Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Quỹ tích và phương trình quỹ tích軌跡（きせき）と軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）

Công thức公式

y = a(x - p)^2 + q
y > mx + n
y < mx + n
(x - a)^2 + (y - b)^2 < r^2

Ví dụ例題

Khi tham số p thay đổi, đỉnh của parabol \(y = (x - p)^{2} + 2\) có dạng \(y = a (x - p)^{2} + q\). Tìm tọa độ đỉnh và phương trình quỹ tích của đỉnh parabol.

パラメータ p が変化（へんか）するとき、放物（ほうぶつ）線（せん） \(y = (x - p)^{2} + 2\) の頂点（ちょうてん）の座標（ざひょう）を求（もと）め、頂点（ちょうてん）の軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）を決定（けってい）せよ。

  1. Từ phương trình \(y = (x - p)^{2} + 2\), ta xác định đỉnh của parabol là điểm di động P(p, 2).方程（ほうてい）式（しき） \(y = (x - p)^{2} + 2\) より、放物（ほうぶつ）線（せん）の頂点（ちょうてん）は動点（どうてん） P(p, 2) となる。
  2. Đặt tọa độ đỉnh là (X, Y) với X = p và Y = 2. Vì Y luôn bằng 2 với mọi p nên phương trình quỹ tích là đường thẳng Y = 2 (hay y = 2).頂点（ちょうてん）の座標（ざひょう）を (X, Y) と置（お）くと X = p, Y = 2 である。すべての p に対（たい）して Y = 2 となるため、軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）は直線（ちょくせん） y = 2 である。
Quỹ tích đỉnh parabol là đường thẳng y = 2.放物（ほうぶつ）線（せん）の頂点（ちょうてん）の軌跡（きせき）は直線（ちょくせん） y = 2 である。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Parabol \(y = (x - p)^{2} + 3\) có dạng \(y = a (x - p)^{2} + q\). Đỉnh của parabol này di động trên đường nào khi p thay đổi?放物（ほうぶつ）線（せん） \(y = (x - p)^{2} + 3\) は \(y = a (x - p)^{2} + q\) の形（かたち）をしている。p が変化（へんか）するとき、この放物（ほうぶつ）線（せん）の頂点（ちょうてん）はどの図形（ずけい）上（じょう）を動（うご）くか。

2. Miền nghiệm của bất phương trình \((x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} < 4\) biểu diễn hình gì trên mặt phẳng tọa độ?不（ふ）等式（とうしき） \((x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} < 4\) の表（あらわ）す領域（りょういき）は座標（ざひょう）平面（へいめん）上（じょう）でどのような図形（ずけい）か。

3. Miền nghiệm của bất phương trình y > 2x + 1 nằm ở đâu so với đường thẳng y = 2x + 1?不（ふ）等式（とうしき） y > 2x + 1 の表（あらわ）す領域（りょういき）は直線（ちょくせん） y = 2x + 1 に対（たい）してどこに位置（いち）するか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.9.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.9.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu khái niệm quỹ tích, điểm di động và cách lập phương trình quỹ tích.軌跡（きせき）、動点（どうてん）の概念（がいねん）および軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）の立（りっ）式（しき）方法（ほうほう）を理解（りかい）する。
  2. Xác định các dạng quỹ tích như đường tròn Apollonius và quỹ tích liên quan đến đỉnh parabol \(y = a (x - p)^{2} + q\).アポロニウスの円（えん）や放物（ほうぶつ）線（せん）の頂点（ちょうてん） \(y = a (x - p)^{2} + q\) に関（かん）する軌跡（きせき）のパターンを特定（とくてい）する。
  3. Biết cách kiểm tra và xác định các điểm bị loại trừ trên quỹ tích.軌跡（きせき）上（じょう）の除外（じょがい）される点（てん）を確認（かくにん）し特定（とくてい）する方法（ほうほう）を修得（しゅうとく）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về quỹ tích và phương trình quỹ tích軌跡（きせき）と軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）に関（かん）する直感（ちょっかん）的（てき）理解（りかい）

Khi điểm di động chuyển động theo quy luật hình học, nó tạo thành một hình dạng như đường thẳng hoặc đường tròn. Phương trình đại số thể hiện hình dạng đó chính là phương trình quỹ tích.

