Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Tích vô hướng của vectơベクトルの内積（ないせき）

Công thức公式

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3
\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0
\cos\theta = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}

Ví dụ例題

Cho hai vectơ \(\vec{a}\) = (1, 2, 2) và \(\vec{b}\) = (2, 1, -2) trong không gian. Hãy tính tích vô hướng của hai vectơ và kiểm tra điều kiện vuông góc giữa chúng.

空間（くうかん）内（ない）の2つのベクトル \(\vec{a}\) = (1, 2, 2) と \(\vec{b}\) = (2, 1, -2) について、内積（ないせき）を計算（けいさん）し、それらが垂直（すいちょく）であるかを判定（はんてい）します。

  1. Áp dụng công thức tính tích vô hướng theo tọa độ \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.座標（ざひょう）による内積（ないせき）の公式（こうしき） \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 を適用（てきよう）します。
  2. Thay tọa độ vào ta được \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = (1)(2) + (2)(1) + (2)(-2) = 2 + 2 - 4 = 0.座標（ざひょう）の値（あたい）を代入（だいにゅう）すると \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = (1)(2) + (2)(1) + (2)(-2) = 2 + 2 - 4 = 0 となります。
  3. Dựa vào điều kiện vuông góc \(\vec{a}\) \perp \(\vec{b}\) \(\iff\) \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = 0, ta kết luận hai vectơ vuông góc với nhau.垂直（すいちょく）条件（じょうけん） \(\vec{a}\) \perp \(\vec{b}\) \(\iff\) \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = 0 に基（もと）づき、2つのベクトルは垂直（すいちょく）であると結論（けつろん）付（つ）けます。
Tích vô hướng bằng 0 chứng minh hai vectơ vuông góc với nhau trong không gian.内積（ないせき）が 0 であることから、空間（くうかん）における2つのベクトルが垂直（すいちょく）であることが証明（しょうめい）されます。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{a}\) = (a_1, a_2, a_3) và \(\vec{b}\) = (b_1, b_2, b_3) theo tọa độ là gì?座標（ざひょう）による2つのベクトル \(\vec{a}\) = (a_1, a_2, a_3) と \(\vec{b}\) = (b_1, b_2, b_3) の内積（ないせき）を求（もと）める公式（こうしき）はどれですか。

2. Điều kiện vuông góc giữa hai vectơ khác 0 trong không gian \(\vec{a}\) \perp \(\vec{b}\) tương đương với đẳng thức nào sau đây?空間（くうかん）における 0 でない2つのベクトルが垂直（すいちょく）である条件（じょうけん） \(\vec{a}\) \perp \(\vec{b}\) は、どの等式（とうしき）と同値（どうち）ですか。

3. Cho hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) có tích vô hướng bằng 0 và độ dài khác 0. Cosin của góc \(\theta\) giữa hai vectơ đó bằng bao nhiêu?内積（ないせき）が 0 で大（おお）きさが 0 でない2つのベクトル \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) について、なす角（かく） \(\theta\) のコサイン \(\cos\)\(\theta\) の値（あたい）はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu định nghĩa và tính tích vô hướng của hai vectơ theo tọa độ.内積（ないせき）の定義（ていぎ）を理解（りかい）し、成分（せいぶん）表示（ひょうじ）による2ベクトルの内積（ないせき）を計算（けいさん）する。
  2. Áp dụng điều kiện vuông góc và công thức cosin để tìm góc giữa hai vectơ.垂直（すいちょく）条件（じょうけん）とコサインの公式（こうしき）を適用（てきよう）して2ベクトルのなす角（かく）を求（もと）める。
Trực giác · イメージ

Đo lường mức độ cùng hướng và vuông góc của hai vectơ2ベクトルの同（どう）方向（ほうこう）性（せい）と垂直（すいちょく）性（せい）の測定（そくてい）

Tích vô hướng cho biết mức độ hai vectơ chỉ cùng về một hướng. Khi hai vectơ vuông góc, chiếu vectơ này lên vectơ kia bằng 0 dẫn đến tích vô hướng bằng 0.

