ひょうじゅん）偏差（へんさ）の積（せき）で割（わ）った値（あたい）。両方（りょうほう）の標準（ひょうじゅん）偏差（へんさ）が0でないときに定義（ていぎ）され、単位（たんい）を持（も）たず、−1以上（いじょう）1以下（いか）となる。

  • 散布（さんぷ）図（ず）biểu đồ phân tán

    Mỗi cặp (x, y) là một điểm. Cần xem hình dạng và điểm bất thường, không chỉ nhìn hệ số r.

    各（かく）データの組（くみ）(x, y)を1つの点（てん）で表（あらわ）した図（ず）。相関（そうかん）係数（けいすう）だけでなく、点（てん）の並（なら）び方（かた）や外れ値（はずれち）も確認（かくにん）する。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    2つの平均（へいきん）を求（もと）める

    Tính hai trung bình

    Giữ đúng từng cặp dữ liệu; tính x̄ và ȳ. Không sắp xếp hai cột riêng rẽ.

    データの組（くみ）を崩（くず）さずに、x̄とȳを求（もと）める。2つの列（れつ）を別々（べつべつ）に並べ替（ならべか）えてはいけない。

  2. 02
    偏差（へんさ）と積（せき）を計算（けいさん）する

    Lập các độ lệch và tích

    Tính x−x̄, y−ȳ, tích hai độ lệch và bình phương mỗi độ lệch. Tổng mỗi cột độ lệch phải bằng 0.

    x−x̄、y−ȳ、その積（せき）と各（かく）偏差（へんさ）の2乗（のり）を求（もと）める。各（かく）偏差（へんさ）の合計（ごうけい）が0になるか確認（かくにん）する。

  3. 03
    標準（ひょうじゅん）化（か）して解釈（かいしゃく）する

    Chuẩn hóa và đọc kết quả

    Chia các tổng cho n để được hiệp phương sai và phương sai; tính r. Kiểm tra −1 ≤ r ≤ 1 và đối chiếu biểu đồ phân tán.

    各（かく）和（わ）をnで割（わ）って共（きょう）分散（ぶんさん）と分散（ぶんさん）を求（もと）め、rを計算（けいさん）する。−1≤r≤1を満（み）たすか確認（かくにん）し、散布（さんぷ）図（ず）と照らし合（てらしあ）わせる。

Đọc từ hình và bảng散布（さんぷ）図（ず）と表（ひょう）で確（たし）かめる

(1,1), (2,3), (3,2) · r = 0.5xy0(1,1)(2,3)(3,2)
Ba điểm của ví dụ: tương quan dương, không thẳng hàng.例題（れいだい）の3点（てん）。正（せい）の相関（そうかん）があるが、一（いち）直線（ちょくせん）上（じょう）にはない。
Tính các độ lệch theo từng cặp組（くみ）ごとの偏差（へんさ）を計算（けいさん）する
xyx − 2y − 2(x − 2)(y − 2)
11−1−11
23010
32100
Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

r = 0 nghĩa là hai biến độc lập.r=0なら2つの変量（へんりょう）は独立（どくりつ）である。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Sai. Với X nhận −1,0,1 đồng khả năng và Y=X², ta có Cov(X,Y)=0 nhưng Y được xác định hoàn toàn bởi X. Tương quan chỉ đo liên hệ tuyến tính.誤（あやま）り。Xが−1,0,1を等（とう）確率（かくりつ）でとりY=X²なら、Cov(X,Y)=0だがYはXから完全（かんぜん）に決（き）まる。相関（そうかん）は直線（ちょくせん）的（てき）な関係（かんけい）を測（はか）る。

Một biến không đổi thì r = 0.一方（いっぽう）の変量（へんりょう）が一定（いってい）ならr=0である。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Độ lệch chuẩn của biến đó bằng 0; mẫu số bằng 0 nên r không xác định.その変量（へんりょう）の標準（ひょうじゅん）偏差（へんさ）が0となり、分母（ぶんぼ）が0なのでrは定義（ていぎ）できない。

