Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Phép toán và độ dài bằng biểu diễn tọa độ成分（せいぶん）表示（ひょうじ）による演算（えんざん）と大（おお）きさ

Công thức公式

\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)
\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}
|\vec{e}| = 1
|\vec{a}+t\vec{b}|^2

Ví dụ例題

Cho hai điểm A(1, 2) và B(4, 6). Hãy tính tọa độ vector AB, độ dài của vector AB và tìm vector đơn vị e cùng hướng với vector AB.

2点（てん） A(1, 2) と B(4, 6) が与（あた）えられている。ベクトル AB の成分（せいぶん）、ベクトル AB の大（おお）きさを求（もと）め、さらにベクトル AB と同（おな）じ向（む）きの単位（たんい）ベクトル e を求（もと）めよ。

  1. Tính tọa độ vector AB: \(\vec{AB}\) = (4 - 1, 6 - 2) = (3, 4).ベクトル AB の成分（せいぶん）を計算（けいさん）すると、\(\vec{AB}\) = (4 - 1, 6 - 2) = (3, 4) となります。
  2. Tính độ dài của vector AB: |\(\vec{AB}\)| = \(\sqrt{3^2 + 4^2}\) = \(\sqrt{9 + 16}\) = \(\sqrt{25}\) = 5.ベクトル AB の大（おお）きさを計算（けいさん）すると、|\(\vec{AB}\)| = \(\sqrt{3^2 + 4^2}\) = \(\sqrt{9 + 16}\) = \(\sqrt{25}\) = 5 となります。
  3. Tính vector đơn vị e cùng hướng: \(\vec{e}\) = \(\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|}\) = \(\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)\).同（おな）じ向（む）きの単位（たんい）ベクトル e を計算（けいさん）すると、\(\vec{e}\) = \(\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|}\) = \(\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)\) となります。
Tọa độ vector AB là (3, 4), độ dài bằng 5 và vector đơn vị cùng hướng là (3/5, 4/5).ベクトル AB の成分（せいぶん）は (3, 4)、大（おお）きさは 5、同（おな）じ向（む）きの単位（たんい）ベクトルは (3/5, 4/5) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hai điểm A(2, 1) và B(5, 5). Tọa độ của vector AB là bao nhiêu?2点（てん） A(2, 1) と B(5, 5) が与（あた）えられたとき、ベクトル AB の成分（せいぶん）はどれか。

2. Vector nào sau đây là vector đơn vị?次（つぎ）のうち、単位（たんい）ベクトルであるものはどれか。

3. Cho vector \(\vec{a}\) = (6, 8). Vector đơn vị \(\vec{e}\) cùng hướng với \(\vec{a}\) là vector nào?ベクトル \(\vec{a}\) = (6, 8) と同（おな）じ向（む）きの単位（たんい）ベクトル \(\vec{e}\) はどれか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 3 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）3区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Xác định tọa độ vector nối hai điểm và tính độ dài vector đơn vị cùng hướng.2点（てん）を結（むす）ぶベクトルの成分（せいぶん）を求（もと）め、同（おな）じ向（む）きの単位（たんい）ベクトルとその大（おお）きさを計算（けいさん）する。
  2. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài vector phụ thuộc tham số t thông qua bình phương độ dài.大（おお）きさの2乗（のり）を利用（りよう）して、パラメータtに依存（いぞん）するベクトルの大（おお）きさを最小（さいしょう）化（か）する。
Trực giác · イメージ

Tọa độ hóa giúp đưa các tính toán hình học về đại số đơn giản成分（せいぶん）表示（ひょうじ）により図形（ずけい）問題（もんだい）の計算（けいさん）を代数（だいすう）に置き換（おきか）える

Biểu diễn tọa độ biến vector thành các cặp số cụ thể, giúp dễ dàng tính tọa độ đoạn thẳng, độ dài và tìm vector đơn vị. Khi vector chứa tham số, bình phương độ dài tạo ra biểu thức bậc hai giúp tìm giá trị nhỏ nhất nhanh chóng.

