Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Phương trình mặt cầu球（たま）の方程（ほうてい）式（しき）

Công thức公式

(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2
(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0
x = x_0, \quad y = y_0, \quad z = z_0
(\vec{p} - \vec{p}_0) \cdot \vec{n} = 0

Ví dụ例題

Cho điểm A(1, 2, 3) và điểm B(3, 4, 1). Hãy lập phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính.

点（てん） A(1, 2, 3) と点（てん） B(3, 4, 1) が与（あた）えられています。線分（せんぶん） AB を直径（ちょっけい）とする球（たま）の方方（ほうぼう）程（ほど）式（しき）を求（もと）めなさい。

  1. Tính tọa độ tâm I là trung điểm của AB: I = ((1+3)/2, (2+4)/2, (3+1)/2) = (2, 3, 2).線分（せんぶん） AB の中点（ちゅうてん）である中心（ちゅうしん） I の座標（ざひょう）を計算（けいさん）します：I = ((1+3)/2, (2+4)/2, (3+1)/2) = (2, 3, 2)。
  2. Tính bán kính r là khoảng cách từ I đến A: \(r^{2} = (1 - 2)^{2} + (2 - 3)^{2} + (3 - 2)^{2} = (-1)^{2} + (-1)^{2} + 1^{2} = 3\).中心（ちゅうしん） I から点（てん） A までの距離（きょり）の2乗（のり）として半径（はんけい） \(r^{2}\) を計算（けいさん）します：\(r^{2} = (1 - 2)^{2} + (2 - 3)^{2} + (3 - 2)^{2} = 3\)。
  3. Thay I(2, 3, 2) và \(r^{2} = 3\) vào công thức \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}\), ta được \((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 2)^{2} = 3\).公式（こうしき） \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}\) に I(2, 3, 2) と \(r^{2} = 3\) を代入（だいにゅう）すると、\((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 2)^{2} = 3\) となります。
Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB là \((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 2)^{2} = 3\).したがって、線分（せんぶん） AB を直径（ちょっけい）とする球（たま）の方方（ほうぼう）程（ほど）式（しき）は \((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 2)^{2} = 3\) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu có tâm I(1, 0, -2) và bán kính r = 2?座標（ざひょう）空間（くうかん） Oxyz において、中心（ちゅうしん） I(1, 0, -2)、半径（はんけい） r = 2 の球（たま）の方方（ほうぼう）程（ほど）式（しき）として正（ただ）しいものはどれか。

2. Cho hai điểm A(0, 1, 1) và B(2, 1, 3). Mặt cầu nhận đoạn thẳng AB làm đường kính có phương trình là gì?2点（てん） A(0, 1, 1) と B(2, 1, 3) について、線分（せんぶん） AB を直径（ちょっけい）とする球（たま）の方方（ほうぼう）程（ほど）式（しき）はどれか。

3. Mặt phẳng đi qua điểm \(P_{0}\)(1, 2, 0) và nhận vec{n} = (2, -1, 3) làm vectơ pháp tuyến có phương trình vectơ là gì?点（てん） P_0(1, 2, 0) を通（とお）り、法線（ほうせん）ベクトル \(\vec{n}\) = (2, -1, 3) を持（も）つ平面（へいめん）のベクトル方程（ほうてい）式（しき）はどれか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Lập được phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính hoặc hai điểm đầu đường kính.中心（ちゅうしん）と半径（はんけい）、または直径（ちょっけい）の両端（りょうたん）の座標（ざひょう）から球（たま）の方方（ほうぼう）程（ほど）式（しき）を立（た）てられるようにする。
  2. Hiểu phương trình mặt phẳng và phương trình vectơ biểu diễn mặt cầu, mặt phẳng.平面（へいめん）の方方（ほうぼう）程（ほど）式（しき）および球（たま）や平面（へいめん）を表（あらわ）すベクトル方程（ほうてい）式（しき）を理解（りかい）する。
  3. Xác định được đường tròn giao tuyến khi cắt mặt cầu bằng một mặt phẳng.球（たま）を平面（へいめん）で切（き）ったときにできる切り口（きりくち）の円（えん）を理解（りかい）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về mặt cầu và mặt phẳng trong không gian空間（くうかん）における球（たま）と平面（へいめん）の直感（ちょっかん）的（てき）イメージ

Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách đều tâm một khoảng bằng bán kính. Khi cắt mặt cầu bằng một mặt phẳng, giao tuyến nhận được là một đường tròn.

