Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Phép toán và độ dài của vectơ theo tọa độ成分（せいぶん）表示（ひょうじ）による演算（えんざん）・大（おお）きさ

Kiến thức cần dùng必要（ひつよう）な知識（ちしき）

\(\vec a+\vec b=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)\)\(\vec a+\vec b=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)\)

Cộng vectơ theo từng thành phần.

ベクトルは成分（せいぶん）ごとに加（くわ）える。

\(k\vec a=(ka_1,ka_2,ka_3)\)\(k\vec a=(ka_1,ka_2,ka_3)\)

Nhân mỗi thành phần với cùng số thực k.

各（かく）成分（せいぶん）を同（おな）じ実数（じっすう） k 倍（ばい）する。

\(|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)\(|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc với các vectơ cơ sở đơn vị, độ dài được tính bằng định lý Pythagore.

直交（ちょっこう）単位（たんい）座標（ざひょう）系（けい）では、ベクトルの大（おお）きさはピタゴラスの定理（ていり）で求（もと）める。

\(\vec e=\frac{\vec c}{|\vec c|}\)\(\vec e=\frac{\vec c}{|\vec c|}\)

Với \(\vec c\ne\vec0\), đây là vectơ đơn vị cùng hướng với \(\vec c\).

\(\vec c\ne\vec0\) のとき、これは \(\vec c\) と同（おな）じ向（む）きの単位（たんい）ベクトルである。

\(\vec p=k\vec c,\quad k>0\)\(\vec p=k\vec c,\quad k>0\)

Cùng hướng cần \(k>0\); nếu \(k<0\) thì ngược hướng. Nếu thêm \(|\vec p|=L\), ta có \(k=L/|\vec c|\).

同（おな）じ向（む）きなら \(k>0\)、\(k<0\) なら逆向（ぎゃくむ）き。さらに \(|\vec p|=L\) なら \(k=L/|\vec c|\)。

Công thức公式

2\vec{a} + 3\vec{b}
\vec{p} = k\vec{c}
\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}
\vec{AB} = \vec{DC}

Cách làm解（と）き方（かた）

  1. Viết các vectơ theo đúng thứ tự thành phần.ベクトルを成分（せいぶん）の順（じゅん）に書（か）く。
  2. Thực hiện cộng hoặc nhân vô hướng trên từng thành phần.各（かく）成分（せいぶん）について加法（かほう）・実（じつ）数（すう）倍（ばい）を行（おこな）う。
  3. Bình phương từng thành phần, cộng rồi lấy căn để tính độ dài.各（かく）成分（せいぶん）を2乗（の）して加（くわ）え、平方（へいほう）根（ね）をとる。
  4. Nếu yêu cầu cùng hướng, đặt \(\vec p=k\vec c\) với \(k>0\), rồi dùng độ dài để tìm k.同（おな）じ向（む）きなら \(\vec p=k\vec c\), \(k>0\) とおき、大（おお）きさから k を求（もと）める。

Ví dụ có lời giải解説（かいせつ）付（つ）き例題（れいだい）

Cho \(\vec a=(2,-1,2)\), \(\vec b=(-1,3,0)\). Tính \(2\vec a-\vec b\) và độ dài của nó. Với \(\vec c=(2,-2,1)\), tìm vectơ \(\vec p\) cùng hướng với \(\vec c\) và có độ dài 6.

\(\vec a=(2,-1,2)\), \(\vec b=(-1,3,0)\) とする。\(2\vec a-\vec b\) とその大（おお）きさを求（もと）めよ。また、\(\vec c=(2,-2,1)\) と同（おな）じ向（む）きで大（おお）きさ6のベクトル \(\vec p\) を求（もと）めよ。

