Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Véc-tơ trong mặt phẳng và không gian Phần 1平面（へいめん）と空間（くうかん）のベクトル 第（だい）1部（ぶ）

Công thức公式

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta
\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
\vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}

Ví dụ例題

Cho hai véc-tơ trong mặt phẳng \(\vec{a}\) = (3, 4) và \(\vec{b}\) = (1, 2). Cho điểm P chia đoạn thẳng nối hai điểm có véc-tơ vị trí \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) theo tỉ lệ 1:2.

平面（へいめん）上（じょう）の2つのベクトル\(\vec{a}\) = (3, 4)と\(\vec{b}\) = (1, 2)が与（あた）えられています。位置（いち）ベクトル\(\vec{a}\)と\(\vec{b}\)を持（も）つ2点（てん）を1:2に内分（ないぶん）する点（てん）Pを考（かんが）えます。

  1. Tính tích vô hướng của \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\): \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = 3*1 + 4*2 = 3 + 8 = 11.\(\vec{a}\)と\(\vec{b}\)の内積（ないせき）を計算（けいさん）します：\(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = 3*1 + 4*2 = 3 + 8 = 11。
  2. Áp dụng công thức điểm chia trong với m=1, n=2: \(\vec{p}\) = \(\frac{2\vec{a} + 1\vec{b}}{1+2}\).m=1, n=2として内分（ないぶん）点（てん）の公式（こうしき）を適用（てきよう）します：\(\vec{p}\) = \(\frac{2\vec{a} + 1\vec{b}}{1+2}\)。
  3. Tính tọa độ của \(\vec{p}\): \(\vec{p}\) = \(\frac{2(3,4) + (1,2)}{3}\) = \(\frac{(6,8) + (1,2)}{3}\) = (\(\frac{7}{3}\), \(\frac{10}{3}\)).\(\vec{p}\)の成分（せいぶん）を計算（けいさん）します：\(\vec{p}\) = \(\frac{2(3,4) + (1,2)}{3}\) = \(\frac{(6,8) + (1,2)}{3}\) = (\(\frac{7}{3}\), \(\frac{10}{3}\))。
Tích vô hướng \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = 11 và véc-tơ vị trí của P là (\(\frac{7}{3}\), \(\frac{10}{3}\)).内積（ないせき）\(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = 11であり、Pの位置（いち）ベクトルは(\(\frac{7}{3}\), \(\frac{10}{3}\))です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hai véc-tơ \(\vec{a}\) = (2, 1) và \(\vec{b}\) = (3, -1). Tính tích vô hướng \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\).2つのベクトル\(\vec{a}\) = (2, 1)と\(\vec{b}\) = (3, -1)が与（あた）えられています。内積（ないせき）\(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\)を計算（けいさん）しなさい。

2. Cho hai điểm A có véc-tơ vị trí \(\vec{a}\) và B có véc-tơ vị trí \(\vec{b}\). Điểm P chia đoạn AB theo tỉ lệ 2:1 có véc-tơ vị trí \(\vec{p}\) là gì?位置（いち）ベクトル\(\vec{a}\)を持（も）つ点（てん）Aと位置（いち）ベクトル\(\vec{b}\)を持（も）つ点（てん）Bがあります。線分（せんぶん）ABを2:1に内分（ないぶん）する点（てん）Pの位置（いち）ベクトル\(\vec{p}\)はどれですか。

3. Cho hai véc-tơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) thỏa mãn |\(\vec{a}\)| = 2, |\(\vec{b}\)| = 3 và \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = 3. Tính cosin góc \(\theta\) giữa hai véc-tơ.|\(\vec{a}\)| = 2、|\(\vec{b}\)| = 3、\(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = 3を満（み）たす2つのベクトル\(\vec{a}\)と\(\vec{b}\)があります。2つのベクトルのなす角（かく）\(\theta\)の余弦（よげん）\(\cos\)\(\theta\)を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.1 · MATH.14.2 · MATH.14.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.1 · MATH.14.2 · MATH.14.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững cách biểu diễn vị trí điểm bằng véc-tơ vị trí và công thức điểm chia trong.位置（いち）ベクトルと内分（ないぶん）点（てん）の公式（こうしき）を用（もち）いて点（てん）の位置（いち）を表（あらわ）す方法（ほうほう）を理解（りかい）する。
  2. Tính tích vô hướng của hai véc-tơ theo độ dài và tọa độ trong mặt phẳng.平面（へいめん）におけるベクトルの内積（ないせき）を長（なが）さと成分（せいぶん）から計算（けいさん）する。
  3. Vận dụng công thức cosin để tìm góc giữa hai véc-tơ.余弦（よげん）の公式（こうしき）を応用（おうよう）して2つのベクトルのなす角（かく）を求（もと）める。
Trực giác · イメージ

Véc-tơ như kim chỉ đường道（みち）しるべとしてのベクトル

Véc-tơ vị trí xác định vị trí của một điểm so với gốc tọa độ. Tích vô hướng đo lường mức độ cùng hướng của hai véc-tơ.

