Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Miền đi qua của họ đường thẳng直線（ちょくせん）族（ぞく）の通過（つうか）領域（りょういき）

Công thức公式

y = 2tx - t^2
t^2 - 2xt + y = 0

Ví dụ例題

Cho họ đường thẳng \(y = 2 tx - t^{2}\) với tham số thực t. Hãy xác định miền đi qua của họ đường thẳng này trên mặt phẳng tọa độ.

実数（じっすう）パラメータ t を持（も）つ直線（ちょくせん）族（ぞく） \(y = 2 tx - t^{2}\) について、座標（ざひょう）平面（へいめん）における通過（つうか）領域（りょういき）を求（もと）めよ。

  1. Viết lại phương trình họ đường thẳng thành phương trình bậc hai theo t: \(t^{2} - 2 xt + y = 0\).直線（ちょくせん）族（ぞく）の方程（ほうてい）式（しき）を t について整理（せいり）した二（に）次（じ）方程（ほうてい）式（しき）に書き換（かきか）えます：\(t^{2} - 2 xt + y = 0\)。
  2. Để có đường thẳng thuộc họ đi qua điểm (x, y), phương trình bậc hai này phải có nghiệm thực t.族（ぞく）の直線（ちょくせん）が点（てん） (x, y) を通過（つうか）するためには、この二（に）次（じ）方程（ほうてい）式（しき）が実数（じっすう）解（かい） t を持（も）つ必要（ひつよう）があります。
  3. Biệt thức đầy đủ là \(D=(-2x)^2-4y=4(x^2-y)\). Do đó \(D/4=x^2-y\). Có nghiệm thực khi \(D\ge0\), tương đương \(x^2-y\ge0\).通常（つうじょう）の判別（はんべつ）式（しき）は\(D=(-2x)^2-4y=4(x^2-y)\)なので\(D/4=x^2-y\)。実数（じっすう）解（かい）を持（も）つ条件（じょうけん）は\(D\ge0\)、すなわち\(x^2-y\ge0\)。
  4. Suy ra \(y \le x^{2}\). Vậy miền đi qua là miền nằm phía dưới parabol \(y = x^{2}\), bao gồm cả ranh giới.したがって \(y \le x^{2}\) となります。ゆえに通過（つうか）領域（りょういき）は放物（ほうぶつ）線（せん） \(y = x^{2}\) の下側（したがわ）（境界（きょうかい）線（せん）を含（ふく）む）の領域（りょういき）です。
Miền đi qua của họ đường thẳng được xác định bằng cách giải điều kiện có nghiệm thực của phương trình bậc hai theo tham số t.直線（ちょくせん）族（ぞく）の通過（つうか）領域（りょういき）は、パラメータ t に関（かん）する二（に）次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の実数（じっすう）解（かい）存在（そんざい）条件（じょうけん）を解（と）くことで特定（とくてい）されます。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Phương trình họ đường thẳng \(y = 2 tx - t^{2}\) khi chuyển thành phương trình bậc hai theo ẩn t có dạng nào?直線（ちょくせん）族（ぞく） \(y = 2 tx - t^{2}\) を t に関（かん）する二（に）次（じ）方程（ほうてい）式（しき）に整理（せいり）した形（かたち）はどれか。

2. Điểm nào sau đây thuộc miền đi qua của họ đường thẳng \(y = 2 tx - t^{2}\)?次（つぎ）の点（てん）のうち、直線（ちょくせん）族（ぞく） \(y = 2 tx - t^{2}\) の通過（つうか）領域（りょういき）に含（ふく）まれるものはどれか。

