Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình Phần 2不（ふ）等式（とうしき）の表（あらわ）す領域（りょういき）と連立（れんりつ）不（ふ）等式（とうしき） 第（だい）2部（ぶ）

Công thức公式

y < f(x)
|A| < B \iff -B < A < B
AB > 0 \iff (A > 0 \land B > 0) \lor (A < 0 \land B < 0)
AB < 0 \iff (A > 0 \land B < 0) \lor (A < 0 \land B > 0)

Ví dụ例題

Xét bất phương trình dạng tích (x - y)(x + y - 2) < 0. Hãy xác định miền nghiệm và tìm điều kiện để điểm (1, y) thuộc miền nghiệm.

積（せき）の形（かたち）の不（ふ）等式（とうしき） (x - y)(x + y - 2) < 0 を考（かんが）える。領域（りょういき）を特定（とくてい）し、点（てん） (1, y) が領域（りょういき）に属（ぞく）する条件（じょうけん）を求（もと）めよ。

  1. Áp dụng công thức AB < 0, ta tách bất phương trình thành hai trường hợp: Trường hợp 1 là x - y > 0 và x + y - 2 < 0; Trường hợp 2 là x - y < 0 và x + y - 2 > 0.公式（こうしき） AB < 0 を適用（てきよう）し、不（ふ）等式（とうしき）を2つの場合（ばあい）に分解（ぶんかい）します。ケース1は x - y > 0 かつ x + y - 2 < 0、ケース2は x - y < 0 かつ x + y - 2 > 0 です。
  2. Biến đổi y theo x: Trường hợp 1 tương đương y < x và y < 2 - x; Trường hợp 2 tương đương y > x và y > 2 - x.y について整理（せいり）すると、ケース1は y < x かつ y < 2 - x、ケース2は y > x かつ y > 2 - x と同値（どうち）になります。
  3. Thay x = 1 vào hai trường hợp: Trường hợp 1 cho y < 1 và y < 1 (tức y < 1); Trường hợp 2 cho y > 1 và y > 1 (tức y > 1).x = 1 を各（かく）ケースに代入（だいにゅう）すると、ケース1では y < 1 かつ y < 1（すなわち y < 1）、ケース2では y > 1 かつ y > 1（すなわち y > 1）を得（え）ます。
  4. Kết luận: Điểm (1, y) thuộc miền nghiệm khi và chỉ khi y < 1 hoặc y > 1 (tức y khác 1).結論（けつろん）：点（てん） (1, y) が領域（りょういき）に属（ぞく）するための条件（じょうけん）は y < 1 または y > 1（すなわち y ≠ 1）です。
Bất phương trình dạng tích phân chia mặt phẳng thành các vùng đan xen qua các đường ranh giới x - y = 0 và x + y - 2 = 0.積（せき）の形（かたち）の不（ふ）等式（とうしき）は、境界（きょうかい）線（せん） x - y = 0 および x + y - 2 = 0 によって平面（へいめん）を複数（ふくすう）の領域（りょういき）に分割（ぶんかつ）します。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hệ bất phương trình y < x + 1 và y < 3 - x. Hỏi điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của hệ?連立（れんりつ）不（ふ）等式（とうしき） y < x + 1 かつ y < 3 - x を考（かんが）える。次（つぎ）の点（てん）のうち、この領域（りょういき）に含（ふく）まれるものはどれか。

2. Bất phương trình giá trị tuyệt đối |x - 1| < 2 tương đương với khoảng nào của x?絶対（ぜったい）値（ち）不（ふ）等式（とうしき） |x - 1| < 2 は x のどの範囲（はんい）と同値（どうち）か。

3. Xét bất phương trình dạng tích (x - 2)(y - 1) > 0. Điểm nào sau đây KHÔNG thuộc miền nghiệm?積（せき）の不（ふ）等式（とうしき） (x - 2)(y - 1) > 0 を考（かんが）える。次（つぎ）の点（てん）のうち、領域（りょういき）に含（ふく）まれないものはどれか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.9.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.9.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Biết cách biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình và bất phương trình dạng tích.連立（れんりつ）不（ふ）等式（とうしき）および積（せき）の形（かたち）の不（ふ）等式（とうしき）が表（あらわ）す領域（りょういき）を図示（ずし）できるようになる。
  2. Vận dụng biến đổi giá trị tuyệt đối để xác định miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ.絶対（ぜったい）値（ち）を含（ふく）む不（ふ）等式（とうしき）を変形（へんけい）し、座標（ざひょう）平面（へいめん）上（じょう）の領域（りょういき）を特定（とくてい）できるようになる。
  3. Áp dụng quy hoạch tuyến tính để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.線形（せんけい）計画（けいかく）法（ほう）を応用（おうよう）して最大（さいだい）値（ち）および最小（さいしょう）値（ち）を求（もと）められるようになる。
Trực giác · イメージ

Trực giác về giao miền nghiệm và quy hoạch tuyến tính領域（りょういき）の共通（きょうつう）部分（ぶぶん）と線形（せんけい）計画（けいかく）法（ほう）の直感（ちょっかん）

Khi xét hệ bất phương trình, miền nghiệm chung chính là phần giao nhau của các miền nghiệm thành phần. Tương tự, với bất phương trình dạng tích hay chứa giá trị tuyệt đối, việc tách trường hợp giúp ta xác định chính xác ranh giới và miền nghiệm.