位置（いち）ベクトルは原点（げんてん）を基準（きじゅん）として点（てん）の位置（いち）を決定（けってい）します。内積（ないせき）は2つのベクトルがどれだけ同（おな）じ方向（ほうこう）を向（む）いているかを測定（そくてい）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • ベクトルの内積（ないせき）Tích vô hướng của véc-tơ

    Tích vô hướng của hai véc-tơ là một số thực bằng tích độ dài hai véc-tơ với cosin góc tạo bởi chúng. Trong hệ tọa độ mặt phẳng, tích vô hướng còn bằng tổng tích các tọa độ tương ứng.

    2つのベクトルの内積（ないせき）は、各（かく）ベクトルの長（なが）さとなす角（かく）の余弦（よげん）の積（せき）である実数（じっすう）です。平面（へいめん）座標（ざひょう）系（けい）では、対応（たいおう）する成分（せいぶん）の積（せき）の和（わ）にも等（ひと）しくなります。

  • 位置（いち）ベクトルVéc-tơ vị trí

    Véc-tơ vị trí của điểm P so với gốc O là véc-tơ OP. Nó dùng điểm gốc O làm chuẩn để biểu diễn vị trí của mọi điểm trong mặt phẳng.

    点（てん）Oを原点（げんてん）とする点（てん）Pの位置（いち）ベクトルはベクトルOPです。原点（げんてん）Oを基準（きじゅん）にして平面（へいめん）上（じょう）のすべての点（てん）のマッピングを行（おこな）います。

  • 内分（ないぶん）点（てん）Điểm chia trong

    Điểm chia trong nằm trên đoạn thẳng AB và chia đoạn thẳng theo tỷ lệ m:n. Véc-tơ vị trí của nó được tính theo biểu thức tỉ lệ giữa véc-tơ a và véc-tơ b.

    内分（ないぶん）点（てん）は線分（せんぶん）AB上（うえ）にあり、線分（せんぶん）をm:nの比（ひ）に分（わ）ける点（てん）です。その位置（いち）ベクトルはベクトルaとベクトルbの比率（ひりつ）の式（しき）で計算（けいさん）されます。

  • 外分（がいぶん）点（てん）Điểm chia ngoài

    Điểm chia ngoài nằm trên đường thẳng AB nhưng ở ngoài đoạn thẳng AB và chia theo tỉ lệ m:n. Ta tính véc-tơ vị trí của nó bằng cách thay n thành -n trong công thức chia trong.

    外分（がいぶん）点（てん）は直線（ちょくせん）AB上（うえ）にありますが線分（せんぶん）ABの外側（そとがわ）にあり、m:nの比（ひ）に分（わ）けます。内分（ないぶん）点（てん）の公式（こうしき）のnを-nに置き換（おきか）えることで位置（いち）ベクトルを計算（けいさん）します。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    位置（いち）ベクトルの設定（せってい）

    Xác định véc-tơ vị trí

    Chọn gốc O và viết véc-tơ vị trí của các điểm cần xét. Điều này giúp chuyển các quan hệ hình học về dạng đại số.

    原点（げんてん）Oを選（えら）び、対象（たいしょう）となる点（てん）の位置（いち）ベクトルを記述（きじゅつ）します。これにより図形（ずけい）的（てき）な関係（かんけい）を代数（だいすう）的（てき）な形式（けいしき）に変換（へんかん）できます。

  2. 02
    内分（ないぶん）点（てん）公式（こうしき）の適用（てきよう）

    Áp dụng công thức điểm chia trong

    Sử dụng tỉ lệ m:n để tính véc-tơ vị trí của điểm chia P. Công thức đảo hệ số tỉ lệ n cho véc-tơ a và m cho véc-tơ b.

    比率（ひりつ）m:nを用（もち）いて内分（ないぶん）点（てん）Pの位置（いち）ベクトルを計算（けいさん）します。公式（こうしき）ではベクトルaに係数（けいすう）n、ベクトルbに係数（けいすう）mを掛（か）けます。

  3. 03
    内積（ないせき）と角（かく）の余弦（よげん）の計算（けいさん）

    Tính tích vô hướng và cosin góc

    Tính tích vô hướng theo tọa độ a1*b1 + a2*b2 hoặc theo độ dài và cosin. Từ đó suy ra cosin của góc \(\theta\) giữa hai véc-tơ.

