Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên確率（かくりつ）変数（へんすう）の平均（へいきん）（期待（きたい）値（ち））

Công thức公式

E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n
V(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - m)^2 p_i = (x_1 - m)^2 p_1 + (x_2 - m)^2 p_2 + \dots + (x_n - m)^2 p_n
\sigma(X) = \sqrt{V(X)}
V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2

Ví dụ例題

Xét biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị \(x_{1} = 1\) và \(x_{2} = 3\) với xác suất \(p_{1} = 0.5\) và \(p_{2} = 0.5\). Hãy tính giá trị kỳ vọng E(X), phương sai V(X) và độ lệch chuẩn \(\sigma (X)\).

確率（かくりつ）変数（へんすう） X が値（あたい） \(x_{1} = 1\), \(x_{2} = 3\) をそれぞれ確率（かくりつ） \(p_{1} = 0.5\), \(p_{2} = 0.5\) でとるとき、期待（きたい）値（ち） E(X)、分散（ぶんさん） V(X)、標準（ひょうじゅん）偏差（へんさ） \(\sigma (X)\) を求（もと）めよ。

  1. Bước 1: Tính giá trị kỳ vọng E(X): Sử dụng công thức \(E (X) = x_{1}\) \(p_{1} + x_{2}\) \(p_{2}\), ta có E(X) = 1(0.5) + 3(0.5) = 2.ステップ1：期待（きたい）値（ち） E(X) の計算（けいさん）：公式（こうしき） \(E (X) = x_{1}\) \(p_{1} + x_{2}\) \(p_{2}\) を用（もち）いて、E(X) = 1(0.5) + 3(0.5) = 2 と計算（けいさん）する。
  2. Bước 2: Tính kỳ vọng bình phương \(E (X^{2})\) và phương sai V(X): Ta có \(E (X^{2}) = 1^{2} (0.5) + 3^{2} (0.5) = 5\). Áp dụng \(V(X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}\), ta được \(V(X) = 5 - 2^{2} = 1\).ステップ2：二（に）乗（じょう）の平均（へいきん） \(E (X^{2})\) と分散（ぶんさん） V(X) の計算（けいさん）：\(E (X^{2}) = 1^{2} (0.5) + 3^{2} (0.5) = 5\) となる。公式（こうしき） \(V(X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}\) より、\(V(X) = 5 - 2^{2} = 1\) を得（う）る。
  3. Bước 3: Tính độ lệch chuẩn \(\sigma (X)\): Sử dụng công thức \(\sigma (X) = \sqrt{V(X)}\), ta tính được \(\sigma (X) = \sqrt{1} = 1\).ステップ3：標準（ひょうじゅん）偏差（へんさ） \(\sigma (X)\) の計算（けいさん）：公式（こうしき） \(\sigma (X) = \sqrt{V(X)}\) を用（もち）いて、\(\sigma (X) = \sqrt{1} = 1\) となる。
Kết quả tính được là E(X) = 2, V(X) = 1 và \(\sigma (X) = 1\).計算（けいさん）結果（けっか）は E(X) = 2, V(X) = 1, \(\sigma (X) = 1\) である。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Biến ngẫu nhiên X nhận hai giá trị 0 và 2 với xác suất tương ứng \(p_{1} = 0.3\) và \(p_{2} = 0.7\). Giá trị kỳ vọng E(X) bằng bao nhiêu?確率（かくりつ）変数（へんすう） X が 2 つの値（あたい） 0 と 2 をそれぞれ確率（かくりつ） \(p_{1} = 0.3\), \(p_{2} = 0.7\) でとるとき、期待（きたい）値（ち） E(X) はいくらか。

2. Cho biến ngẫu nhiên X có E(X) = 3 và \(E (X^{2}) = 13\). Phương sai V(X) của X bằng bao nhiêu?確率（かくりつ）変数（へんすう） X において E(X) = 3、\(E (X^{2}) = 13\) であるとき、分散（ぶんさん） V(X) はいくらか。