連立（れんりつ）不（ふ）等式（とうしき）を考（かんが）えるとき、共通（きょうつう）領域（りょういき）は各（かく）不等（ふとう）式（しき）の表（あらわ）す領域（りょういき）の重なり合（かさなりあ）う部分（ぶぶん）となります。同様（どうよう）に、積（せき）の形（かたち）や絶対（ぜったい）値（ち）を含（ふく）む不（ふ）等式（とうしき）でも、場合（ばあい）分（わ）けによって境界（きょうかい）と領域（りょういき）を正確（せいかく）に特定（とくてい）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 連立（れんりつ）不（ふ）等式（とうしき）の表（あらわ）す領域（りょういき）miền biểu diễn bởi hệ bất phương trình

    Đây là phần mặt phẳng thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình trong hệ. Nó là giao của các miền nghiệm thành phần.

    連立（れんりつ）不（ふ）等式（とうしき）のすべての不（ふ）等式（とうしき）を同時（どうじ）に満（み）たす平面（へいめん）上（じょう）の部分（ぶぶん）です。各（かく）不等（ふとう）式（しき）が表（あらわ）す領域（りょういき）の共通（きょうつう）部分（ぶぶん）となります。

  • 絶対（ぜったい）値（ち）を含（ふく）む不（ふ）等式（とうしき）bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối

    Bất phương trình có chứa biểu thức giá trị tuyệt đối, được giải bằng cách phá giá trị tuyệt đối theo điều kiện. Biến đổi tương đương giúp xác định nhanh ranh giới miền nghiệm.

    絶対（ぜったい）値（ち）記号（きごう）を含（ふく）む不（ふ）等式（とうしき）であり、条件（じょうけん）に応（おう）じて絶対（ぜったい）値（ち）を外（はず）して解（と）きます。同値（どうち）変形（へんけい）により領域（りょういき）の境界（きょうかい）を迅速（じんそく）に特定（とくてい）できます。

  • 積（せき）の形（かたち）の不（ふ）等式（とうしき）bất phương trình dạng tích

    Bất phương trình có dạng tích hai biểu thức lớn hơn hoặc nhỏ hơn 0. Ta chia thành hai trường hợp cùng dấu hoặc trái dấu để xác định miền nghiệm.

    2つの式（しき）の積（せき）が0より大（おお）きい、または小（ちい）さい形（かたち）の不（ふ）等式（とうしき）です。両（りょう）式（しき）が同（どう）符号（ふごう）または異（い）符号（ふごう）となる2つの場合（ばあい）に分（わ）けて領域（りょういき）を求（もと）めます。

  • 最大（さいだい）値（ち）giá trị lớn nhất

    Giá trị lớn nhất mà biểu thức mục tiêu có thể đạt được tại các điểm thuộc miền nghiệm. Thông thường giá trị này đạt được tại các đỉnh của miền đa giác.

    領域（りょういき）内（ない）の点（てん）で目標（もくひょう）式（しき）が取（と）り得（え）る最大（さいだい）の値（あたい）です。多（おお）くの場合（ばあい）、多角（たかく）形（けい）領域（りょういき）の頂点（ちょうてん）において達成（たっせい）されます。

  • 最小（さいしょう）値（ち）giá trị nhỏ nhất

    Giá trị nhỏ nhất mà biểu thức mục tiêu có thể đạt được tại các điểm thuộc miền nghiệm. Điểm đạt giá trị nhỏ nhất thường nằm trên ranh giới hoặc đỉnh miền nghiệm.

    領域（りょういき）内（ない）の点（てん）で目標（もくひょう）式（しき）が取（と）り得（え）る最小（さいしょう）の値（あたい）です。最小（さいしょう）値（ち）を与（あた）える点（てん）は領域（りょういき）の境界（きょうかい）や頂点（ちょうてん）上（じょう）に位置（いち）します。

  • 線形（せんけい）計画（けいかく）法（ほう）quy hoạch tuyến tính

    Phương pháp tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức tuyến tính trên miền nghiệm cho trước. Ta dịch chuyển đường thẳng biểu diễn mục tiêu để tìm cực trị.

