Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Kỳ vọng và phương sai của X+Y, kỳ vọng của XYX+Yの平均（へいきん）・分散（ぶんさん），XYの平均（へいきん）

Công thức公式

P(X=x_i \land Y=y_j) = P(X=x_i)P(Y=y_j)
E(X+Y) = E(X) + E(Y)
E(XY) = E(X)E(Y)
V(X+Y) = V(X) + V(Y)

Ví dụ例題

Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập X và Y. Biết E(X) = 3, E(Y) = 4, V(X) = 2 và V(Y) = 5. Hãy tính E(X+Y), E(XY) và V(X+Y).

互（たが）いに独立（どくりつ）な2つの確率（かくりつ）変数（へんすう）X, Yがあり、E(X) = 3, E(Y) = 4, V(X) = 2, V(Y) = 5とします。E(X+Y), E(XY), V(X+Y)の値（あたい）をそれぞれ求（もと）めてみましょう。

  1. Bước 1: Tính E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 3 + 4 = 7.ステップ1：E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 3 + 4 = 7を計算（けいさん）します。
  2. Bước 2: Vì X và Y độc lập, tính E(XY) = E(X)E(Y) = 3 * 4 = 12.ステップ2：XとYは独立（どくりつ）なので、E(XY) = E(X)E(Y) = 3 * 4 = 12を計算（けいさん）します。
  3. Bước 3: Vì X và Y độc lập, tính V(X+Y) = V(X) + V(Y) = 2 + 5 = 7.ステップ3：XとYは独立（どくりつ）なので、V(X+Y) = V(X) + V(Y) = 2 + 5 = 7を計算（けいさん）します。
Ta thu được các giá trị E(X+Y) = 7, E(XY) = 12 và V(X+Y) = 7.したがって、E(X+Y) = 7, E(XY) = 12, V(X+Y) = 7となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y có E(X) = 5 và E(Y) = 8. Tính E(X+Y).2つの確率（かくりつ）変数（へんすう）X, YについてE(X) = 5, E(Y) = 8のとき、E(X+Y)の値（あたい）を求（もと）めなさい。

2. Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập X và Y với E(X) = 4 và E(Y) = 6. Tính kỳ vọng của tích E(XY).互（たが）いに独立（どくりつ）な確率（かくりつ）変数（へんすう）X, Yがあり、E(X) = 4, E(Y) = 6です。積（せき）の平均（へいきん）E(XY)の値（あたい）を求（もと）めなさい。

3. Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập X và Y có phương sai V(X) = 3 và V(Y) = 7. Tính V(X+Y).互（たが）いに独立（どくりつ）な確率（かくりつ）変数（へんすう）X, Yの分散（ぶんさん）がV(X) = 3, V(Y) = 7であるとき、V(X+Y)の値（あたい）を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.13.5 · MATH.13.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.13.5 · MATH.13.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững tính chất kỳ vọng của tổng hai biến ngẫu nhiên E(X+Y) = E(X) + E(Y) trong mọi trường hợp.常（つね）に成り立（なりた）つ確率（かくりつ）変数（へんすう）の和（わ）の平均（へいきん）の性質（せいしつ） E(X+Y) = E(X) + E(Y) を理解（りかい）する。
  2. Hiểu điều kiện độc lập để tính kỳ vọng của tích E(XY) = E(X)E(Y) và phương sai của tổng V(X+Y) = V(X) + V(Y).独立（どくりつ）な場合（ばあい）に成り立（なりた）つ積（せき）の平均（へいきん） E(XY) = E(X)E(Y) と和（わ）の分散（ぶんさん） V(X+Y) = V(X) + V(Y) の条件（じょうけん）を理解（りかい）する。
  3. Áp dụng các công thức để tính toán nhanh các chỉ số của biến ngẫu nhiên phức hợp.公式（こうしき）を適用（てきよう）して複合（ふくごう）的（てき）な確率（かくりつ）変数（へんすう）の特性（とくせい）量（りょう）を正確（せいかく）に計算（けいさん）できるようにする。
Trực giác · イメージ

Tính chất cộng của kỳ vọng và phương sai平均（へいきん）と分散（ぶんさん）の加法（かほう）性（せい）

Kỳ vọng có tính chất tuyến tính nên kỳ vọng của tổng luôn bằng tổng các kỳ vọng bất kể hai biến có độc lập hay không. Tuy nhiên, với tích các biến hoặc phương sai của tổng, tính chất phân tách chỉ xuất hiện khi hai biến ngẫu nhiên hoàn toàn độc lập với nhau.