動点（どうてん）が一定（いってい）の幾何（きか）学（がく）ルールに従（したが）って動（うご）くとき、直線（ちょくせん）や円（えん）などの図形（ずけい）が描（えが）かれる。その図形（ずけい）を代数（だいすう）的（てき）に表（あらわ）したものが軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）である。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 軌跡（きせき）quỹ tích

    Tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng thỏa mãn một điều kiện hình học nhất định.

    平面（へいめん）上（じょう）で一定（いってい）の幾何（きか）学（がく）的（てき）条件（じょうけん）を満（み）たす点（てん）全体（ぜんたい）の集合（しゅうごう）。

  • 軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）phương trình quỹ tích

    Phương trình đại số mô tả quan hệ giữa tọa độ (x, y) của điểm di động thuộc quỹ tích.

    軌跡（きせき）上（じょう）の動点（どうてん）の座標（ざひょう） (x, y) が満（み）たす代数（だいすう）方程（ほうてい）式（しき）。

  • アポロニウスの円（えん）đường tròn Apollonius

    Quỹ tích của điểm có tỉ số khoảng cách đến hai điểm cố định là một hằng số khác 1.

    2定点（ていてん）からの距離（きょり）の比（ひ）が一定（いってい）（1以外（いがい））である点（てん）の軌跡（きせき）となる円（えん）。

  • 動点（どうてん）điểm di động

    Điểm có tọa độ thay đổi phụ thuộc vào tham số trong bài toán hình học.

    問題（もんだい）のパラメータに応（おう）じて座標（ざひょう）が変化（へんか）する点（てん）。

  • 除外（じょがい）される点（てん）điểm bị loại trừ

    Những điểm thỏa mãn phương trình quỹ tích nhưng không thể xuất hiện do điều kiện hình học ban đầu.

    軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）を満（み）たすが、元（もと）の幾何（きか）学（がく）的（てき）条件（じょうけん）から除外（じょがい）される点（てん）。

  • 弦（げん）の中点（ちゅうてん）trung điểm của dây cung

    Điểm nằm chính giữa đoạn thẳng nối hai giao điểm của một đường thẳng với một đường cong.

    直線（ちょくせん）と曲線（きょくせん）の2つの交点（こうてん）を結（むす）ぶ線分（せんぶん）の中点（ちゅうてん）。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：動点（どうてん） P(x, y) の座標（ざひょう）を設定（せってい）する

    Bước 1: Đặt tọa độ cho điểm di động P(x, y)

    Gọi P(x, y) là điểm di động cần tìm quỹ tích và biểu diễn các tham số liên quan.

    軌跡（きせき）を求（もと）める動点（どうてん）を P(x, y) と置（お）き、関連（かんれん）するパラメータを表（あらわ）す。

  2. 02
    ステップ2：x と y の関係（かんけい）式（しき）を立（りっ）式（しき）する

    Bước 2: Thiết lập phương trình liên hệ giữa x và y

    Biến đổi các điều kiện bài toán để khử tham số, thu được phương trình dạng \(y = a (x - p)^{2} + q\) hoặc phương trình đường tròn.

    問題（もんだい）の条件（じょうけん）を変形（へんけい）してパラメータを消去（しょうきょ）し、\(y = a (x - p)^{2} + q\) や円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）などの関係（かんけい）式（しき）を得（う）る。

  3. 03
    ステップ3：領域（りょういき）の表示（ひょうじ）と除外（じょがい）される点（てん）の確認（かくにん）

    Bước 3: Biểu diễn miền nghiệm và xét điểm bị loại trừ

    Sử dụng bất phương trình y > mx + n hay \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} < r^{2}\) nếu có miền nghiệm, và xác định điểm bị loại trừ.

