Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Trung bình tổng thể, phương sai tổng thể, độ lệch chuẩn tổng thể母（はは）平均（へいきん）・母（はは）分散（ぶんさん）・母（ぼ）標準（ひょうじゅん）偏差（へんさ）

Công thức公式

m = E(X) = \sum_{i=1}^{n} i p_i
\sigma^2 = V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2
\sigma = \sigma(X) = \sqrt{V(X)}
E(\bar{X}) = m

Ví dụ例題

Cho biến lượng X nhận các giá trị 1, 2, 3 với xác suất tương ứng là \(p_{1} = 1 / 4\), \(p_{2} = 1 / 2\), \(p_{3} = 1 / 4\). Tính trung bình tổng thể m và phương sai tổng thể \(\sigma^{2}\).

変量（へんりょう） X が値（あたい） 1, 2, 3 をとり、それぞれの確率（かくりつ）が \(p_{1} = 1 / 4\), \(p_{2} = 1 / 2\), \(p_{3} = 1 / 4\) であるとします。母（はは）平均（へいきん） m と母（はは）分散（ぶんさん） \(\sigma^{2}\) を求（もと）めなさい。

  1. Tính trung bình tổng thể: m = E(X) = 1 \(\times\) (1/4) + 2 \(\times\) (1/2) + 3 \(\times\) (1/4) = 1/4 + 1 + 3/4 = 2.母（はは）平均（へいきん）を計算（けいさん）します：m = E(X) = 1 \(\times\) (1/4) + 2 \(\times\) (1/2) + 3 \(\times\) (1/4) = 1/4 + 1 + 3/4 = 2。
  2. Tính E(X^2) = 1^2 \(\times\) (1/4) + 2^2 \(\times\) (1/2) + 3^2 \(\times\) (1/4) = 1/4 + 2 + 9/4 = 4.5.E(X^2) を計算（けいさん）します：E(X^2) = 1^2 \(\times\) (1/4) + 2^2 \(\times\) (1/2) + 3^2 \(\times\) (1/4) = 1/4 + 2 + 9/4 = 4.5。
  3. Tính phương sai tổng thể: \(\sigma^2\) = V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 = 4.5 - 2^2 = 4.5 - 4 = 0.5.母（はは）分散（ぶんさん）を計算（けいさん）します：\(\sigma^2\) = V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 = 4.5 - 2^2 = 4.5 - 4 = 0.5。
Vậy trung bình tổng thể m = 2 và phương sai tổng thể \(\sigma^{2} = 0.5\).したがって、母（はは）平均（へいきん） m = 2、母（はは）分散（ぶんさん） \(\sigma^{2} = 0.5\) となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Biến lượng X nhận các giá trị 1 và 3 với xác suất bằng nhau \(p_{1} = p_{2} = 1 / 2\). Trung bình tổng thể m bằng bao nhiêu?変量（へんりょう） X が値（あたい） 1 と 3 を等（ひと）しい確率（かくりつ） \(p_{1} = p_{2} = 1 / 2\) でとるとき、母（はは）平均（へいきん） m はいくらですか。

2. Cho biến lượng X có E(X) = 3 và \(E (X^{2}) = 13\). Phương sai tổng thể \(\sigma^{2}\) bằng bao nhiêu?E(X) = 3, \(E (X^{2}) = 13\) である変量（へんりょう） X において、母（はは）分散（ぶんさん） \(\sigma^{2}\) はいくらですか。

3. Một tổng thể có trung bình tổng thể m = 15. Rút mẫu ngẫu nhiên thu được trung bình mẫu \(\bar{X}\). Giá trị kỳ vọng \(E (\bar{X})\) bằng bao nhiêu?母（はは）平均（へいきん） m = 15 の母（はは）集団（しゅうだん）から無（む）作為（さくい）抽出（ちゅうしゅつ）した標本（ひょうほん）平均（へいきん）を \(\bar{X}\) とします。平均（へいきん） \(E (\bar{X})\) の値（あたい）はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.13.2 · MATH.13.4. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.13.2 · MATH.13.4。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu khái niệm và tính được trung bình tổng thể m và phương sai tổng thể \(\sigma^{2}\).母（はは）平均（へいきん） m および母（はは）分散（ぶんさん） \(\sigma^{2}\) の概念（がいねん）を理解（りかい）し計算（けいさん）できるようになる。
  2. Nắm vững công thức phương sai \(\sigma^2\) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 và kỳ vọng trung bình mẫu E(\(\bar{X}\)) = m.分散（ぶんさん）の公式（こうしき） \(\sigma^2\) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 と標本（ひょうほん）平均（へいきん）の平均（へいきん） E(\(\bar{X}\)) = m を習得（しゅうとく）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về các đại lượng đặc trưng của tổng thể母（はは）集団（しゅうだん）の特性（とくせい）量（りょう）に関（かん）する直感（ちょっかん）

Trung bình tổng thể m phản ánh vị trí trung tâm của toàn bộ dữ liệu quần thể, còn phương sai và độ lệch chuẩn đo độ phân tán. Khi rút mẫu ngẫu nhiên, trung bình của trung bình mẫu \(E (\bar{X})\) luôn bằng chính trung bình tổng thể m.