    成分（せいぶん）a1*b1 + a2*b2または長（なが）さと余弦（よげん）から内積（ないせき）を計算（けいさん）します。そこから2つのベクトルのなす角（かく）\(\theta\)の余弦（よげん）を求（もと）めます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn hệ số m và n khi áp dụng công thức điểm chia trong, lấy m nhân với véc-tơ a thay vì n nhân với véc-tơ a.内分（ないぶん）点（てん）の公式（こうしき）を適用（てきよう）する際（さい）にmとnの係数（けいすう）を混同（こんどう）し、ベクトルaにnではなくmを掛（か）けてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nhớ rằng tỉ lệ m:n thì hệ số n chéo sang véc-tơ a và hệ số m chéo sang véc-tơ b.比率（ひりつ）がm:nの場合（ばあい）、係数（けいすう）nはベクトルaに、係数（けいすう）mはベクトルbにたすき掛（が）けされることを覚（おぼ）えておきます。

Tính tích vô hướng bằng cách nhân từng tọa độ rồi ghép thành véc-tơ (a1*b1, a2*b2).各（かく）成分（せいぶん）を掛け合（かけあ）わせて(a1*b1, a2*b2)のようにベクトルとして内積（ないせき）を計算（けいさん）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tích vô hướng là một số thực, phải lấy tổng của các tích tọa độ a1*b1 + a2*b2.内積（ないせき）は実数（じっすう）であり、成分（せいぶん）の積（せき）の和（わ）a1*b1 + a2*b2をとる必要（ひつよう）があります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Véc-tơ vị trí biểu diễn tọa độ điểm thông qua gốc O cố định.位置（いち）ベクトルは固定（こてい）された原点（げんてん）Oを通（つう）じて点（てん）の座標（ざひょう）を表（あらわ）します。
  • Công thức điểm chia trong tỉ lệ m:n là \(\vec{p}\) = \(\frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}\).比率（ひりつ）m:nの内分（ないぶん）点（てん）公式（こうしき）は\(\vec{p}\) = \(\frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}\)です。
  • Tích vô hướng trong mặt phẳng bằng a1*b1 + a2*b2 và cho phép tính cosin góc giữa hai véc-tơ.平面（へいめん）における内積（ないせき）はa1*b1 + a2*b2であり、2つのベクトルのなす角（かく）の余弦（よげん）を計算（けいさん）できます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta

Công thức định nghĩa tích vô hướng theo độ dài hai véc-tơ và cosin góc giữa chúng. Tích vô hướng là một số thực, có thể âm, dương hoặc bằng 0.

2つのベクトルの長（なが）さとなす角（かく）の余弦（よげん）による内積（ないせき）の定義（ていぎ）式（しき）です。内積（ないせき）は実数（じっすう）であり、正（ただし）、負（ふ）、または0の値（あたい）をとります。

\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}

Công thức xác định cosin góc giữa hai véc-tơ khác véc-tơ 0 từ tích vô hướng và độ dài. Giúp tìm góc giữa hai đường thẳng hoặc véc-tơ.

内積（ないせき）と長（なが）さから、零（れい）ベクトルでない2つのベクトルのなす角（かく）の余弦（よげん）を決定（けってい）する公式（こうしき）です。2つの直線（ちょくせん）やベクトルのなす角（かく）を求（もと）めるのに役立（やくだ）ちます。

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

Công thức tính tích vô hướng của hai véc-tơ khi biết tọa độ trong mặt phẳng. Lấy tổng các tích tương ứng của hoành độ và tung độ.

平面（へいめん）における成分（せいぶん）が既知（きち）の2つのベクトルの内積（ないせき）を計算（けいさん）する公式（こうしき）です。x成分（せいぶん）とy成分（せいぶん）のそれぞれの積（せき）の和（わ）をとります。

\vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}

Công thức xác định véc-tơ vị trí điểm P chia đoạn AB theo tỉ lệ m:n. Hệ số n nhân với véc-tơ vị trí của A và m nhân với véc-tơ vị trí của B.

線分（せんぶん）ABをm:nに内分（ないぶん）する点（てん）Pの位置（いち）ベクトルを決定（けってい）する公式（こうしき）です。係数（けいすう）nをAの位置（いち）ベクトルに、mをBの位置（いち）ベクトルに掛（か）けます。

EJU 2026 · MATH.14.1 · MATH.14.2 · MATH.14.3

Véc-tơ vị trí giúp biểu diễn điểm trong mặt phẳng thông qua điểm gốc cố định. Tích vô hướng cho phép tính độ dài và góc giữa hai véc-tơ một cách chính xác.

位置（いち）ベクトルは固定（こてい）された原点（げんてん）を通（つう）じて平面（へいめん）上（じょう）の点（てん）を表（あらわ）します。内積（ないせき）を用（もち）いることで、2つのベクトルの長（なが）さとなす角（かく）を正確（せいかく）に計算（けいさん）できます。

平面（へいめん）と空間（くうかん）のベクトル 第（だい）1部（ぶ）
ベクトルの内積位置ベクトル内分点外分点