  1. \(2\vec a-\vec b=(4,-2,4)-(-1,3,0)=(5,-5,4)\).\(2\vec a-\vec b=(4,-2,4)-(-1,3,0)=(5,-5,4)\)。
  2. \(|2\vec a-\vec b|=\sqrt{5^2+(-5)^2+4^2}=\sqrt{66}\).\(|2\vec a-\vec b|=\sqrt{5^2+(-5)^2+4^2}=\sqrt{66}\)。
  3. \(|\vec c|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3\). Đặt \(\vec p=k\vec c\), \(k>0\).\(|\vec c|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3\)。\(\vec p=k\vec c\), \(k>0\) とおく。
  4. \(|\vec p|=k|\vec c|=6\) nên \(k=2\), do đó \(\vec p=(4,-4,2)\).\(|\vec p|=k|\vec c|=6\) より \(k=2\)、したがって \(\vec p=(4,-4,2)\)。
\((5,-5,4),\sqrt{66}\); \(\vec p=(4,-4,2)\).\((5,-5,4),\sqrt{66}\)、\(\vec p=(4,-4,2)\)。

Không cộng độ dài từng thành phần; phải cộng bình phương các thành phần rồi lấy căn.

成分（せいぶん）の長（なが）さをそのまま足（た）さず、各（かく）成分（せいぶん）の2乗（じょう）和（わ）の平方（へいほう）根（ね）をとる。

Ví dụ例題

Cho ba điểm A, B, C có vectơ vị trí lần lượt là \(\vec{OA}\), \(\vec{OB}\), \(\vec{OC}\). Tìm vectơ vị trí \(\vec{OD}\) của điểm D sao cho tứ giác ABCD là một hình bình hành.

3点（てん） A, B, C の位置（いち）ベクトルを \(\vec{OA}\), \(\vec{OB}\), \(\vec{OC}\) とします。四角形（しかくけい） ABCD が平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）となるような点（てん） D の位置（いち）ベクトル \(\vec{OD}\) を求（もと）めます。

  1. Áp dụng điều kiện hình bình hành ABCD ta có phương trình vectơ \(\vec{AB}\) = \(\vec{DC}\).四角形（しかくけい） ABCD が平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）となる条件（じょうけん）より、ベクトル方程（ほうてい）式（しき） \(\vec{AB}\) = \(\vec{DC}\) が成立（せいりつ）します。
  2. Biểu diễn các vectơ qua vectơ vị trí theo công thức \(\vec{AB}\) = \(\vec{OB}\) - \(\vec{OA}\) và \(\vec{DC}\) = \(\vec{OC}\) - \(\vec{OD}\).位置（いち）ベクトルを用（もち）いて \(\vec{AB}\) = \(\vec{OB}\) - \(\vec{OA}\) および \(\vec{DC}\) = \(\vec{OC}\) - \(\vec{OD}\) と表（あらわ）します。
  3. Chuyển vế để tìm \(\vec{OD}\), ta được \(\vec{OD}\) = \(\vec{OA}\) + \(\vec{OC}\) - \(\vec{OB}\).移項（いこう）して \(\vec{OD}\) を求（もと）めると、\(\vec{OD}\) = \(\vec{OA}\) + \(\vec{OC}\) - \(\vec{OB}\) となります。
Vectơ vị trí điểm D được xác định duy nhất bằng tổng vectơ vị trí của A và C trừ đi vectơ vị trí của B.点（てん） D の位置（いち）ベクトルは、点（てん） A と点（てん） C の位置（いち）ベクトルの和（わ）から点（てん） B の位置（いち）ベクトルを引（ひ）くことで一意（いちい）に定（さだ）まります。

Tự luyện自分（じぶん）で練習（れんしゅう）

Cho \(\vec a=(1,2,-2)\), \(\vec b=(3,-1,4)\). Tính \(\vec a+2\vec b\) và độ dài.

\(\vec a=(1,2,-2)\), \(\vec b=(3,-1,4)\) とする。\(\vec a+2\vec b\) とその大（おお）きさを求（もと）めよ。

Xem công thức và lời giải公式（こうしき）と解説（かいせつ）を見（み）る
  1. \(\vec a+2\vec b=(1,2,-2)+(6,-2,8)=(7,0,6)\).\(\vec a+2\vec b=(1,2,-2)+(6,-2,8)=(7,0,6)\)。
  2. \(|\vec a+2\vec b|=\sqrt{7^2+0^2+6^2}=\sqrt{85}\).\(|\vec a+2\vec b|=\sqrt{7^2+0^2+6^2}=\sqrt{85}\)。
\((7,0,6)\), \(\sqrt{85}\).\((7,0,6)\)、\(\sqrt{85}\)。

Tự luyện自分（じぶん）で練習（れんしゅう）

Cho \(\vec c=(-2,1,2)\). Tìm vectơ cùng hướng với \(\vec c\) và có độ dài 9.