成分（せいぶん）表示（ひょうじ）によってベクトルが具体（ぐたい）的（てき）な数（かず）の組（くみ）となり、線分（せんぶん）のベクトルや大（おお）きさ、単位（たんい）ベクトルの計算（けいさん）が容易（ようい）になります。パラメータを含（ふく）むベクトルの大（おお）きさの最小（さいしょう）値（ち）は、2乗（の）した二（に）次（じ）式（しき）の最小（さいしょう）化（か）に帰着（きちゃく）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 単位（たんい）ベクトルVector đơn vị

    Vector đơn vị là vector có độ dài bằng 1 và dùng để chỉ hướng chuẩn.

    単位（たんい）ベクトルとは、大（おお）きさが1であり、標準（ひょうじゅん）的（てき）な向（む）きを表（あらわ）すベクトルです。

  • ベクトルの大（おお）きさĐộ dài của vector

    Độ dài của vector là độ dài của đoạn thẳng biểu diễn vector đó.

    ベクトルの大（おお）きさとは、そのベクトルを表（あらわ）す線分（せんぶん）の長（なが）さを指（さ）します。

  • ベクトルの大（おお）きさの最小（さいしょう）値（ち）Giá trị nhỏ nhất của độ dài vector

    Giá trị nhỏ nhất của độ dài vector thu được bằng cách biến đổi bình phương độ dài về dạng tam thức bậc hai theo tham số.

    ベクトルの大（おお）きさを2乗（の）してパラメータの二（に）次（じ）式（しき）とし、その最小（さいしょう）値（ち）を求（もと）めることで得（え）られます。

  • 線分（せんぶん）Đoạn thẳng

    Đoạn thẳng là phần đường thẳng giới hạn bởi hai điểm đầu và cuối.

    線分（せんぶん）とは、2つの端点（たんてん）によって限（かぎ）られた直線（ちょくせん）の部分（ぶぶん）のことです。

  • 直線（ちょくせん）Đường thẳng

    Đường thẳng là tập hợp các điểm kéo dài vô tận về hai phía.

    直線（ちょくせん）とは、両（りょう）方向（ほうこう）に無限（むげん）に伸（の）びる点（てん）の集合（しゅうごう）のことです。

  • 共（きょう）線（せん）条件（じょうけん）Điều kiện thẳng hàng

    Điều kiện thẳng hàng thể hiện các điểm cùng nằm trên một đường thẳng khi hai vector tương ứng cùng phương.

    共（きょう）線（せん）条件（じょうけん）とは、対応（たいおう）する2つのベクトルが平行（へいこう）であり、点（てん）が同一（どういつ）直線（ちょくせん）上（じょう）にある条件（じょうけん）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    2点（てん）を結（むす）ぶベクトルの成分（せいぶん）の計算（けいさん）

    Tính tọa độ vector nối hai điểm

    Sử dụng công thức lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu để xác định vector nối hai điểm trên đường thẳng. Tọa độ này giúp xác định phương hướng và độ dài của đoạn thẳng.

    終点（しゅうてん）の成分（せいぶん）から始点（してん）の成分（せいぶん）を引（ひ）いて2点（てん）を結（むす）ぶベクトルを求（もと）めます。この成分（せいぶん）により直線（ちょくせん）上（じょう）の線分（せんぶん）の向（む）きと大（おお）きさが確定（かくてい）します。

  2. 02
    同（おな）じ向（む）きの単位（たんい）ベクトルの決定（けってい）

    Xác định vector đơn vị cùng hướng

    Chia vector ban đầu cho độ dài của chính nó để đưa độ dài về bằng 1. Vector thu được giữ nguyên hướng ban đầu nhưng có độ dài chuẩn.

    元（もと）のベクトルをその大（おお）きさで割（わ）ることで、大（おお）きさを1に正規（せいき）化（か）します。得（え）られたベクトルは元（もと）の向（む）きを保（たも）ちながら大（おお）きさが1となります。

  3. 03
    パラメータによる大（おお）きさの2乗（のり）の変形（へんけい）

    Biến đổi bình phương độ dài theo tham số

    Khai triển biểu thức bình phương độ dài để chuyển về dạng tam thức bậc hai theo tham số t. Tìm giá trị của t làm cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