3. Ranh giới (đường bao) của miền đi qua của họ đường thẳng \(y = 2 tx - t^{2}\) là đường cong nào?直線（ちょくせん）族（ぞく） \(y = 2 tx - t^{2}\) の通過（つうか）領域（りょういき）の境界（きょうかい）（包絡（ほうらく）線（せん））となる曲線（きょくせん）はどれか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.9.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.9.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu khái niệm họ đường thẳng và miền đi qua của họ đường thẳng.直線（ちょくせん）族（ぞく）および直線（ちょくせん）族（ぞく）の通過（つうか）領域（りょういき）の概念（がいねん）を理解（りかい）する。
  2. Biết cách đưa phương trình họ đường thẳng về dạng phương trình bậc hai theo tham số t.直線（ちょくせん）族（ぞく）の方程（ほうてい）式（しき）をパラメータ t に関（かん）する二（に）次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の形（かたち）に整理（せいり）できるようになる。
  3. Vận dụng điều kiện có nghiệm thực của tham số t để xác định miền đi qua.パラメータ t の実数（じっすう）解（かい）存在（そんざい）条件（じょうけん）を応用（おうよう）して通過（つうか）領域（りょういき）を特定（とくてい）できるようになる。
Trực giác · イメージ

Trực giác về miền đi qua và tham số t通過（つうか）領域（りょういき）とパラメータ t に関（かん）する直感（ちょっかん）

Khi tham số t thay đổi, đường thẳng dịch chuyển và quét qua một miền trên mặt phẳng. Điểm (x, y) thuộc miền đi qua khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một giá trị thực t sao cho đường thẳng đi qua điểm đó.

パラメータ t が変化（へんか）すると、直線（ちょくせん）が移動（いどう）して平面（へいめん）上（じょう）の一定（いってい）領域（りょういき）を通過（つうか）します。点（てん） (x, y) が通過（つうか）領域（りょういき）に含（ふく）まれるための必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）は、その点（てん）を通（とお）る実数（じっすう） t が少（すく）なくとも1つ存在（そんざい）することです。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 直線（ちょくせん）族（ぞく）họ đường thẳng

    Tập hợp các đường thẳng phụ thuộc vào một hoặc nhiều tham số thực t. Khi t thay đổi, ta thu được các đường thẳng khác nhau trong họ.

    1つ以上（いじょう）の実数（じっすう）パラメータ t に依存（いぞん）する直線（ちょくせん）の集合（しゅうごう）です。t の変化（へんか）に伴（ともな）い、族（ぞく）に含（ふく）まれる異（こと）なる直線（ちょくせん）が得（え）られます。

  • 通過（つうか）領域（りょういき）miền đi qua

    Tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng mà có ít nhất một đường thẳng thuộc họ đi qua. Điều này tương đương với phương trình theo t có nghiệm thực.

    族（ぞく）に属（ぞく）する直線（ちょくせん）が少（すく）なくとも1本（ほん）通過（つうか）する平面（へいめん）上（じょう）の全（ぜん）点（てん）の集合（しゅうごう）です。これは t に関（かん）する方程（ほうてい）式（しき）が実数（じっすう）解（かい）を持（も）つことと同値（どうち）です。

  • 包絡（ほうらく）線（せん）đường bao

    Đường cong tiếp xúc với mọi đường thẳng trong họ tại từng giá trị của tham số t. Đường bao thường chính là ranh giới phân chia miền đi qua.

    パラメータ t の各値（かくち）において族（ぞく）のすべての直線（ちょくせん）に接（せっ）する曲線（きょくせん）です。包絡（ほうらく）線（せん）は多（おお）くの場合（ばあい）、通過（つうか）領域（りょういき）の境界（きょうかい）線（せん）となります。

  • 曲線（きょくせん）族（ぞく）họ đường cong

    Tập hợp các đường cong phụ thuộc vào tham số t. Mở rộng từ họ đường thẳng, miền đi qua của họ đường cong cũng được tìm bằng điều kiện tồn tại tham số t.