\(\vec c=(-2,1,2)\) と同（おな）じ向（む）きで大（おお）きさ9のベクトルを求（もと）めよ。

Xem công thức và lời giải公式（こうしき）と解説（かいせつ）を見（み）る
  1. \(|\vec c|=\sqrt{(-2)^2+1^2+2^2}=3\).\(|\vec c|=\sqrt{(-2)^2+1^2+2^2}=3\)。
  2. Đặt \(\vec p=k\vec c\), \(k>0\). Từ \(3k=9\) suy ra \(k=3\).\(\vec p=k\vec c\), \(k>0\) とおく。\(3k=9\) より \(k=3\)。
  3. \(\vec p=3(-2,1,2)=(-6,3,6)\).\(\vec p=3(-2,1,2)=(-6,3,6)\)。
\(\vec p=(-6,3,6)\).\(\vec p=(-6,3,6)\)。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho vectơ vị trí của điểm A và điểm B lần lượt là \(\vec{OA}\) và \(\vec{OB}\). Vectơ nối hai điểm \(\vec{AB}\) được biểu diễn như thế nào theo vectơ vị trí?点（てん） A と点（てん） B の位置（いち）ベクトルをそれぞれ \(\vec{OA}\), \(\vec{OB}\) とするとき、2点（てん）を結（むす）ぶベクトル \(\vec{AB}\) はどのように表（あらわ）されますか。

2. Cho hai vectơ \(\vec{p}\) và \(\vec{c}\) khác vectơ 0. Điều kiện để vectơ \(\vec{p}\) song song với vectơ \(\vec{c}\) là tồn tại số thực k khác 0 sao cho đẳng thức nào sau đây xảy ra?零（れい）ベクトルでない2つのベクトル \(\vec{p}\) と \(\vec{c}\) について、\(\vec{p}\) と \(\vec{c}\) が平行（へいこう）になるための条件（じょうけん）は、0でない実数（じっすう） k を用（もち）いてどの等式（とうしき）が成立（せいりつ）することですか。

3. Tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi hai vectơ cạnh đối nào sau đây bằng nhau?四角形（しかくけい） ABCD が平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）であるための必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）は、対辺（たいへん）を結（むす）ぶどの2つのベクトルが等（ひと）しいことですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững phép toán biểu diễn vectơ nối hai điểm qua vectơ vị trí.位置（いち）ベクトルを用（もち）いた2点（てん）を結（むす）ぶベクトルの表（あらわ）し方（かた）を理解（りかい）する。
  2. Hiểu và áp dụng điều kiện hai vectơ song song và đẳng thức hình bình hành.2ベクトルの平行（へいこう）条件（じょうけん）と平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）のベクトル条件（じょうけん）を理解（りかい）し応用（おうよう）する。
Trực giác · イメージ

Biểu diễn vectơ bằng vị trí và hướng trong mặt phẳng tọa độ座標（ざひょう）平面（へいめん）における位置（いち）と方向（ほうこう）によるベクトルの表示（ひょうじ）

Vectơ vị trí giúp xác định điểm trong không gian so với gốc tọa độ. Khi nối hai điểm hay xét hình bình hành, việc chuyển đổi giữa các vectơ vị trí giúp đơn giản hóa các phép toán đại số.

位置（いち）ベクトルは原点（げんてん）を基準（きじゅん）として空間（くうかん）上（じょう）の点（てん）を特定（とくてい）します。2点（てん）を結（むす）ぶ際（さい）や平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）を考（かんが）える際（さい）、位置（いち）ベクトルに変換（へんかん）することで代数（だいすう）的（てき）な演算（えんざん）が容易（ようい）になります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 単位（たんい）ベクトルVectơ đơn vị

    Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1, dùng để chỉ hướng trong không gian tọa độ.

