Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng点（てん）と直線（ちょくせん）の距離（きょり）

Công thức公式

d = \frac{|a x_1 + b y_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
d = \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\Delta OAB = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|
m = tan\theta

Ví dụ例題

Cho điểm P(2, 3) và đường thẳng 3x + 4y - 3 = 0. Hãy tính khoảng cách d từ điểm P đến đường thẳng này.

点（てん） P(2, 3) と直線（ちょくせん） 3x + 4y - 3 = 0 が与（あた）えられています。点（てん） P からこの直線（ちょくせん）までの距離（きょり） d を求（もと）めなさい。

  1. Xác định hệ số a = 3, b = 4, c = -3 và tọa độ điểm x1 = 2, y1 = 3.係数（けいすう） a = 3, b = 4, c = -3 および点（てん）の座標（ざひょう） x1 = 2, y1 = 3 を特定（とくてい）します。
  2. Thay vào tử số: |a x1 + b y1 + c| = |3(2) + 4(3) - 3| = |6 + 12 - 3| = |15| = 15.分子（ぶんし）に代入（だいにゅう）します: |a x1 + b y1 + c| = |3(2) + 4(3) - 3| = |6 + 12 - 3| = |15| = 15。
  3. Tính mẫu số: \(\sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).分母（ぶんぼ）を計算（けいさん）します: \(\sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)。
  4. Tính khoảng cách d = 15 / 5 = 3.距離（きょり） d = 15 / 5 = 3 を計算（けいさん）します。
Vậy khoảng cách từ điểm P(2, 3) đến đường thẳng 3x + 4y - 3 = 0 là d = 3.したがって、点（てん） P(2, 3) から直線（ちょくせん） 3x + 4y - 3 = 0 までの距離（きょり）は d = 3 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính khoảng cách d từ điểm A(1, -2) đến đường thẳng 4x - 3y + 5 = 0.点（てん） A(1, -2) から直線（ちょくせん） 4x - 3y + 5 = 0 までの距離（きょり） d を求（もと）めなさい。

2. Tính khoảng cách d từ gốc tọa độ O(0, 0) đến đường thẳng 5x + 12y - 26 = 0.原点（げんてん） O(0, 0) から直線（ちょくせん） 5x + 12y - 26 = 0 までの距離（きょり） d を求（もと）めなさい。

3. Cho ba điểm O(0, 0), A(4, 0) và B(2, 3) trên mặt phẳng tọa độ. Tính diện tích tam giác OAB.座標（ざひょう）平面（へいめん）上（じょう）に3点（てん） O(0, 0), A(4, 0), B(2, 3) があります。三角形（さんかくけい） OAB の面積（めんせき）を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.9.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.9.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững và áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ.座標（ざひょう）平面（へいめん）における点（てん）と直線（ちょくせん）の距離（きょり）の公式（こうしき）を修得（しゅうとく）し、適用（てきよう）できるようになる。
  2. Biết cách áp dụng công thức diện tích tam giác có đỉnh tại gốc tọa độ và xác định góc giữa hai đường thẳng.原点（げんてん）を頂点（ちょうてん）とする三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）公式（こうしき）の適用（てきよう）および2直線（ちょくせん）のなす角（かく）の決定（けってい）方法（ほうほう）を理解（りかい）する。
Trực giác · イメージ

Độ dài ngắn nhất từ một điểm tới đường thẳng点（てん）から直線（ちょくせん）への最短（さいたん）の長（なが）さ

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng chính là độ dài đoạn vuông góc hạ từ điểm đó xuống đường thẳng. Công thức đại số giúp chúng ta tính toán độ dài này một cách nhanh chóng mà không cần tìm tọa độ hình chiếu.

点（てん）から直線（ちょくせん）への距離（きょり）とは、その点（てん）から直線（ちょくせん）に下（お）ろした垂線（すいせん）の長（なが）さのことです。代数（だいすう）的（てき）な公式（こうしき）を使（つか）うことで、垂線（すいせん）の足（あし）の座標（ざひょう）を求（もと）めずに最短（さいたん）距離（きょり）を迅速（じんそく）に計算（けいさん）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 点（てん）と直線（ちょくせん）の距離（きょり）khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

    Là độ dài ngắn nhất từ điểm P(x1, y1) đến đường thẳng ax + by + c = 0. Giá trị này được xác định bằng tỷ số giữa giá trị tuyệt đối của biểu thức đường thẳng tại P và căn bậc hai của tổng bình phương các hệ số.

    点（てん） P(x1, y1) から直線（ちょくせん） ax + by + c = 0 までの最短（さいたん）距離（きょり）のことです。この値（あたい）は、点（てん） P を代入（だいにゅう）した式（しき）の絶対（ぜったい）値（ち）を係数（けいすう）の2乗（のり）の和（わ）の平方（へいほう）根（ね）で割（わ）ることで求（もと）められます。

  • 三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）diện tích tam giác

    Diện tích tam giác OAB có đỉnh tại gốc tọa độ O(0,0) và hai đỉnh A(x1, y1), B(x2, y2) được tính theo công thức tích chéo. Công thức này giúp tính nhanh diện tích mà không cần tìm độ dài cạnh đáy và chiều cao.