3. Một biến ngẫu nhiên X có phương sai V(X) = 16. Độ lệch chuẩn \(\sigma (X)\) bằng bao nhiêu?確率（かくりつ）変数（へんすう） X の分散（ぶんさん）が V(X) = 16 であるとき、標準（ひょうじゅん）偏差（へんさ） \(\sigma (X)\) はいくらか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.13.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 3 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.13.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）3区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu khái niệm kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên.確率（かくりつ）変数（へんすう）の平均（へいきん）（期待（きたい）値（ち））、分散（ぶんさん）、標準（ひょうじゅん）偏差（へんさ）の概念（がいねん）を理解（りかい）する。
  2. Tính toán thành thạo kỳ vọng và phương sai từ phân bố xác suất cho trước.与（あた）えられた確率（かくりつ）分布（ぶんぷ）から平均（へいきん）と分散（ぶんさん）を正確（せいかく）に計算（けいさん）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về điểm cân bằng của phân bố分布（ぶんぷ）のつり合（あ）いの点（てん）の直感（ちょっかん）的（てき）理解（りかい）

Kỳ vọng giống như điểm trọng tâm cân bằng của một thanh ngang mang các quả cân có khối lượng bằng xác suất tương ứng. Phương sai đo khoảng cách bình phương trung bình từ các điểm dữ liệu đến điểm cân bằng này.

期待（きたい）値（ち）は、確率（かくりつ）という重（おも）みを載（の）せた天秤（てんびん）がぴったりつり合（あ）う重心（じゅうしん）の位置（いち）に相当（そうとう）する。分散（ぶんさん）はその重心（じゅうしん）からの各（かく）データ点（てん）の二（に）乗（じょう）距離（きょり）の平均（へいきん）を表（あらわ）す。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 確率（かくりつ）変数（へんすう）の平均（へいきん）trung bình của biến ngẫu nhiên

    Giá trị trung bình trọng số của biến ngẫu nhiên, thu được bằng cách nhân từng giá trị với xác suất xuất hiện của nó.

    各値（かくち）にその発生（はっせい）確率（かくりつ）を掛け合（かけあ）わせて得（え）られる確率（かくりつ）変数（へんすう）の重（おも）み付（つ）き平均（へいきん）値（ち）。

  • 期待（きたい）値（ち）giá trị kỳ vọng

    Tên gọi khác của trung bình biến ngẫu nhiên, biểu diễn giá trị trung bình kỳ vọng nhận được khi lặp lại phép thử vô hạn lần.

    確率（かくりつ）変数（へんすう）の平均（へいきん）の別称（べっしょう）であり、試行（しこう）を無限（むげん）回（かい）繰り返（くりかえ）したときに期待（きたい）される平均（へいきん）値（ち）。

  • 相対（そうたい）度数（どすう）の分布（ぶんぷ）phân bố tần suất tương đối

    Sự phân chia tỷ lệ xuất hiện của các giá trị trong dữ liệu thực nghiệm, tương ứng với phân bố xác suất trong lý thuyết.

    実験（じっけん）データにおける各値（かくち）の出現（しゅつげん）割合（わりあい）の分布（ぶんぷ）であり、理論（りろん）上（じょう）の確率（かくりつ）分布（ぶんぷ）に対応（たいおう）する。

  • 確率（かくりつ）変数（へんすう）の分散（ぶんさん）phương sai của biến ngẫu nhiên

    Kỳ vọng của bình phương độ lệch so với trung bình, đo độ phân tán của các giá trị biến ngẫu nhiên.

    平均（へいきん）からの偏差（へんさ）の二（に）乗（じょう）の期待（きたい）値（ち）であり、確率（かくりつ）変数（へんすう）の値（あたい）の散（ち）らばり具合（ぐあい）を表（あらわ）す。

  • 標準（ひょうじゅん）偏差（へんさ）độ lệch chuẩn

    Căn bậc hai đại số của phương sai, đưa độ đo độ tán sắc về cùng đơn vị với biến ngẫu nhiên.