    領域（りょういき）がある場合（ばあい）は不等（ふとう）式（しき） y > mx + n や \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} < r^{2}\) を用（もち）い、除外（じょがい）される点（てん）を特定（とくてい）する。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên kiểm tra điều kiện của tham số dẫn đến bỏ sót các điểm bị loại trừ trên quỹ tích.パラメータの条件（じょうけん）確認（かくにん）を怠（おこた）り、軌跡（きせき）上（じょう）の除外（じょがい）される点（てん）を見落（みお）とすこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Cần tìm miền giá trị của tham số từ đề bài để xác định chính xác giới hạn hình học và loại bỏ các điểm không thỏa mãn.問題（もんだい）文（ぶん）からパラメータのとり得（え）る値（あたい）の範囲（はんい）を求（もと）め、幾何（きか）学（がく）的（てき）な制限（せいげん）を正（ただ）しく適用（てきよう）して除外（じょがい）点（てん）を特定（とくてい）する必要（ひつよう）がある。

Nhầm lẫn miền nghiệm của bất phương trình y > mx + n với y < mx + n.不（ふ）等式（とうしき） y > mx + n の表（あらわ）す領域（りょういき）と y < mx + n の表（あらわ）す領域（りょういき）を混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Bất phương trình y > mx + n ứng với nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng, còn y < mx + n ứng với nửa mặt phẳng phía dưới.不（ふ）等式（とうしき） y > mx + n は直線（ちょくせん）の上側（うえがわ）半平（はんだいら）面（めん）を表（あらわ）し、y < mx + n は直線（ちょくせん）の下側（したがわ）半平（はんだいら）面（めん）を表（あらわ）す。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Quỹ tích là tập hợp các điểm di động thỏa mãn điều kiện hình học, được mô tả bởi phương trình quỹ tích.軌跡（きせき）は幾何（きか）学（がく）的（てき）条件（じょうけん）を満（み）たす動点（どうてん）の集合（しゅうごう）であり、軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）で表（あらわ）される。
  • Đỉnh parabol \(y = a (x - p)^{2} + q\) có tọa độ (p, q) và thay đổi theo tham số p.放物（ほうぶつ）線（せん） \(y = a (x - p)^{2} + q\) の頂点（ちょうてん）は座標（ざひょう） (p, q) であり、パラメータ p に応（おう）じて変化（へんか）する。
  • Miền nghiệm dạng \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} < r^{2}\) là miền trong đường tròn, còn y > mx + n là nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng.領域（りょういき） \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} < r^{2}\) は円（えん）の内部（ないぶ）を表（あらわ）し、y > mx + n は直線（ちょくせん）の上側（うえがわ）を表（あらわ）す。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

y = a(x - p)^2 + q

Dạng chuẩn của parabol với đỉnh có tọa độ (p, q).

頂点（ちょうてん）の座標（ざひょう）が (p, q) である放物（ほうぶつ）線（せん）の標準（ひょうじゅん）形（けい）。

y > mx + n

Bất phương trình mô tả miền mặt phẳng nằm phía trên đường thẳng y = mx + n.

直線（ちょくせん） y = mx + n の上側（うえがわ）領域（りょういき）を表（あらわ）す不（ふ）等式（とうしき）。

y < mx + n

Bất phương trình mô tả miền mặt phẳng nằm phía dưới đường thẳng y = mx + n.

直線（ちょくせん） y = mx + n の下側（したがわ）領域（りょういき）を表（あらわ）す不（ふ）等式（とうしき）。

(x - a)^2 + (y - b)^2 < r^2

Bất phương trình mô tả miền trong của đường tròn tâm (a, b) bán kính r.

中心（ちゅうしん） (a, b)、半径（はんけい） r の円（えん）の内部（ないぶ）領域（りょういき）を表（あらわ）す不（ふ）等式（とうしき）。

EJU 2026 · MATH.9.3

Quỹ tích là tập hợp tất cả các điểm di động thỏa mãn một điều kiện hình học cho trước. Phương trình quỹ tích biểu diễn mối quan hệ tọa độ của các điểm này, cần chú ý loại bỏ các điểm bị loại trừ.

軌跡（きせき）とは、与（あた）えられた幾何（きか）学（がく）的（てき）条件（じょうけん）を満（み）たす動点（どうてん）全体（ぜんたい）の集合（しゅうごう）である。軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）はその座標（ざひょう）関係（かんけい）を表（あらわ）し、除外（じょがい）される点（てん）に注意（ちゅうい）して決定（けってい）する。

軌跡（きせき）と軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）
軌跡軌跡の方程式アポロニウスの円動点