    大（おお）きさを2乗（の）した式（しき）を展開（てんかい）し、パラメータtに関（かん）する二（に）次（じ）式（しき）に変形（へんけい）します。式（しき）が最小（さいしょう）となるtの値（あたい）を特定（とくてい）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Lấy sai thứ tự tọa độ khi tính vector AB bằng cách lấy tọa độ điểm A trừ điểm B.ベクトル AB を計算（けいさん）する際（さい）、終点（しゅうてん）ではなく始点（してん） A の成分（せいぶん）から B の成分（せいぶん）を引（ひ）いてしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tọa độ vector AB phải lấy tọa độ điểm cuối B trừ tọa độ điểm đầu A.ベクトル AB の成分（せいぶん）は必（かなら）ず終点（しゅうてん） B の成分（せいぶん）から始点（してん） A の成分（せいぶん）を引（ひ）いて求（もと）めます。

Quên căn bậc hai khi tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài từ bình phương độ dài.大（おお）きさの2乗（のり）の最小（さいしょう）値（ち）を求（もと）めた後（あと）、平方（へいほう）根（ね）を取（と）り忘（わす）れてそのまま答（こた）えてしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Bình phương độ dài cho ta kết quả dạng \(r^{2}\), do đó độ dài nhỏ nhất phải lấy căn bậc hai là r.大（おお）きさの2乗（のり）は \(r^{2}\) の値（あたい）であるため、実際（じっさい）の最小（さいしょう）の大（おお）きさは平方（へいほう）根（ね）をとって r とする必要（ひつよう）があります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Tọa độ vector AB được xác định bằng cách lấy tọa độ điểm cuối B trừ tọa độ điểm đầu A.ベクトル AB の成分（せいぶん）は、終点（しゅうてん） B の座標（ざひょう）から始点（してん） A の座標（ざひょう）を引（ひ）くことで求（もと）められます。
  • Vector đơn vị có độ dài bằng 1 và thu được bằng cách chia vector ban đầu cho độ dài của nó.単位（たんい）ベクトルは大（おお）きさが1であり、元（もと）のベクトルをその大（おお）きさで割（わ）ることで得（え）られます。
  • Giá trị nhỏ nhất của độ dài vector phụ thuộc tham số có thể tìm được nhờ khai triển bình phương độ dài.パラメータを含（ふく）むベクトルの大（おお）きさの最小（さいしょう）値（ち）は、大（おお）きさの2乗（のり）を展開（てんかい）した二（に）次（じ）式（しき）から求（もと）められます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)

Công thức xác định tọa độ vector AB khi biết tọa độ hai điểm A(x1, y1) và B(x2, y2).

2点（てん） A(x1, y1) と B(x2, y2) の座標（ざひょう）からベクトル AB の成分（せいぶん）を求（もと）める公式（こうしき）です。

\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}

Công thức xác định vector đơn vị cùng hướng với vector a khác vector 0.

0でないベクトル a と同（おな）じ向（む）きの単位（たんい）ベクトルを求（もと）める公式（こうしき）です。

|\vec{e}| = 1

Độ dài của mọi vector đơn vị luôn luôn bằng 1.

すべての単位（たんい）ベクトルの大（おお）きさが常（つね）に1であることを示（しめ）します。

|\vec{a}+t\vec{b}|^2

Biểu thức bình phương độ dài của vector tổng chứa tham số t giúp tìm giá trị nhỏ nhất.

パラメータtを含（ふく）む和（わ）のベクトルの大（おお）きさを2乗（の）した式（しき）であり、最小（さいしょう）値（ち）を求（もと）める際（さい）に利用（りよう）されます。

EJU 2026 · MATH.14.1

Biểu diễn tọa độ giúp thực hiện các phép toán vector và tính độ dài một cách chính xác. Thông qua bình phương độ dài và vector đơn vị, ta giải quyết hiệu quả các bài toán về đoạn thẳng và giá trị nhỏ nhất.

成分（せいぶん）表示（ひょうじ）によりベクトルの演算（えんざん）や大（おお）きさを正確（せいかく）に計算（けいさん）できます。大（おお）きさの2乗（のり）や単位（たんい）ベクトルを活用（かつよう）することで、線分（せんぶん）や最小（さいしょう）値（ち）に関（かん）する問題（もんだい）を効率（こうりつ）的（てき）に解決（かいけつ）できます。

成分（せいぶん）表示（ひょうじ）による演算（えんざん）と大（おお）きさ
単位ベクトルベクトルの大きさベクトルの大きさの最小値線分