    与（あた）えられた領域（りょういき）上（じょう）で一（いち）次（じ）式（しき）の最大（さいだい）値（ち）や最小（さいしょう）値（ち）を求（もと）める方法（ほうほう）です。目標（もくひょう）式（しき）を表（あらわ）す直線（ちょくせん）族（ぞく）を平行（へいこう）移動（いどう）させて極値（きょくち）を探索（たんさく）します。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：個々（ここ）の不（ふ）等式（とうしき）から領域（りょういき）を特定（とくてい）する

    Bước 1: Xác định miền nghiệm từ bất phương trình thành phần

    Vẽ các đường ranh giới ứng với phương trình đường thẳng hoặc đường tròn. Sau đó thử một điểm để xác định phía nửa mặt phẳng thỏa mãn bất phương trình y < f(x).

    直線（ちょくせん）や円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）に対応（たいおう）する境界（きょうかい）線（せん）を描（えが）きます。次（つぎ）に、検証（けんしょう）点（てん）を代入（だいにゅう）して y < f(x) などの不（ふ）等式（とうしき）を満（み）たす半平（はんぺん）面（めん）を決定（けってい）します。

  2. 02
    ステップ2：積（せき）の形（かたち）および絶対（ぜったい）値（ち）を含（ふく）む不（ふ）等式（とうしき）を分解（ぶんかい）する

    Bước 2: Phân tích bất phương trình dạng tích và giá trị tuyệt đối

    Sử dụng quy tắc xét dấu AB > 0 hoặc AB < 0 để chia thành hai hệ bất phương trình tương đương. Với giá trị tuyệt đối |A| < B, biến đổi thành -B < A < B để xác định miền.

    AB > 0 や AB < 0 の符号（ふごう）規則（きそく）を用（もち）いて2つの連立（れんりつ）不（ふ）等式（とうしき）に分解（ぶんかい）します。絶対（ぜったい）値（ち） |A| < B の場合（ばあい）は -B < A < B と同値（どうち）変形（へんけい）して領域（りょういき）を求（もと）めます。

  3. 03
    ステップ3：領域（りょういき）の共通（きょうつう）部分（ぶぶん）または和（わ）集合（しゅうごう）をとる

    Bước 3: Lấy giao hoặc hợp các miền nghiệm

    Đối với hệ bất phương trình, ta lấy giao của tất cả các miền nghiệm thành phần. Đối với bất phương trình dạng tích, ta lấy hợp của hai trường hợp cùng dấu hoặc trái dấu.

    連立（れんりつ）不（ふ）等式（とうしき）の場合（ばあい）は、すべての構成（こうせい）領域（りょういき）の共通（きょうつう）部分（ぶぶん）をとります。積（せき）の形（かたち）不（ふ）等式（とうしき）の場合（ばあい）は、同（どう）符号（ふごう）または異（い）符号（ふごう）の2ケースの和（わ）集合（しゅうごう）をとります。

  4. 04
    ステップ4：線形（せんけい）計画（けいかく）法（ほう）を適用（てきよう）して極値（きょくち）を求（もと）める

    Bước 4: Áp dụng quy hoạch tuyến tính tìm cực trị

    Đặt biểu thức cần tối ưu bằng k và coi đó là họ đường thẳng song song. Cho k thay đổi để tìm vị trí đường thẳng tiếp xúc hoặc cắt đỉnh miền nghiệm, từ đó suy ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

    最適（さいてき）化（か）対象（たいしょう）の式（しき）を k とおき、平行（へいこう）な直線（ちょくせん）族（ぞく）として扱（あつか）います。k を変化（へんか）させて領域（りょういき）の頂点（ちょうてん）や境界（きょうかい）と交（まじ）わる位置（いち）を調（しら）べ、最大（さいだい）値（ち）・最小（さいしょう）値（ち）を特定（とくてい）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Cho rằng bất phương trình dạng tích AB > 0 chỉ tương đương với hệ A > 0 và B > 0.積（せき）の不（ふ）等式（とうしき） AB > 0 が A > 0 かつ B > 0 の連立（れんりつ）不（ふ）等式（とうしき）のみと同値（どうち）であると誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Phải xét đầy đủ hai trường hợp: cả A và B cùng dương, hoặc cả A và B cùng âm.A と B がともに正（せい）、またはともに負（ふ）である2つの場合（ばあい）を漏（も）れなく考慮（こうりょ）する必要（ひつよう）があります。