    パラメータ t に依存（いぞん）する曲線（きょくせん）の集合（しゅうごう）です。直線（ちょくせん）族（ぞく）からの拡張（かくちょう）であり、曲線（きょくせん）族（ぞく）の通過（つうか）領域（りょういき）も t の存在（そんざい）条件（じょうけん）により求（もと）められます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：直線（ちょくせん）族（ぞく）の方程（ほうてい）式（しき）をパラメータ t について整理（せいり）する

    Bước 1: Sắp xếp phương trình họ đường thẳng theo tham số t

    Chuyển phương trình họ đường thẳng \(y = 2 tx - t^{2}\) về dạng phương trình bậc hai \(t^{2} - 2 xt + y = 0\) đối với t. Coi x và y là các tọa độ cố định của điểm cần xét.

    直線（ちょくせん）族（ぞく）の方程（ほうてい）式（しき） \(y = 2 tx - t^{2}\) を t に関（かん）する二（に）次（じ）方程（ほうてい）式（しき） \(t^{2} - 2 xt + y = 0\) の形（かたち）に整理（せいり）します。検討（けんとう）する点（てん）の座標（ざひょう） x, y を定数（ていすう）とみなします。

  2. 02
    ステップ2：t の実数（じっすう）解（かい）存在（そんざい）条件（じょうけん）を設定（せってい）する

    Bước 2: Thiết lập điều kiện tồn tại nghiệm thực của t

    Điểm (x, y) thuộc miền đi qua khi và chỉ khi phương trình bậc hai theo t có ít nhất một nghiệm thực. Điều này tương đương với biệt thức Discriminant D' = \(x^{2} - y \ge 0\).

    点（てん） (x, y) が通過（つうか）領域（りょういき）に属（ぞく）する必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）は、t の二（に）次（じ）方程（ほうてい）式（しき）が少（すく）なくとも1つの実数（じっすう）解（かい）を持（も）つことです。これは判別（はんべつ）式（しき） D' = \(x^{2} - y \ge 0\) と同値（どうち）になります。

  3. 03
    ステップ3：領域（りょういき）を表（あらわ）す不（ふ）等式（とうしき）に変形（へんけい）する

    Bước 3: Biến đổi về bất phương trình biểu diễn miền nghiệm

    Từ điều kiện \(x^{2} - y \ge 0\), ta suy ra \(y \le x^{2}\), hay \(y\le f(x)\) với \(f(x) = x^{2}\) (tính cả ranh giới). Đây chính là bất phương trình xác định miền đi qua trên mặt phẳng.

    条件（じょうけん） \(x^{2} - y \ge 0\) より \(y \le x^{2}\)、すなわち \(y\le f(x)\) の形式（けいしき）（境界（きょうかい）含（ふく）む）を導（みちび）きます。これが平面（へいめん）上（じょう）の通過（つうか）領域（りょういき）を決定（けってい）する不（ふ）等式（とうしき）です。

  4. 04
    ステップ4：通過（つうか）領域（りょういき）の結論（けつろん）と図示（ずし）

    Bước 4: Kết luận và vẽ miền đi qua

    Miền đi qua là toàn bộ phần mặt phẳng thỏa \(y\le x^2\), tức nằm phía dưới parabol \(y=x^2\) và bao gồm cả đường biên.

    通過（つうか）領域（りょういき）は放物（ほうぶつ）線（せん） \(y = x^{2}\) の下側（したがわ）（境界（きょうかい）を含（ふく）む）の平面（へいめん）全体（ぜんたい）となります。境界（きょうかい） \(y = x^{2}\) は直線（ちょくせん）族（ぞく）の包絡（ほうらく）線（せん）に対応（たいおう）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Coi x và y là biến số khi giải phương trình bậc hai, dẫn đến tính sai biệt thức theo x thay vì theo t.二（に）次（じ）方程（ほうてい）式（しき）を解（と）く際（さい）に x や y を変数（へんすう）とみなしてしまい、t ではなく x について判別（はんべつ）式（しき）を計算（けいさん）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Phải coi t là ẩn số của phương trình bậc hai, còn x và y là các tham số tọa độ cố định của điểm cần xét.t を二（に）次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の未知（みち）数（すう）とし、x と y は検討（けんとう）する点（てん）の固定（こてい）された座標（ざひょう）定数（ていすう）として扱（あつか）う必要（ひつよう）があります。