球（たま）とは、空間（くうかん）内（ない）で中心（ちゅうしん）から一定（いってい）の距離（きょり）（半径（はんけい））にある点（てん）の集合（しゅうごう）です。球（たま）を平面（へいめん）で切断（せつだん）すると、その断面（だんめん）は円（えん）になります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 球（たま）の中心（ちゅうしん）Tâm mặt cầu

    Tâm mặt cầu là điểm cố định cách đều mọi điểm thuộc mặt cầu. Tọa độ của tâm thường được ký hiệu là (a, b, c).

    球（たま）の中心（ちゅうしん）とは、球（きゅう）上（じょう）のすべての点（てん）から等（とう）距離（きょり）にある定点（ていてん）です。通常（つうじょう）、その座標（ざひょう）は (a, b, c) と表（あらわ）されます。

  • 球（たま）の半径（はんけい）Bán kính mặt cầu

    Bán kính mặt cầu là khoảng cách không đổi r từ tâm đến bất kỳ điểm nào trên mặt cầu. Độ dài bán kính luôn là một số thực dương.

    球（たま）の半径（はんけい）とは、中心（ちゅうしん）から球（たま）上（うえ）の任意（にんい）の点（てん）までの一定（いってい）の距離（きょり） r です。半径（はんけい）の長（なが）さは常（つね）に正（せい）の実数（じっすう）です。

  • 切り口（きりくち）の円（えん）Đường tròn giao tuyến

    Đường tròn giao tuyến là hình phẳng tạo thành khi cắt mặt cầu bằng một mặt phẳng. Tâm của đường tròn này là hình chiếu của tâm mặt cầu lên mặt phẳng.

    切り口（きりくち）の円（えん）とは、球（たま）を平面（へいめん）で切断（せつだん）したときにできる平面（へいめん）図形（ずけい）です。この円（えん）の中心（ちゅうしん）は、球（たま）の中心（ちゅうしん）から平面（へいめん）に下（お）ろした垂線（すいせん）の足（あし）となります。

  • ベクトル方程（ほうてい）式（しき）Phương trình vectơ

    Phương trình vectơ sử dụng các vectơ vị trí để biểu diễn quan hệ hình học của mặt cầu hoặc mặt phẳng. Ví dụ, điều kiện hai đường kính vuông góc cho ta tích vô hướng bằng 0.

    ベクトル方程（ほうてい）式（しき）は、位置（いち）ベクトルを用（もち）いて球（たま）や平面（へいめん）の図形（ずけい）的（てき）な関係（かんけい）を表（あらわ）します。例（たと）えば、直径（ちょっけい）の両端（りょうたん）を用（もち）いると内積（ないせき）が 0 になる条件（じょうけん）で表（あらわ）せます。

  • 法線（ほうせん）ベクトルVectơ pháp tuyến

    Vectơ pháp tuyến là vectơ khác 0 vuông góc với mặt phẳng. Vectơ này xác định hướng vuông góc của mặt phẳng trong không gian.

    法線（ほうせん）ベクトルとは、平面（へいめん）に垂直（すいちょく）な 0 でないベクトルです。このベクトルにより空間（くうかん）内（ない）での平面（へいめん）の向（む）きが決定（けってい）されます。

  • 平面（へいめん）の方程（ほうてい）式（しき）Phương trình mặt phẳng

    Phương trình mặt phẳng biểu diễn mối liên hệ giữa tọa độ các điểm thuộc mặt phẳng. Khi biết điểm đi qua và vectơ pháp tuyến, ta thiết lập được phương trình nhờ tích vô hướng bằng 0.

    平面（へいめん）の方方（ほうぼう）程（ほど）式（しき）は、平面（へいめん）上（じょう）の点（てん）の座標（ざひょう）の関係（かんけい）式（しき）です。通過（つうか）点（てん）と法線（ほうせん）ベクトルが分（わ）かれば、内積（ないせき）が 0 であることから導（みちび）けます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 標準（ひょうじゅん）形（けい）の球（たま）の方方（ほうぼう）程（ほど）式（しき）の立（りっ）式（しき）

    Bước 1: Xác định phương trình mặt cầu dạng chính quy

    Khi biết tâm A(a, b, c) và bán kính r, phương trình mặt cầu là \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}\). Thay trực tiếp tọa độ tâm và bán kính vào công thức.