    原点（げんてん） O(0,0) と2点（てん） A(x1, y1), B(x2, y2) を頂点（ちょうてん）とする三角形（さんかくけい） OAB の面積（めんせき）は外積（がいせき）の公式（こうしき）で計算（けいさん）できます。底辺（ていへん）と高（たか）さを個別（こべつ）に求（もと）めずに面積（めんせき）を迅速（じんそく）に算出（さんしゅつ）できます。

  • 2直線（ちょくせん）のなす角（かく）góc giữa hai đường thẳng

    Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng. Góc này liên quan trực tiếp đến hệ số góc của hai đường thẳng thông qua hàm lượng giác tang.

    平面（へいめん）上（じょう）で交（まじ）わる2直線（ちょくせん）によって形成（けいせい）される角（かく）のことです。この角（かく）は正接（せいせつ）関数（かんすう）を介（かい）して2直線（ちょくせん）の傾（かたむ）きと直接（ちょくせつ）関連（かんれん）しています。

  • 傾（かたむ）きhệ số góc

    Hệ số góc m của đường thẳng đại diện cho độ dốc và bằng tang của góc tạo bởi đường thẳng với chiều dương trục Ox. Khi biết hệ số góc, ta có thể xác định góc nghiêng của đường thẳng.

    直線（ちょくせん）の傾（かたむ）き m は傾（かたむ）き具合（ぐあい）を表（あらわ）し、直線（ちょくせん）が x 軸（じく）の正（せい）の向（む）きとなす角（かく）の正接（せいせつ）に等（ひと）しいです。傾（かたむ）きを知（し）ることで直線（ちょくせん）の傾斜（けいしゃ）角（かく）を特定（とくてい）できます。

  • 鋭角（えいかく）góc nhọn

    Góc nhọn là góc có độ lớn nhỏ hơn 90 độ. Khi tính góc giữa hai đường thẳng, người ta thường lấy góc nhọn giữa chúng.

    鋭角（えいかく）とは大（おお）きさ 90 度（ど）未満（みまん）の角（かく）のことです。2直線（ちょくせん）のなす角（かく）を求（もと）める際（さい）、通常（つうじょう）は鋭角（えいかく）の大（おお）きさを扱（あつか）います。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）を一般（いっぱん）形（けい）に変形（へんけい）する

    Bước 1: Đưa phương trình đường thẳng về dạng tổng quát

    Chuyển phương trình đường thẳng về dạng ax + by + c = 0 để xác định rõ các hệ số a, b và c. Đảm bảo hệ số a và b không đồng thời bằng 0.

    係数（けいすう） a, b, c を明確（めいかく）にするため、直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）を ax + by + c = 0 の形（かたち）に変形（へんけい）します。a と b が同時（どうじ）に 0 にならないことを確認（かくにん）します。

  2. 02
    ステップ2：点（てん）の座標（ざひょう）を距離（きょり）の公式（こうしき）に代入（だいにゅう）する

    Bước 2: Thay tọa độ điểm vào công thức khoảng cách

    Thế tọa độ (x1, y1) của điểm cần tính vào tử số |a \(x_{1} + b\) \(y_{1} + c\)| và tính mẫu số \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\). Sau đó chia tử số cho mẫu số để thu được khoảng cách d.

    点（てん）の座標（ざひょう） (x1, y1) を分子（ぶんし）の |a \(x_{1} + b\) \(y_{1} + c\)| に代入（だいにゅう）し、分母（ぶんぼ） \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) を計算（けいさん）します。分子（ぶんし）を分母（ぶんぼ）で割（わ）ることで距離（きょり） d を求（もと）めます。

  3. 03
    ステップ3：原点（げんてん） O を含（ふく）む三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）に適用（てきよう）する

    Bước 3: Áp dụng tính diện tích tam giác gốc O

    Khi cần tính diện tích tam giác OAB có O là gốc tọa độ, áp dụng trực tiếp công thức tích chéo tọa độ hai điểm A và B. Kết quả nhận được luôn là một số dương nhờ dấu giá trị tuyệt đối.

    原点（げんてん） O を含（ふく）む三角形（さんかくけい） OAB の面積（めんせき）を求（もと）める場合（ばあい）、点（てん） A と点（てん） B の座標（ざひょう）のたすき掛（が）けの公式（こうしき）を直接（ちょくせつ）適用（てきよう）します。絶対（ぜったい）値（ち）記号（きごう）により結果（けっか）は常（つね）に正（せい）の値（あたい）になります。

  4. 04
    ステップ4：結果（けっか）の確認（かくにん）と簡素（かんそ）化（か）

    Bước 4: Kiểm tra và rút gọn kết quả

    Trục căn thức ở mẫu số nếu cần và kiểm tra tính hợp lý của kết quả khoảng cách (d >= 0). Đảm bảo các phép tính đại số chính xác.