    単位（たんい）ベクトルとは大（おお）きさが 1 のベクトルであり、座標（ざひょう）空間（くうかん）における方向（ほうこう）を示（しめ）します。

  • 平行（へいこう）なベクトルVectơ song song

    Hai vectơ song song khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau, biểu diễn qua k lần nhau.

    2つのベクトルが平行（へいこう）であるとは、それらの基線（きせん）が平行（へいこう）または一致（いっち）していることであり、実（じつ）数（すう）倍（ばい）の関係（かんけい）で表（あらわ）されます。

  • 位置（いち）ベクトルVectơ vị trí

    Vectơ vị trí là vectơ có điểm đầu tại gốc tọa độ O, biểu diễn vị trí của một điểm.

    位置（いち）ベクトルとは原点（げんてん） O を始点（してん）とし、空間（くうかん）上（じょう）の点（てん）の位置（いち）を特定（とくてい）するベクトルです。

  • 平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）Hình bình hành

    Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau, thể hiện qua các vectơ cạnh bằng nhau.

    平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）とは対辺（たいへん）が平行（へいこう）で長（なが）さが等（ひと）しい四角形（しかくけい）であり、等（ひと）しい辺（へん）ベクトルで表現（ひょうげん）されます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    位置（いち）ベクトルによる2点（てん）を結（むす）ぶベクトルの表示（ひょうじ）

    Biểu diễn vectơ nối hai điểm qua vectơ vị trí

    Vectơ nối từ A đến B được xác định bằng hiệu vectơ vị trí điểm cuối trừ điểm đầu \(\vec{AB}\) = \(\vec{OB}\) - \(\vec{OA}\).

    点（てん） A から点（てん） B へ向（む）かうベクトルは、終点（しゅうてん）の位置（いち）ベクトルから始点（してん）の位置（いち）ベクトルを引（ひ）いた \(\vec{AB}\) = \(\vec{OB}\) - \(\vec{OA}\) で表（あらわ）されます。

  2. 02
    ベクトルの一（いち）次（じ）結合（けつごう）と演算（えんざん）

    Phép kết hợp tuyến tính các vectơ

    Thực hiện các phép cộng và nhân thực trên các vectơ vị trí như biểu thức 2\(\vec{a}\) + 3\(\vec{b}\) để xác định vectơ vị trí mới.

    2\(\vec{a}\) + 3\(\vec{b}\) のように位置（いち）ベクトルに対（たい）する加算（かさん）や実（じつ）数（すう）倍（ばい）の演算（えんざん）を行（おこな）い、新（あら）たな位置（いち）ベクトルを求（もと）めます。

  3. 03
    2ベクトルの平行（へいこう）条件（じょうけん）の判定（はんてい）

    Xét điều kiện hai vectơ song song

    Hai vectơ song song khi vectơ này bằng k lần vectơ kia theo công thức \(\vec{p}\) = k\(\vec{c}\) với k khác 0.

    0 でない実数（じっすう） k を用（もち）いて \(\vec{p}\) = k\(\vec{c}\) と表（あらわ）せるとき、2つのベクトルは平行（へいこう）となります。

  4. 04
    平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）のベクトル条件（じょうけん）の適用（てきよう）

    Áp dụng đẳng thức hình bình hành

    Trong hình bình hành ABCD, hai vectơ cạnh đối song song và cùng độ dài thỏa mãn đẳng thức \(\vec{AB}\) = \(\vec{DC}\).