平均（へいきん）は線形（せんけい）性（せい）を持（も）つため、2つの変数（へんすう）が独立（どくりつ）であるか否（いな）かにかかわらず、和（わ）の平均（へいきん）は常（つね）に平均（へいきん）の和（わ）に等（ひと）しくなります。一方（いっぽう）、積（せき）の平均（へいきん）や和（わ）の分散（ぶんさん）については、変数（へんすう）が互（たが）いに独立（どくりつ）である場合（ばあい）にのみ分解（ぶんかい）の公式（こうしき）が成立（せいりつ）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 確率（かくりつ）変数（へんすう）の独立（どくりつ）tính độc lập của biến ngẫu nhiên

    Hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập khi xác suất đồng thời P(X=x_i và Y=y_j) bằng tích các xác suất P(X=x_i)P(Y=y_j). Khi đó sự xuất hiện của X không ảnh hưởng đến Y.

    2つの確率（かくりつ）変数（へんすう）XとYが独立（どくりつ）であるとは、同時（どうじ）確率（かくりつ）P(X=x_i ∧ Y=y_j)が各（かく）確率（かくりつ）の積（せき）P(X=x_i)P(Y=y_j)と等（ひと）しいことを意味（いみ）します。このとき一方（いっぽう）の結果（けっか）は他方（たほう）に影響（えいきょう）を与（あた）えません。

  • 確率（かくりつ）変数（へんすう）の和（わ）tổng các biến ngẫu nhiên

    Tổng của hai biến ngẫu nhiên X + Y là một biến ngẫu nhiên mới nhận giá trị x_i + y_j. Kỳ vọng của tổng X + Y luôn bằng E(X) + E(Y).

    確率（かくりつ）変数（へんすう）の和（わ）X + Yは値（あたい）x_i + y_jをとる新（あたら）しい確率（かくりつ）変数（へんすう）です。和（わ）の平均（へいきん）E(X + Y)は常（つね）にE(X) + E(Y)と等（ひと）しくなります。

  • 確率（かくりつ）変数（へんすう）の積（せき）tích các biến ngẫu nhiên

    Tích của hai biến ngẫu nhiên XY nhận giá trị x_i * y_j. Khi X và Y độc lập, kỳ vọng của tích E(XY) bằng tích các kỳ vọng E(X)E(Y).

    確率（かくりつ）変数（へんすう）の積（せき）XYは値（あたい）x_i * y_jをとる確率（かくりつ）変数（へんすう）です。XとYが独立（どくりつ）であるとき、積（せき）の平均（へいきん）E(XY)は平均（へいきん）の積（せき）E(X)E(Y)と等（ひと）しくなります。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：和（わ）の平均（へいきん）E(X+Y)の性質（せいしつ）を適用（てきよう）する

    Bước 1: Áp dụng tính chất kỳ vọng của tổng E(X+Y)

    Kỳ vọng của tổng hai biến ngẫu nhiên luôn bằng tổng kỳ vọng từng biến: E(X+Y) = E(X) + E(Y). Công thức này luôn đúng mà không cần điều kiện độc lập.

    2つの確率（かくりつ）変数（へんすう）の和（わ）の平均（へいきん）は常（つね）にそれぞれの平均（へいきん）の和（わ）に等（ひと）しく、E(X+Y) = E(X) + E(Y)が成り立（なりた）ちます。この公式（こうしき）は独立（どくりつ）性（せい）の有無（うむ）にかかわらず常（つね）に成立（せいりつ）します。

  2. 02
    ステップ2：確率（かくりつ）変数（へんすう）の独立（どくりつ）性（せい）を確認（かくにん）する

    Bước 2: Kiểm tra điều kiện độc lập của hai biến ngẫu nhiên

    Hai biến X và Y độc lập nếu P(X=x_i và Y=y_j) = P(X=x_i)P(Y=y_j) với mọi cặp giá trị. Kiểm tra điều kiện này là bước bắt buộc trước khi tính E(XY) hoặc V(X+Y).

    全（すべ）ての値（あたい）の組（くみ）に対（たい）してP(X=x_i ∧ Y=y_j) = P(X=x_i)P(Y=y_j)が成立（せいりつ）するとき、XとYは独立（どくりつ）です。E(XY)やV(X+Y)を計算（けいさん）する前（まえ）にこの条件（じょうけん）を確認（かくにん）する必要（ひつよう）があります。

  3. 03
    ステップ3：独立（どくりつ）な場合（ばあい）の積（せき）の平均（へいきん）E(XY)を計算（けいさん）する

    Bước 3: Tính kỳ vọng của tích E(XY) khi độc lập

    Khi X và Y độc lập, kỳ vọng của tích bằng tích các kỳ vọng: E(XY) = E(X)E(Y). Bạn chỉ cần lấy giá trị E(X) nhân với E(Y).

    XとYが独立（どくりつ）であるとき、積（せき）の平均（へいきん）は平均（へいきん）の積（せき）E(XY) = E(X)E(Y)となります。E(X)とE(Y)の値（あたい）を掛け合（かけあ）わせるだけで求（もと）まります。

  4. 04
    ステップ4：独立（どくりつ）な場合（ばあい）の和（わ）の分散（ぶんさん）V(X+Y)を計算（けいさん）する

    Bước 4: Tính phương sai của tổng V(X+Y) khi độc lập

    Khi X và Y độc lập, phương sai của tổng bằng tổng các phương sai: V(X+Y) = V(X) + V(Y). Nếu không độc lập, công thức này không còn đúng.