    必要（ひつよう）に応（おう）じて分母（ぶんぼ）を有理（ゆうり）化（か）し、距離（きょり）の結果（けっか）が妥当（だとう）か (d >= 0) を確認（かくにん）します。代数（だいすう）計算（けいさん）が正確（せいかく）であることを確認（かくにん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên đưa phương trình đường thẳng về dạng tổng quát ax + by + c = 0 trước khi áp dụng công thức.公式（こうしき）を適用（てきよう）する前（まえ）に、直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）を一般（いっぱん）形（けい） ax + by + c = 0 に変形（へんけい）するのを忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Chuyển tất cả các hạng tử về một phía để có c chính xác trước khi thế tọa độ điểm vào tử số.点（てん）の座標（ざひょう）を分子（ぶんし）に代入（だいにゅう）する前（まえ）に、すべての項（こう）を片辺（かたほとり）に移行（いこう）して c の値（あたい）を正確（せいかく）に求（もと）めます。

Quên lấy giá trị tuyệt đối ở tử số, dẫn đến khoảng cách có thể bị âm.分子（ぶんし）の絶対（ぜったい）値（ち）を取（と）り忘（わす）れ、距離（きょり）が負（ふ）の値（あたい）になってしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khoảng cách là đại lượng độ dài luôn không âm, do đó luôn phải giữ dấu giá trị tuyệt đối |a \(x_{1} + b\) \(y_{1} + c\)|.距離（きょり）は常（つね）に非（ひ）負（ふ）の長（なが）さの量（りょう）であるため、常（つね）に絶対（ぜったい）値（ち）記号（きごう） |a \(x_{1} + b\) \(y_{1} + c\)| を保持（ほじ）しなければなりません。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Khoảng cách từ điểm P(x1, y1) đến đường thẳng ax + by + c = 0 được tính bằng công thức d = |a \(x_{1} + b\) \(y_{1} + c\)| / \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\).点（てん） P(x1, y1) から直線（ちょくせん） ax + by + c = 0 までの距離（きょり）は d = |a \(x_{1} + b\) \(y_{1} + c\)| / \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) で計算（けいさん）されます。
  • Khoảng cách từ gốc tọa độ O(0,0) đến đường thẳng rút gọn thành d = |c| / \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\).原点（げんてん） O(0,0) から直線（ちょくせん）までの距離（きょり）は d = |c| / \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) に簡略（かんりゃく）化（か）されます。
  • Diện tích tam giác có đỉnh O(0,0) và hai đỉnh A(x1, y1), B(x2, y2) là \(\Delta\) OAB = 1/2 * |x1 y2 - x2 y1|.原点（げんてん） O(0,0) と2点（てん） A(x1, y1), B(x2, y2) を頂点（ちょうてん）とする三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）は \(\Delta\) OAB = 1/2 * |x1 y2 - x2 y1| です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

d = \frac{|a x_1 + b y_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Công thức khoảng cách từ điểm P(x1, y1) đến đường thẳng ax + by + c = 0.

点（てん） P(x1, y1) から直線（ちょくせん） ax + by + c = 0 までの距離（きょり）を求（もと）める公式（こうしき）。

d = \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Trường hợp đặc biệt tính khoảng cách từ gốc tọa độ O(0,0) đến đường thẳng ax + by + c = 0.

原点（げんてん） O(0,0) から直線（ちょくせん） ax + by + c = 0 までの距離（きょり）を求（もと）める特別（とくべつ）な場合（ばあい）。

\Delta OAB = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|

Công thức diện tích tam giác OAB với O là gốc tọa độ và A(x1, y1), B(x2, y2).

原点（げんてん） O と2点（てん） A(x1, y1), B(x2, y2) を頂点（ちょうてん）とする三角形（さんかくけい） OAB の面積（めんせき）公式（こうしき）。

m = tan\theta

Mối liên hệ giữa hệ số góc m của đường thẳng và góc nghiêng \(\theta\) của đường thẳng đó.

直線（ちょくせん）の傾（かたむ）き m とその直線（ちょくせん）の傾斜（けいしゃ）角（かく） \(\theta\) との関係（かんけい）式（しき）。

EJU 2026 · MATH.9.1

Bài học này giúp bạn nắm vững công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và ứng dụng tính diện tích tam giác. Qua đó, bạn có thể giải quyết chính xác các bài toán hình học tọa độ trong kỳ thi EJU.

本課（ほんか）では、点（てん）と直線（ちょくせん）の距離（きょり）の公式（こうしき）および三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）への応用（おうよう）を修得（しゅうとく）します。これにより、EJU試験（しけん）における図形（ずけい）と方程（ほうてい）式（しき）の問題（もんだい）を正確（せいかく）に解決（かいけつ）できるようになります。

点（てん）と直線（ちょくせん）の距離（きょり）
点と直線の距離三角形の面積2直線のなす角傾き