    分散（ぶんさん）の正（せい）の平方（へいほう）根（ね）であり、散（ち）らばりの尺度（しゃくど）を元（もと）の確率（かくりつ）変数（へんすう）と同（おな）じ単位（たんい）に戻（もど）したもの。

  • 偏差（へんさ）độ lệch

    Hiệu số giữa một giá trị của biến ngẫu nhiên và giá trị trung bình của nó \((x_{i} - m)\).

    確率（かくりつ）変数（へんすう）の各値（かくち）とその平均（へいきん）値（ち）との差（さ）（\(x_{i} - m\)）。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：期待（きたい）値（ち） E(X) の計算（けいさん）

    Bước 1: Tính giá trị kỳ vọng E(X)

    Nhân từng giá trị \(x_{i}\) với xác suất \(p_{i}\) tương ứng rồi lấy tổng toàn bộ để thu được E(X). Đây là giá trị trung bình trọng số của biến ngẫu nhiên.

    各値（かくち） \(x_{i}\) に対応（たいおう）する確率（かくりつ） \(p_{i}\) を掛（か）け、それらの総和（そうわ）をとって E(X) を求（もと）める。これは確率（かくりつ）変数（へんすう）の重（おも）み付（つ）き平均（へいきん）である。

  2. 02
    ステップ2：二（に）乗（じょう）の平均（へいきん） \(E (X^{2})\) と分散（ぶんさん） V(X) の計算（けいさん）

    Bước 2: Tính kỳ vọng bình phương \(E (X^{2})\) và phương sai V(X)

    Tính E(X^2) bằng tổng tích x_i^2 * p_i, sau đó lấy E(X^2) trừ đi bình phương kỳ vọng {E(X)}^2 để tìm phương sai V(X).

    x_i^2 * p_i の総和（そうわ）から E(X^2) を求（もと）め、そこから平均（へいきん）の二（に）乗（じょう） {E(X)}^2 を引（ひ）いて分散（ぶんさん） V(X) を計算（けいさん）する。

  3. 03
    ステップ3：標準（ひょうじゅん）偏差（へんさ） \(\sigma (X)\) の特定（とくてい）

    Bước 3: Xác định độ lệch chuẩn \(\sigma (X)\)

    Lấy căn bậc hai đại số dương của phương sai V(X) để thu được độ lệch chuẩn \(\sigma (X)\).

    分散（ぶんさん） V(X) の正（せい）の平方（へいほう）根（ね）をとることで標準（ひょうじゅん）偏差（へんさ） \(\sigma (X)\) を算出（さんしゅつ）する。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn giữa kỳ vọng của bình phương E(X^2) và bình phương của kỳ vọng {E(X)}^2.二（に）乗（じょう）の平均（へいきん） E(X^2) と平均（へいきん）の二（に）乗（じょう） {E(X)}^2 を混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）E(X^2) là kỳ vọng của các giá trị x_i^2, còn {E(X)}^2 là bình phương của kết quả E(X). Hai giá trị này chỉ bằng nhau khi phương sai bằng 0.E(X^2) は各値（かくち）の二（に）乗（じょう）の平均（へいきん）であり、{E(X)}^2 は E(X) の結果（けっか）を二乗（じじょう）したものである。両者（りょうしゃ）は分散（ぶんさん）がゼロでない限（かぎ）り一致（いっち）しない。