    中心（ちゅうしん） A(a, b, c) と半径（はんけい） r が与（あた）えられたとき、球（たま）の方方（ほうぼう）程（ほど）式（しき）は \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}\) となります。中心（ちゅうしん）座標（ざひょう）と半径（はんけい）を直接（ちょくせつ）代入（だいにゅう）します。

  2. 02
    ステップ2: 直径（ちょっけい）の両端（りょうたん）による球（たま）のベクトル方程（ほうてい）式（しき）の利用（りよう）

    Bước 2: Sử dụng phương trình vectơ cho mặt cầu nhận AB làm đường kính

    Nếu mặt cầu nhận AB làm đường kính, với mọi điểm P trên mặt cầu ta có (vec{p} - vec{a}) . (vec{p} - vec{b}) = 0. Phép nhân tích vô hướng này cho kết quả chính xác phương trình mặt cầu.

    線分（せんぶん） AB を直径（ちょっけい）とする球（たま）上（うえ）の点（てん） P について、(\(\vec{p}\) - \(\vec{a}\)) \(\cdot\) (\(\vec{p}\) - \(\vec{b}\)) = 0 が成立（せいりつ）します。この内積（ないせき）の展開（てんかい）により球（たま）の方方（ほうぼう）程（ほど）式（しき）が得（え）られます。

  3. 03
    ステップ3: 通過（つうか）点（てん）と法線（ほうせん）ベクトルからの平面（へいめん）の方方（ほうぼう）程（ほど）式（しき）の立（りっ）式（しき）

    Bước 3: Lập phương trình mặt phẳng từ điểm và vectơ pháp tuyến

    Mặt phẳng đi qua P_0 và nhận vec{n} làm vectơ pháp tuyến có phương trình vectơ (\(\vec{p}\) - \(\vec{p}_0\)) . vec{n} = 0. Khai triển tích vô hướng này ta thu được phương trình tổng quát của mặt phẳng.

    点（てん） P_0 を通（とお）り法線（ほうせん）ベクトル \(\vec{n}\) を持（も）つ平面（へいめん）は、(\(\vec{p}\) - \(\vec{p}_0\)) \(\cdot\) \(\vec{n}\) = 0 と表（あらわ）されます。内積（ないせき）を展開（てんかい）すると平面（へいめん）の一般（いっぱん）形（けい）が得（え）られます。

  4. 04
    ステップ4: 球（たま）と平面（へいめん）の切り口（きりくち）の円（えん）の解析（かいせき）

    Bước 4: Phân tích đường tròn giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng

    Giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng cắt nhau là một đường tròn. Bán kính đường tròn giao tuyến được tính qua bán kính mặt cầu và khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng.

    球（たま）と交（まじ）わる平面（へいめん）の切り口（きりくち）は円（えん）となります。この円（えん）の半径（はんけい）は、球（たま）の半径（はんけい）と中心（ちゅうしん）から平面（へいめん）までの距離（きょり）を用（もち）いて計算（けいさん）されます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn giữa bán kính r và \(r^{2}\) ở vế phải của phương trình mặt cầu.球（たま）の方方（ほうぼう）程（ほど）式（しき）の右辺（うへん）において、半径（はんけい） r と \(r^{2}\) を混同（こんどう）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Vế phải của phương trình mặt cầu dạng chính quy là bình phương bán kính \(r^{2}\). Nếu bán kính bằng \(\sqrt{3}\) thì vế phải phải ghi là 3.標準（ひょうじゅん）形（けい）の右辺（うへん）は半径（はんけい）の2乗（のり） \(r^{2}\) です。半径（はんけい）が \(\sqrt{3}\) の場合（ばあい）、右辺（うへん）には 3 と記述（きじゅつ）しなければなりません。