内積（ないせき）は2つのベクトルがどれだけ同（おな）じ方向（ほうこう）を向（む）いているかを示（しめ）します。2ベクトルが垂直（すいちょく）なとき、射影（しゃえい）が 0 となり内積（ないせき）も 0 になります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 内積（ないせき）Tích vô hướng

    Tích vô hướng của hai vectơ là tích độ dài của chúng với cosin góc tạo bởi hai vectơ.

    内積（ないせき）とは、2つのベクトルの大（おお）きさとそのなす角（かく）のコサインの積（せき）です。

  • なす角（かく）Góc giữa hai vectơ

    Góc giữa hai vectơ là góc \(\theta\) nằm trong khoảng từ 0 đến 180 độ tạo bởi hai vectơ khi chung gốc.

    ベクトルのなす角（かく）とは、始点（してん）を揃（そろ）えたときに2つのベクトルが形成（けいせい）する 0 度（ど）から 180 度（ど）の角（かく） \(\theta\) です。

  • 垂直（すいちょく）条件（じょうけん）Điều kiện vuông góc

    Điều kiện để hai vectơ khác 0 vuông góc với nhau là tích vô hướng của chúng bằng 0.

    0 でない2つのベクトルが直交（ちょっこう）するための条件（じょうけん）は、その内積（ないせき）が 0 になることです。

  • 三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）Diện tích tam giác

    Diện tích tam giác tạo bởi hai vectơ có thể tính dựa trên độ dài và tích vô hướng của chúng.

    2つのベクトルによって作（つく）られる三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）は、それらの大（おお）きさと内積（ないせき）を用（もち）いて計算（けいさん）できます。

  • 単位（たんい）ベクトルVectơ đơn vị

    Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1, dùng để định hướng các trục tọa độ.

    単位（たんい）ベクトルとは大（おお）きさが 1 のベクトルであり、座標（ざひょう）軸（じく）の方向（ほうこう）を定義（ていぎ）するのに用（もち）いられます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    成分（せいぶん）による内積（ないせき）の計算（けいさん）

    Tính tích vô hướng theo tọa độ

    Tính tích vô hướng bằng cách nhân các tọa độ tương ứng rồi cộng lại theo công thức \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.

    公式（こうしき） \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 に従（したが）い、対応（たいおう）する成分（せいぶん）同士（どうし）を掛け合（かけあ）わせて足し合（たしあ）わせます。

  2. 02
    垂直（すいちょく）条件（じょうけん）の適用（てきよう）

    Áp dụng điều kiện vuông góc

    Kiểm tra hai vectơ có vuông góc hay không bằng cách xét đẳng thức tích vô hướng \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = 0.

    内積（ないせき）の等式（とうしき） \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = 0 を調（しら）べることで、2つのベクトルが垂直（すいちょく）であるかを判定（はんてい）します。

  3. 03
    2ベクトルのなす角（かく）のコサインの計算（けいさん）

    Tính cosin của góc giữa hai vectơ

    Xác định góc giữa hai vectơ bằng cách chia tích vô hướng cho tích độ dài hai vectơ.

    内積（ないせき）を2つのベクトルの大（おお）きさの積（せき）で割（わ）ることにより、なす角（かく）のコサインを求（もと）めます。

  4. 04
    幾何（きか）学（がく）的（てき）表示（ひょうじ）と内積（ないせき）の定義（ていぎ）

    Biểu diễn hình học và định nghĩa tích vô hướng

    Sử dụng biểu thức \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = |\(\vec{a}\)||\(\vec{b}\)|\(\cos\)\(\theta\) để mối liên hệ giữa hình học và tọa độ.