母（はは）平均（へいきん） m は母（はは）集団（しゅうだん）データ全体（ぜんたい）の中心（ちゅうしん）位置（いち）を表（あらわ）し、母（はは）分散（ぶんさん）と母（はは）標準（ひょうじゅん）偏差（へんさ）は散（ち）らばりを測定（そくてい）します。無（む）作為（さくい）抽出（ちゅうしゅつ）を行（おこな）う際（さい）、標本（ひょうほん）平均（へいきん）の平均（へいきん） \(E (\bar{X})\) は常（つね）に母（はは）平均（へいきん） m と一致（いっち）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 母（はは）平均（へいきん）trung bình tổng thể

    Giá trị trung bình của biến lượng X trên toàn bộ quần thể.

    母（はは）集団（しゅうだん）全体（ぜんたい）における変量（へんりょう） X の平均（へいきん）値（ち）です。

  • 母（はは）分散（ぶんさん）phương sai tổng thể

    Giá trị trung bình của bình phương khoảng cách từ các biến lượng đến trung bình tổng thể.

    各（かく）変量（へんりょう）の値（あたい）と母（はは）平均（へいきん）との差（さ）の 2 乗（のり）の平均（へいきん）値（ち）です。

  • 母（はは）標準（ひょうじゅん）偏差（へんさ）độ lệch chuẩn tổng thể

    Căn bậc hai số học của phương sai tổng thể, có cùng đơn vị đo với biến lượng.

    母（はは）分散（ぶんさん）の正（せい）の平方（へいほう）根（ね）であり、元（もと）の変量（へんりょう）と同（おな）じ単位（たんい）を持（も）ちます。

  • 母（はは）集団（しゅうだん）分布（ぶんぷ）phân bố tổng thể

    Phân bố xác suất ứng với các giá trị mà biến lượng của quần thể có thể nhận.

    母（はは）集団（しゅうだん）の変量（へんりょう）がとり得（え）る値（あたい）とその確率（かくりつ）の対応（たいおう）関係（かんけい）です。

  • 標本（ひょうほん）平均（へいきん）trung bình mẫu

    Trung bình đại số của các quan sát được rút ngẫu nhiên từ quần thể.

    母（はは）集団（しゅうだん）から無（む）作為（さくい）に抽出（ちゅうしゅつ）された標本（ひょうほん）データの平均（へいきん）値（ち）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ 1：母（はは）平均（へいきん） m の計算（けいさん）

    Bước 1: Tính trung bình tổng thể m

    Tính trung bình m = E(X) bằng tổng tích của từng giá trị i với xác suất \(p_{i}\) tương ứng. Đây là giá trị trung tâm của tổng thể.

    各値（かくち） i と確率（かくりつ） \(p_{i}\) の積（せき）の和（わ）をとって母（はは）平均（へいきん） m = E(X) を計算（けいさん）します。これが母（はは）集団（しゅうだん）の中心（ちゅうしん）値（ち）となります。

  2. 02
    ステップ 2：\(E (X^{2})\) と母（はは）分散（ぶんさん） \(\sigma^{2}\) の計算（けいさん）

    Bước 2: Tính \(E (X^{2})\) và phương sai tổng thể \(\sigma^{2}\)

    Tính \(E (X^{2})\) bằng tổng tích của \(i^{2}\) với \(p_{i}\), sau đó lấy \(E (X^{2})\) trừ đi \(m^{2}\) để tìm phương sai \(\sigma^{2}\). Phép tính này rút ngắn thời gian so với tính trực tiếp độ lệch.

    \(i^{2}\) と \(p_{i}\) の積（せき）の和（わ）から \(E (X^{2})\) を求（もと）め、\(E (X^{2})\) から \(m^{2}\) を引（ひ）いて母（はは）分散（ぶんさん） \(\sigma^{2}\) を得（え）ます。この計算（けいさん）は偏差（へんさ）の直接（ちょくせつ）計算（けいさん）より効率（こうりつ）的（てき）です。

  3. 03
    ステップ 3：母（はは）標準（ひょうじゅん）偏差（へんさ） \(\sigma\) と標本（ひょうほん）平均（へいきん）の平均（へいきん）の確認（かくにん）

    Bước 3: Tính độ lệch chuẩn tổng thể \(\sigma\) và kỳ vọng trung bình mẫu

    Lấy căn bậc hai của phương sai để thu được độ lệch chuẩn \(\sigma = \sqrt{V(X)}\). Đồng thời xác nhận kỳ vọng của trung bình mẫu \(E (\bar{X})\) chính bằng m.