    平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい） ABCD において、向（む）きと大（おお）きさが等（ひと）しい対辺（たいへん）のベクトルは \(\vec{AB}\) = \(\vec{DC}\) を満（み）たします。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Viết sai thứ tự vectơ nối hai điểm thành \(\vec{AB}\) = \(\vec{OA}\) - \(\vec{OB}\).2点（てん）を結（むす）ぶベクトルを \(\vec{AB}\) = \(\vec{OA}\) - \(\vec{OB}\) と順序（じゅんじょ）を逆（ぎゃく）にしてしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nhớ quy tắc lấy vectơ vị trí điểm cuối trừ điểm đầu, nghĩa là \(\vec{AB}\) = \(\vec{OB}\) - \(\vec{OA}\).終点（しゅうてん）から始点（してん）を引（ひ）くルールを徹底（てってい）し、\(\vec{AB}\) = \(\vec{OB}\) - \(\vec{OA}\) と正（ただ）しく計算（けいさん）します。

Nhầm lẫn đẳng thức hình bình hành ABCD thành \(\vec{AB}\) = \(\vec{CD}\) làm ngược hướng vectơ.平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい） ABCD の条件（じょうけん）を \(\vec{AB}\) = \(\vec{CD}\) と書（か）いてベクトルの向（む）きを逆（ぎゃく）にしてしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Viết đúng thứ tự các đỉnh theo chiều vòng quanh hình bình hành, suy ra \(\vec{AB}\) = \(\vec{DC}\).頂点（ちょうてん）の順序（じゅんじょ）に注意（ちゅうい）して向（む）きを揃（そろ）え、\(\vec{AB}\) = \(\vec{DC}\) と正（ただ）しく設定（せってい）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Vectơ nối hai điểm được tính bằng \(\vec{AB}\) = \(\vec{OB}\) - \(\vec{OA}\).2点（てん）を結（むす）ぶベクトルは \(\vec{AB}\) = \(\vec{OB}\) - \(\vec{OA}\) で求（もと）められます。
  • Điều kiện hai vectơ song song là \(\vec{p}\) = k\(\vec{c}\) với k khác 0.2ベクトルの平行（へいこう）条件（じょうけん）は 0 でない k を用（もち）いた \(\vec{p}\) = k\(\vec{c}\) です。
  • Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \(\vec{AB}\) = \(\vec{DC}\).四角形（しかくけい） ABCD が平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）となる必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）は \(\vec{AB}\) = \(\vec{DC}\) です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

2\vec{a} + 3\vec{b}

Biểu thức kết hợp tuyến tính của hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) theo các hệ số thực 2 và 3.

実数（じっすう）係数（けいすう） 2 と 3 による2つのベクトル \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) の一（いち）次（じ）結合（けつごう）を表（あらわ）す式（しき）です。

\vec{p} = k\vec{c}

Biểu thức thể hiện vectơ \(\vec{p}\) song song với vectơ \(\vec{c}\) thông qua hệ số tỉ lệ thực k.

実（じつ）数（すう）倍（ばい）の係数（けいすう） k を介（かい）してベクトル \(\vec{p}\) がベクトル \(\vec{c}\) と平行（へいこう）であることを示（しめ）す式（しき）です。

\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}

Công thức tính vectơ nối hai điểm A và B bằng hiệu hai vectơ vị trí tương ứng.

2点（てん） A, B を結（むす）ぶベクトルをそれぞれの位置（いち）ベクトルの差（さ）で求（もと）める公式（こうしき）です。

\vec{AB} = \vec{DC}

Đẳng thức vectơ xác định tứ giác ABCD là hình bình hành.

四角形（しかくけい） ABCD が平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）であることを確定（かくてい）させるベクトル等式（とうしき）です。

EJU 2026 · MATH.14.1

Bài học này giúp bạn nắm vững phép toán biểu diễn vectơ qua tọa độ và tính độ dài vectơ nối hai điểm. Bạn sẽ biết cách áp dụng vị trí vectơ để giải quyết bài toán hình bình hành và vectơ song song.

本課（ほんか）では成分（せいぶん）表示（ひょうじ）によるベクトルの演算（えんざん）と2点（てん）を結（むす）ぶベクトルの大（おお）きさをマスターします。位置（いち）ベクトルを応用（おうよう）して平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）や平行（へいこう）ベクトルの問題（もんだい）を解決（かいけつ）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。

成分（せいぶん）表示（ひょうじ）による演算（えんざん）・大（おお）きさ
単位ベクトル平行なベクトル位置ベクトル平行四辺形