    XとYが独立（どくりつ）であるとき、和（わ）の分散（ぶんさん）は分散（ぶんさん）の和（わ）V(X+Y) = V(X) + V(Y)となります。独立（どくりつ）でない場合（ばあい）、この公式（こうしき）は成り立（なりた）ちません。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Tự ý dùng công thức E(XY) = E(X)E(Y) khi chưa biết X và Y có độc lập hay không.XとYが独立（どくりつ）であるか不明（ふめい）な状態（じょうたい）のまま、E(XY) = E(X)E(Y)を適用（てきよう）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Công thức kỳ vọng của tích chỉ đúng khi hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập.積（せき）の平均（へいきん）の分解（ぶんかい）公式（こうしき）は、XとYが独立（どくりつ）である場合（ばあい）に限（かぎ）って成り立（なりた）ちます。

Cho rằng công thức E(X+Y) = E(X) + E(Y) yêu cầu điều kiện X và Y phải độc lập.E(X+Y) = E(X) + E(Y)の成立（せいりつ）にもXとYの独立（どくりつ）性（せい）が必要（ひつよう）だと誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Kỳ vọng của tổng luôn bằng tổng các kỳ vọng trong mọi trường hợp, không phụ thuộc vào tính độc lập.和（わ）の平均（へいきん）は独立（どくりつ）性（せい）にかかわらず、どんな確率（かくりつ）変数（へんすう）の組（くみ）に対（たい）しても常（つね）に成り立（なりた）ちます。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Kỳ vọng của tổng E(X+Y) luôn bằng E(X) + E(Y) bất kể hai biến ngẫu nhiên có độc lập hay không.和（わ）の平均（へいきん）E(X+Y)は独立（どくりつ）性（せい）に関係（かんけい）なく常（つね）にE(X) + E(Y)となります。
  • Kỳ vọng của tích E(XY) chỉ bằng E(X)E(Y) khi hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập.積（せき）の平均（へいきん）E(XY)がE(X)E(Y)と等（ひと）しくなるのは、XとYが独立（どくりつ）な場合（ばあい）に限（かぎ）られます。
  • Phương sai của tổng V(X+Y) chỉ bằng V(X) + V(Y) khi hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập.和（わ）の分散（ぶんさん）V(X+Y)がV(X) + V(Y)と等（ひと）しくなるのは、XとYが独立（どくりつ）な場合（ばあい）に限（かぎ）られます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

P(X=x_i \land Y=y_j) = P(X=x_i)P(Y=y_j)

Đây là định nghĩa xác suất đồng thời khi hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập.

これは2つの確率（かくりつ）変数（へんすう）XとYが独立（どくりつ）である場合（ばあい）の同時（どうじ）確率（かくりつ）は各自（かくじ）の確率（かくりつ）の積（せき）になることを示（しめ）す定義（ていぎ）式（しき）です。

E(X+Y) = E(X) + E(Y)

Công thức tính kỳ vọng của tổng hai biến ngẫu nhiên, luôn đúng với mọi biến ngẫu nhiên X và Y.

2つの確率（かくりつ）変数（へんすう）の和（わ）の平均（へいきん）に関（かん）する公式（こうしき）で、XとYの独立（どくりつ）性（せい）に関係（かんけい）なく常（つね）に成立（せいりつ）します。

E(XY) = E(X)E(Y)

Công thức tính kỳ vọng của tích hai biến ngẫu nhiên khi X và Y độc lập.

XとYが独立（どくりつ）であるときに成立（せいりつ）する、積（せき）の平均（へいきん）に関（かん）する公式（こうしき）です。

V(X+Y) = V(X) + V(Y)

Công thức tính phương sai của tổng hai biến ngẫu nhiên khi X và Y độc lập.

XとYが独立（どくりつ）であるときに成立（せいりつ）する、和（わ）の分散（ぶんさん）に関（かん）する公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.13.5 · MATH.13.2

Bài học này hướng dẫn tính kỳ vọng và phương sai của tổng hai biến ngẫu nhiên cũng như kỳ vọng của tích khi hai biến độc lập. Bạn sẽ nắm vững các tính chất tuyến tính của kỳ vọng và điều kiện độc lập để cộng phương sai.

この課（か）では、2つの確率（かくりつ）変数（へんすう）の和（わ）の平均（へいきん）・分散（ぶんさん）、および独立（どくりつ）な場合（ばあい）の積（せき）の平均（へいきん）の計算（けいさん）方法（ほうほう）を学（まな）びます。平均（へいきん）の線形（せんけい）性（せい）と、分散（ぶんさん）の加法（かほう）性（せい）に必要（ひつよう）な独立（どくりつ）性（せい）の条件（じょうけん）をマスターします。

X+Yの平均（へいきん）・分散（ぶんさん），XYの平均（へいきん）
確率変数の独立確率変数の和確率変数の積