Bỏ qua các xác suất \(p_{i}\) khi tính kỳ vọng E(X) và chỉ cộng tổng các giá trị \(x_{i}\) rồi chia cho n như trung bình cộng thông thường.期待（きたい）値（ち） E(X) の計算（けいさん）で確率（かくりつ） \(p_{i}\) を無視（むし）し、単（たん）に各値（かくち） \(x_{i}\) の算術（さんじゅつ）平均（へいきん）をとること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Biến ngẫu nhiên có thể có xác suất xuất hiện khác nhau ở từng giá trị, nên phải tính tổng tích \(x_{i}\cdot p_{i}\) theo phân bố tần suất tương đối.確率（かくりつ）変数（へんすう）の各値（かくち）は異（こと）なる確率（かくりつ）を持（も）つため、相対（そうたい）度数（どすう）の分布（ぶんぷ）に従（したが）って \(x_{i}\cdot p_{i}\) の重（おも）み付（つ）き和（わ）を計算（けいさん）しなければならない。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Giá trị kỳ vọng E(X) là trung bình trọng số của biến ngẫu nhiên với trọng số là các xác suất \(p_{i}\).期待（きたい）値（ち） E(X) は、確率（かくりつ） \(p_{i}\) を重（おも）みとした確率（かくりつ）変数（へんすう）の重（おも）み付（つ）き平均（へいきん）である。
  • Phương sai V(X) có thể tính nhanh bằng công thức \(V(X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}\).分散（ぶんさん） V(X) は公式（こうしき） \(V(X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}\) を用（もち）いて簡便（かんべん）に計算（けいさん）できる。
  • Độ lệch chuẩn \(\sigma (X)\) bằng căn bậc hai của phương sai V(X), phản ánh độ tán sắc cùng đơn vị với biến ngẫu nhiên.標準（ひょうじゅん）偏差（へんさ） \(\sigma (X)\) は分散（ぶんさん） V(X) の平方（へいほう）根（ね）であり、元（もと）の確率（かくりつ）変数（へんすう）と同（おな）じ単位（たんい）で散（ち）らばりを表（あらわ）す。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n

Công thức tính giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc X bằng tổng các tích giữa giá trị \(x_{i}\) và xác suất \(p_{i}\).

離散（りさん）型（がた）確率（かくりつ）変数（へんすう） X の期待（きたい）値（ち）を各値（かくち） \(x_{i}\) と確率（かくりつ） \(p_{i}\) の積（せき）の和（わ）として求（もと）める公式（こうしき）。

V(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - m)^2 p_i = (x_1 - m)^2 p_1 + (x_2 - m)^2 p_2 + \dots + (x_n - m)^2 p_n

Công thức tính phương sai của biến ngẫu nhiên X bằng tổng các tích giữa bình phương độ lệch \((x_{i} - m)\) với xác suất \(p_{i}\).

平均（へいきん） m からの偏差（へんさ）の二（に）乗（じょう） \((x_{i} - m)^{2}\) に確率（かくりつ） \(p_{i}\) を掛（か）けた和（わ）として分散（ぶんさん）を求（もと）める公式（こうしき）。

\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

Công thức tính độ lệch chuẩn bằng căn bậc hai dương của phương sai V(X).

分散（ぶんさん） V(X) の正（せい）の平方（へいほう）根（ね）として標準（ひょうじゅん）偏差（へんさ）を計算（けいさん）する公式（こうしき）。

V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2

Công thức rút gọn tính phương sai bằng hiệu giữa kỳ vọng của bình phương và bình phương của kỳ vọng.

二（に）乗（じょう）の平均（へいきん）から平均（へいきん）の二（に）乗（じょう）を引（ひ）いて分散（ぶんさん）を効率（こうりつ）的（てき）に求（もと）める計算（けいさん）公式（こうしき）。

EJU 2026 · MATH.13.2

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên cho biết giá trị trung bình lý thuyết thu được khi thực hiện phép thử nhiều lần. Đây là đặc trưng quan trọng phản ánh vị trí trung tâm của phân bố xác suất.

確率（かくりつ）変数（へんすう）の平均（へいきん）（期待（きたい）値（ち））は、試行（しこう）を多（た）数（すう）回（かい）繰り返（くりかえ）したときに得（え）られる理論（りろん）的（てき）な平均（へいきん）値（ち）を示（しめ）す。これは確率（かくりつ）分布（ぶんぷ）の中心（ちゅうしん）位置（いち）を表（あらわ）す重要（じゅうよう）な指標（しひょう）である。

確率（かくりつ）変数（へんすう）の平均（へいきん）（期待（きたい）値（ち））
確率変数の平均期待値相対度数の分布確率変数の分散