Khi tìm giá trị lớn nhất bằng quy hoạch tuyến tính, quên kiểm tra xem ranh giới miền nghiệm có được tính (có dấu bằng) hay không.線形（せんけい）計画（けいかく）法（ほう）で最大（さいだい）値（ち）を求（もと）める際（さい）、領域（りょういき）の境界（きょうかい）線（せん）上（じょう）の点（てん）が含（ふく）まれているか（等号（とうごう）の有無（うむ））を確認（かくにん）し忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn kiểm tra các bất phương trình có dấu bằng hay không để xác định cực trị có thực sự đạt được tại điểm biên hay không.不（ふ）等式（とうしき）に等号（とうごう）が含（ふく）まれているかを確認（かくにん）し、極値（きょくち）が実際（じっさい）に境界（きょうかい）点（てん）で達成（たっせい）されるかを検証（けんしょう）しなければなりません。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Miền nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các miền nghiệm thành phần.連立（れんりつ）不（ふ）等式（とうしき）の表（あらわ）す領域（りょういき）は、個々（ここ）の不（ふ）等式（とうしき）の領域（りょういき）の共通（きょうつう）部分（ぶぶん）となります。
  • Bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối |A| < B tương đương với bất phương trình kẹp -B < A < B.絶対（ぜったい）値（ち）を含（ふく）む不（ふ）等式（とうしき） |A| < B は、挟み込（はさみこ）みの不（ふ）等式（とうしき） -B < A < B と同値（どうち）変形（へんけい）されます。
  • Bất phương trình dạng tích được giải bằng cách chia thành hai trường hợp cùng dấu, lấy hợp hai miền kết quả.積（せき）の形（かたち）の不（ふ）等式（とうしき）は同（どう）符号（ふごう）となる2つの場合（ばあい）に分（わ）けて解（と）き、それぞれの領域（りょういき）の和（わ）集合（しゅうごう）をとります。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

y < f(x)

Công thức biểu diễn miền mặt phẳng nằm phía dưới đường cong y = f(x). Mọi điểm (x, y) thuộc miền này có tung độ nhỏ hơn giá trị f(x).

曲線（きょくせん） y = f(x) の下側（したがわ）に位置（いち）する平面（へいめん）領域（りょういき）を表（あらわ）す公式（こうしき）です。この領域（りょういき）内（ない）の点（てん） (x, y) の y 座標（ざひょう）は f(x) より小（ちい）さくなります。

|A| < B \iff -B < A < B

Biến đổi tương đương cho bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối khi B > 0. Biểu thức A bị kẹp giữa -B và B.

B > 0 のとき絶対（ぜったい）値（ち）を含（ふく）む不（ふ）等式（とうしき）の同値（どうち）変形（へんけい）を表（あらわ）す公式（こうしき）です。式（しき） A は -B と B の間（あいだ）に挟（はさ）まれます。

AB > 0 \iff (A > 0 \land B > 0) \lor (A < 0 \land B < 0)

Điều kiện tích của hai biểu thức dương khi và chỉ khi cả hai cùng dương hoặc cả hai cùng âm. Tích này tương đương với hợp của hai hệ bất phương trình.

2つの式（しき）の積（せき）が正（せい）となるのは、両者（りょうしゃ）がともに正（せい）またはともに負（ふ）の場合（ばあい）に限（かぎ）られることを示（しめ）す公式（こうしき）です。2つの連立（れんりつ）不（ふ）等式（とうしき）の和（わ）集合（しゅうごう）と同値（どうち）です。

AB < 0 \iff (A > 0 \land B < 0) \lor (A < 0 \land B > 0)

Điều kiện tích của hai biểu thức âm khi và chỉ khi hai biểu thức trái dấu. Nó tách thành hai trường hợp trái dấu tương ứng.

2つの式（しき）の積（せき）が負（ふ）となるのは、両者（りょうしゃ）の符号（ふごう）が異（こと）なるときに限（かぎ）られることを示（しめ）す公式（こうしき）です。異（い）符号（ふごう）となる2つの場合（ばあい）に分解（ぶんかい）されます。

EJU 2026 · MATH.9.3

Bài học này giúp bạn xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối và dạng tích. Bạn cũng sẽ học cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng quy hoạch tuyến tính.

この課（か）では、連立（れんりつ）不（ふ）等式（とうしき）、絶対（ぜったい）値（ち）を含（ふく）む不（ふ）等式（とうしき）、積（せき）の形（かたち）の不（ふ）等式（とうしき）が表（あらわ）す領域（りょういき）の特定（とくてい）方法（ほうほう）を学（まな）びます。また、線形（せんけい）計画（けいかく）法（ほう）を用（もち）いて最大（さいだい）値（ち）や最小（さいしょう）値（ち）を求（もと）める方法（ほうほう）を理解（りかい）します。

不（ふ）等式（とうしき）の表（あらわ）す領域（りょういき）と連立（れんりつ）不（ふ）等式（とうしき） 第（だい）2部（ぶ）
連立不等式の表す領域絶対値を含む不等式積の形の不等式最大値