Đổi dấu sai tọa độ tâm khi viết phương trình từ dạng \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}\).\((x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}\) から中心（ちゅうしん）座標（ざひょう）を読み取（よみと）る際（さい）に符号（ふごう）を間違（まちが）えること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nếu phương trình là \((x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} = 4\) thì tâm của mặt cầu là (-1, 2, 0) chứ không phải (1, -2, 0).方程（ほうてい）式（しき）が \((x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} = 4\) の場合（ばあい）、中心（ちゅうしん）の座標（ざひょう）は (1, -2, 0) ではなく (-1, 2, 0) です。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Phương trình mặt cầu tâm (a, b, c) bán kính r là \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}\).中心（ちゅうしん） (a, b, c)、半径（はんけい） r の球（たま）の方方（ほうぼう）程（ほど）式（しき）は \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}\) です。
  • Mặt cầu nhận AB làm đường kính có phương trình vectơ là (vec{p} - vec{a}) . (vec{p} - vec{b}) = 0.線分（せんぶん） AB を直径（ちょっけい）とする球（たま）のベクトル方程（ほうてい）式（しき）は (\(\vec{p}\) - \(\vec{a}\)) \(\cdot\) (\(\vec{p}\) - \(\vec{b}\)) = 0 です。
  • Mặt phẳng đi qua P_0 với vectơ pháp tuyến vec{n} có phương trình vectơ (\(\vec{p}\) - \(\vec{p}_0\)) . \(\vec{n}\) = 0.点（てん） P_0 を通（とお）り法線（ほうせん）ベクトル \(\vec{n}\) を持（も）つ平面（へいめん）のベクトル方程（ほうてい）式（しき）は (\(\vec{p}\) - \(\vec{p}_0\)) \(\cdot\) \(\vec{n}\) = 0 です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2

Phương trình mặt cầu tâm A(a, b, c) bán kính r trong hệ tọa độ Oxyz. Khoảng cách từ điểm (x, y, z) đến (a, b, c) luôn bằng r.

座標（ざひょう）空間（くうかん）における中心（ちゅうしん） A(a, b, c)、半径（はんけい） r の球（たま）の方方（ほうぼう）程（ほど）式（しき）。点（てん） (x, y, z) と中心（ちゅうしん）との距離（きょり）が r であることを表（あらわ）します。

(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0

Phương trình vectơ của mặt cầu nhận đoạn thẳng AB làm đường kính. Điểm P nằm trên mặt cầu khi và chỉ khi AP vuông góc với BP.

線分（せんぶん） AB を直径（ちょっけい）とする球（たま）のベクトル方程（ほうてい）式（しき）。点（てん） P が球（たま）上（うえ）にあるとき AP と BP が直交（ちょっこう）することを示（しめ）します。

x = x_0, \quad y = y_0, \quad z = z_0

Tọa độ của một điểm cụ thể trong không gian ba chiều Oxyz. Biểu diễn vị trí cố định của tâm hoặc chân đường vuông góc.

3次元（じげん）空間（くうかん） Oxyz における特定（とくてい）の一（いち）点（てん）の座標（ざひょう）。中心（ちゅうしん）や垂線（すいせん）の足（あし）の固定（こてい）された位置（いち）を示（しめ）します。

(\vec{p} - \vec{p}_0) \cdot \vec{n} = 0

Phương trình vectơ của mặt phẳng đi qua điểm \(P_{0}\) và vuông góc với vectơ pháp tuyến vec{n}. Mọi vectơ nối \(P_{0}\) với P đều vuông góc với vec{n}.

点（てん） P_0 を通（とお）り、法線（ほうせん）ベクトル \(\vec{n}\) に垂直（すいちょく）な平面（へいめん）のベクトル方程（ほうてい）式（しき）。P_0 と P を結（むす）ぶベクトルが \(\vec{n}\) と直交（ちょっこう）します。

EJU 2026 · MATH.14.3

Bài học này giúp bạn nắm vững phương trình mặt cầu và phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ. Bạn sẽ học cách lập phương trình mặt cầu từ tâm, bán kính hoặc đường kính, và xác định giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng.

本課（ほんか）では、空間（くうかん）座標（ざひょう）における球（たま）の方方（ほうぼう）程（ほど）式（しき）と平面（へいめん）の方方（ほうぼう）程（ほど）式（しき）をマスターします。中心（ちゅうしん）と半径（はんけい）、または直径（ちょっけい）の両端（りょうたん）から球（たま）の方方（ほうぼう）程（ほど）式（しき）を導（みちび）き、平面（へいめん）による切り口（きりくち）の円（えん）を理解（りかい）します。

球（たま）の方程（ほうてい）式（しき）
球の中心球の半径切り口の円ベクトル方程式