    式（しき） \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = |\(\vec{a}\)||\(\vec{b}\)|\(\cos\)\(\theta\) を用（もち）いて、図形（ずけい）的（てき）な概念（がいねん）と成分（せいぶん）表示（ひょうじ）を結（むす）びつけます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn tích vô hướng là một vectơ thay vì một số thực scalar.内積（ないせき）の計算（けいさん）結果（けっか）をベクトルであると誤解（ごかい）してしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tích vô hướng của hai vectơ là một số thực thu được từ tổng tích các tọa độ \(a_{1}\) \(b_{1} + a_{2}\) \(b_{2} + a_{3}\) \(b_{3}\).2ベクトルの内積（ないせき）は各（かく）成分（せいぶん）の積（せき）の和（わ） \(a_{1}\) \(b_{1} + a_{2}\) \(b_{2} + a_{3}\) \(b_{3}\) で得（え）られる実数（じっすう）（スカラー）です。

Nhầm lẫn cosin của góc vuông \(\cos\) \(90^\circ\) = 1 dẫn đến kết luận sai về tích vô hướng.直角（ちょっかく）のコサイン \(\cos\) \(90^\circ\) = 1 と誤認（ごにん）し、内積（ないせき）の判定（はんてい）を誤（あやま）る。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nhớ rằng \(\cos\) \(90^\circ\) = 0, do đó khi hai vectơ vuông góc thì tích vô hướng bằng 0.\(\cos\) \(90^\circ\) = 0 であることを確認（かくにん）し、2ベクトルが垂直（すいちょく）なとき内積（ないせき）が 0 になることを適用（てきよう）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Tích vô hướng theo tọa độ bằng \(a_{1}\) \(b_{1} + a_{2}\) \(b_{2} + a_{3}\) \(b_{3}\).座標（ざひょう）による内積（ないせき）は \(a_{1}\) \(b_{1} + a_{2}\) \(b_{2} + a_{3}\) \(b_{3}\) です。
  • Điều kiện hai vectơ vuông góc là tích vô hướng bằng 0.2ベクトルが垂直（すいちょく）となる条件（じょうけん）は内積（ないせき）が 0 になることです。
  • Cosin của góc giữa hai vectơ được tính từ tích vô hướng chia cho tích hai độ dài.2ベクトルのなす角（かく）のコサインは、内積（ないせき）をそれぞれの大（おお）きさの積（せき）で割（わ）って求（もと）めます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta

Công thức định nghĩa tích vô hướng theo độ dài hai vectơ và cosin của góc giữa chúng.

2つのベクトルの大（おお）きさとそのなす角（かく）のコサインによる内積（ないせき）の定義（ていぎ）式（しき）です。

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

Công thức tính tích vô hướng bằng tổng các tích các thành phần tọa độ tương ứng.

対応（たいおう）する各（かく）成分（せいぶん）の積（せき）の和（わ）によって内積（ないせき）を計算（けいさん）する座標（ざひょう）表示（ひょうじ）の公式（こうしき）です。

\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0

Điều kiện tương đương để hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng bằng 0.

内積（ないせき）が 0 であることによる2ベクトルの垂直（すいちょく）条件（じょうけん）を示（しめ）す同値（どうち）式（しき）です。

\cos\theta = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}

Công thức xác định cosin của góc giữa hai vectơ từ tọa độ của chúng.

ベクトルの成分（せいぶん）からそのなす角（かく）のコサインを求（もと）める公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.14.1

Bài học này trình bày khái niệm tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng tính góc cũng như xét điều kiện vuông góc theo tọa độ. Kiến thức giúp bạn giải quyết các bài toán góc và góc vuông trong không gian một cách chính xác.

本課（ほんか）では2ベクトルの内積（ないせき）の概念（がいねん）と、成分（せいぶん）表示（ひょうじ）を用（もち）いたなす角（かく）の計算（けいさん）や垂直（すいちょく）条件（じょうけん）の応用（おうよう）について学（まな）びます。空間（くうかん）における角度（かくど）や垂直（すいちょく）に関（かん）する問題（もんだい）を正確（せいかく）に解決（かいけつ）する力（ちから）を身（み）につけます。

ベクトルの内積（ないせき）
内積なす角垂直条件三角形の面積