Tương quan mạnh chứng minh quan hệ nhân quả.強（つよ）い相関（そうかん）があれば因果（いんが）関係（かんけい）が証明（しょうめい）される。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Không đủ. Có thể có yếu tố thứ ba hoặc sự trùng hợp. Muốn kết luận nhân quả cần thêm căn cứ ngoài hệ số r.それだけでは不（ふ）十分（じゅうぶん）。第（だい）三（さん）の要因（よういん）や偶然（ぐうぜん）の可能（かのう）性（せい）がある。因果（いんが）関係（かんけい）の判断（はんだん）には相関（そうかん）係数（けいすう）以外（いがい）の根拠（こんきょ）が必要（ひつよう）である。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Hiệp phương sai xét tích độ lệch; hệ số tương quan chuẩn hóa để bỏ đơn vị đo.共（きょう）分散（ぶんさん）は偏差（へんさ）の積（せき）に基（もと）づき、相関（そうかん）係数（けいすう）は標準（ひょうじゅん）化（か）によって単位（たんい）を除（のぞ）く。
  • r chỉ xác định khi cả hai độ lệch chuẩn dương và luôn nằm trong [−1,1].rは両方（りょうほう）の標準（ひょうじゅん）偏差（へんさ）が正（せい）のときに定義（ていぎ）され、−1以上（いじょう）1以下（いか）となる。
  • r=0 không đồng nghĩa độc lập; tương quan không chứng minh nhân quả.r=0でも独立（どくりつ）とは限（かぎ）らず、相関（そうかん）があっても因果（いんが）関係（かんけい）は証明（しょうめい）されない。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

s_{xy}=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=\frac1n\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-\bar x\bar y

Hiệp phương sai của n cặp dữ liệu (n ≥ 1), dùng quy ước chia cho n.

n組（くみ）のデータ(n ≥ 1)の共（きょう）分散（ぶんさん）。この課（か）ではnで割（わ）る定義（ていぎ）を用（もち）いる。

s_x^2=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2,\quad s_y^2=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar y)^2

Phương sai phải dùng cùng quy ước chia cho n. Nếu đề dùng cách chia khác, cần áp dụng nhất quán.

分散（ぶんさん）にも同（おな）じnで割（わ）る定義（ていぎ）を用（もち）いる。問題（もんだい）で別（べつ）の定義（ていぎ）が指定（してい）された場合（ばあい）は、共（きょう）分散（ぶんさん）と分散（ぶんさん）で統一（とういつ）する。

r=\frac{s_{xy}}{s_xs_y}=\frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum(x_i-\bar x)^2\sum(y_i-\bar y)^2}},\quad s_xs_y>0

r gần 1: liên hệ tuyến tính dương mạnh; gần −1: âm mạnh. r = 0 chỉ nói không có tương quan tuyến tính.

rが1に近（ちか）いほど正（せい）の、−1に近（ちか）いほど負（ふ）の直線（ちょくせん）的（てき）な関係（かんけい）が強（つよ）い。r=0は直線（ちょくせん）的（てき）な相関（そうかん）がないことを表（あらわ）す。

\operatorname{Cov}(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=E[XY]-E[X]E[Y]

Với biến ngẫu nhiên rời rạc, E[XY] = tổng x·y·P(X=x,Y=y). Không thay xác suất đồng thời bằng tích xác suất nếu chưa có tính độc lập.

離散（りさん）型（がた）確率（かくりつ）変数（へんすう）では、E[XY]はxyと同時（どうじ）確率（かくりつ）P(X=x,Y=y)の積（せき）の総和（そうわ）。独立（どくりつ）であると分（わ）からない限（かぎ）り、同時（どうじ）確率（かくりつ）を確率（かくりつ）の積（せき）に置き換（おきか）えない。

\rho_{X,Y}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y)}}

Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên. Hai phương sai phải hữu hạn và dương; khi một phương sai bằng 0 thì hệ số không xác định.

2つの確率（かくりつ）変数（へんすう）の相関（そうかん）係数（けいすう）。両方（りょうほう）の分散（ぶんさん）が有限（ゆうげん）で正（せい）であることが必要（ひつよう）で、一方（いっぽう）の分散（ぶんさん）が0なら定義（ていぎ）できない。

\operatorname{Cov}(aX+b,cY+d)=ac\operatorname{Cov}(X,Y)

Cộng một hằng số không đổi hiệp phương sai. Nhân hệ số làm đổi độ lớn; nếu a và c khác 0, dấu của ac quyết định r giữ nguyên hay đổi dấu.

定数（ていすう）を加（くわ）えても共（きょう）分散（ぶんさん）は変（か）わらない。係数（けいすう）倍（ばい）ではac倍（ばい）になる。a,cが0でなければ、相関（そうかん）係数（けいすう）の符号（ふごう）が変（か）わるかどうかはacの符号（ふごう）で決（き）まる。

EJU 2026 · MATH.13.3

Đo chiều và mức độ liên hệ tuyến tính giữa hai đại lượng; phân biệt tương quan với quan hệ nhân quả.

2つの量（りょう）の直線（ちょくせん）的（てき）な関係（かんけい）を、向（む）きと強（つよ）さに分（わ）けて捉（とら）える。相関（そうかん）と因果（いんが）関係（かんけい）は区別（くべつ）する。

共（きょう）分散（ぶんさん）と相関（そうかん）係数（けいすう）
共分散相関係数散布図