    母（はは）分散（ぶんさん）の平方（へいほう）根（ね）をとって母（ぼ）標準（ひょうじゅん）偏差（へんさ） \(\sigma = \sqrt{V(X)}\) を求（もと）めます。同時（どうじ）に標本（ひょうほん）平均（へいきん）の平均（へいきん） \(E (\bar{X})\) が m に等（ひと）しいことを確認（かくにん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên bình phương E(X) khi dùng công thức \(\sigma^2\) = E(X^2) - \{E(X)\}^2, dẫn đến lấy E(X^2) - E(X).公式（こうしき） \(\sigma^2\) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 で E(X) の 2 乗（のり）を忘（わす）れ、E(X^2) - E(X) とすること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Số trừ trong công thức phải là bình phương của kỳ vọng \{E(X)\}^2.公式（こうしき）の引（ひ）く数（かず）は平均（へいきん）の 2 乗（のり） \{E(X)\}^2 でなければなりません。

Nhầm lẫn giữa kỳ vọng của trung bình mẫu \(E (\bar{X})\) và phương sai của trung bình mẫu.標本（ひょうほん）平均（へいきん）の平均（へいきん） \(E (\bar{X})\) と標本（ひょうほん）平均（へいきん）の分散（ぶんさん）を混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Kỳ vọng của trung bình mẫu \(E (\bar{X})\) luôn bằng trung bình tổng thể m.標本（ひょうほん）平均（へいきん）の平均（へいきん） \(E (\bar{X})\) は常（つね）に母（はは）平均（へいきん） m と等（ひと）しくなります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Trung bình tổng thể m = E(X) đại diện cho vị trí trung tâm của biến lượng trong toàn bộ quần thể.母（はは）平均（へいきん） m = E(X) は母（はは）集団（しゅうだん）全体（ぜんたい）における変量（へんりょう）の中心（ちゅうしん）位置（いち）を表（あらわ）します。
  • Phương sai tổng thể tính qua công thức hiệu \(\sigma^2\) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 giúp rút gọn phép tính.母（はは）分散（ぶんさん）は差（さ）の公式（こうしき） \(\sigma^2\) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 を用（もち）いることで計算（けいさん）を簡略（かんりゃく）化（か）できます。
  • Kỳ vọng của trung bình mẫu \(E (\bar{X})\) luôn bằng trung bình tổng thể m bất kể kích thước mẫu.標本（ひょうほん）平均（へいきん）の平均（へいきん） \(E (\bar{X})\) は標本（ひょうほん）サイズに関（かか）わらず常（つね）に母（はは）平均（へいきん） m と一致（いっち）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

m = E(X) = \sum_{i=1}^{n} i p_i

Công thức tính trung bình tổng thể m dựa trên tổng tích giá trị và xác suất.

値（あたい）と確率（かくりつ）の積（せき）の総和（そうわ）から母（はは）平均（へいきん） m を求（もと）める公式（こうしき）です。

\sigma^2 = V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2

Công thức biến đổi giúp tính phương sai tổng thể một cách nhanh chóng.

母（はは）分散（ぶんさん）を迅速（じんそく）に計算（けいさん）するための変形（へんけい）公式（こうしき）です。

\sigma = \sigma(X) = \sqrt{V(X)}

Độ lệch chuẩn tổng thể là căn bậc hai của phương sai tổng thể.

母（はは）標準（ひょうじゅん）偏差（へんさ）は母（はは）分散（ぶんさん）の平方（へいほう）根（ね）として定義（ていぎ）されます。

E(\bar{X}) = m

Kỳ vọng của trung bình mẫu luôn bằng trung bình tổng thể m.

標本（ひょうほん）平均（へいきん）の平均（へいきん）（期待（きたい）値（ち））は常（つね）に母（はは）平均（へいきん） m に等（ひと）しいことを示（しめ）します。

EJU 2026 · MATH.13.2 · MATH.13.4

Bài học trình bày các đặc trưng của quần thể gồm trung bình tổng thể, phương sai tổng thể và độ lệch chuẩn tổng thể. Bạn sẽ học cách tính toán các đại lượng này và mối liên hệ với trung bình mẫu.

本課（ほんか）では、母（はは）平均（へいきん）、母（はは）分散（ぶんさん）、母（はは）標準（ひょうじゅん）偏差（へんさ）を含（ふく）む母（はは）集団（しゅうだん）の特徴（とくちょう）量（りょう）を解説（かいせつ）します。これらの統計（とうけい）量（りょう）の計算（けいさん）方法（ほうほう）と標本（ひょうほん）平均（へいきん）との関係（かんけい）を学（まな）びます。

母（はは）平均（へいきん）・母（はは）分散（ぶんさん）・母（ぼ）標準（ひょうじゅん）偏差（へんさ）
母平均母分散母標準偏差母集団分布