Quên mất dấu bằng trong điều kiện biệt thức D >= 0, làm mất đi các điểm nằm trên đường bao ranh giới.判別（はんべつ）式（しき）の条件（じょうけん） D >= 0 において等号（とうごう）を忘（わす）れ、包絡（ほうらく）線（せん）境界（きょうかい）上（じょう）の点（てん）を除外（じょがい）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Điều kiện tồn tại nghiệm thực của phương trình bậc hai là D >= 0 (bao gồm cả nghiệm kép), do đó ranh giới thuộc miền đi qua.二（に）次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の実数（じっすう）解（かい）存在（そんざい）条件（じょうけん）は D >= 0（重解（じゅうかい）を含（ふく）む）であるため、境界（きょうかい）線（せん）も通過（つうか）領域（りょういき）に含（ふく）まれます。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Miền đi qua của họ đường thẳng được xác định bằng điều kiện tồn tại nghiệm thực của tham số t.直線（ちょくせん）族（ぞく）の通過（つうか）領域（りょういき）は、パラメータ t の実数（じっすう）解（かい）存在（そんざい）条件（じょうけん）によって特定（とくてい）されます。
  • Biến đổi phương trình họ đường thẳng về dạng bậc hai \(t^{2} - 2 xt + y = 0\) đối với ẩn t.直線（ちょくせん）族（ぞく）の方程（ほうてい）式（しき）を未知（みち）数（すう） t に関（かん）する二（に）次（じ）方程（ほうてい）式（しき） \(t^{2} - 2 xt + y = 0\) の形（かたち）に変形（へんけい）します。
  • Điều kiện D' = \(x^{2} - y \ge 0\) cho bất phương trình miền đi qua \(y \le x^{2}\) với ranh giới \(y = x^{2}\).条件（じょうけん） D' = \(x^{2} - y \ge 0\) から通過（つうか）領域（りょういき）の不（ふ）等式（とうしき） \(y \le x^{2}\)（境界（きょうかい） \(y = x^{2}\) を含（ふく）む）が導（みちび）かれます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

y = 2tx - t^2

Phương trình biểu diễn họ đường thẳng phụ thuộc vào tham số thực t. Với mỗi giá trị t, phương trình cho một đường thẳng có hệ số góc 2t.

実数（じっすう）パラメータ t に依存（いぞん）する直線（ちょくせん）族（ぞく）を表（あらわ）す方程（ほうてい）式（しき）です。t の各値（かくち）に対（たい）して、傾（かたむ）き 2t の直線（ちょくせん）が得（え）られます。

t^2 - 2xt + y = 0

Dạng phương trình bậc hai theo ẩn t được biến đổi từ phương trình họ đường thẳng. Việc tồn tại nghiệm t tương đương với điểm (x, y) nằm trong miền đi qua.

直線（ちょくせん）族（ぞく）の方程（ほうてい）式（しき）を変形（へんけい）して得（え）られる t に関（かん）する二（に）次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の形（かたち）です。解（かい） t の存在（そんざい）が点（てん） (x, y) の通過（つうか）領域（りょういき）内（ない）への存在（そんざい）と同値（どうち）になります。

EJU 2026 · MATH.9.3

Bài học này hướng dẫn cách xác định miền đi qua của họ đường thẳng phụ thuộc vào tham số t. Bạn sẽ học cách chuyển bài toán hình học thành điều kiện tồn tại nghiệm thực của phương trình bậc hai.

この課（か）では、パラメータ t に依存（いぞん）する直線（ちょくせん）族（ぞく）の通過（つうか）領域（りょういき）の特定（とくてい）方法（ほうほう）を解説（かいせつ）します。図形（ずけい）問題（もんだい）を二（に）次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の実数（じっすう）解（かい）存在（そんざい）条件（じょうけん）へ帰着（きちゃく）させる手法（しゅほう）を学（まな）びます。

直線（ちょくせん）族（ぞく）の通過（つうか）領域（りょういき）
直線族通過領域包絡線曲線族