Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Phương trình vectơ của đường thẳng直線（ちょくせん）のベクトル方程（ほうてい）式（しき）

Công thức公式

\vec{p} = \vec{p_0} + t\vec{d}
\vec{p} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}
(\vec{p} - \vec{p_0}) \cdot \vec{n} = 0
\cos\theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}

Ví dụ例題

Cho điểm A có vectơ vị trí \(\vec{a}\) = (1, 2) và điểm B có vectơ vị trí \(\vec{b}\) = (4, 6). Tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và B, sau đó xác định vectơ vị trí điểm M ứng với t = 2.

位置（いち）ベクトル \(\vec{a}\) = (1, 2) の点（てん）Aと \(\vec{b}\) = (4, 6) の点（てん）Bを通（とお）る直線（ちょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）を求（もと）め、t = 2 に対応（たいおう）する点（てん）Mの位置（いち）ベクトルを求（もと）めよ。

  1. Sử dụng công thức \(\vec{p}\) = (1-t)\(\vec{a}\) + t\(\vec{b}\), ta có \(\vec{p}\) = (1-t)(1, 2) + t(4, 6) = (1 + 3t, 2 + 4t).公式（こうしき） \(\vec{p}\) = (1-t)\(\vec{a}\) + t\(\vec{b}\) より、\(\vec{p}\) = (1-t)(1, 2) + t(4, 6) = (1 + 3t, 2 + 4t) となります。
  2. Thay t = 2 vào biểu thức trên, thu được \(\vec{m}\) = (1 + 3(2), 2 + 4(2)) = (7, 10).t = 2 を代入（だいにゅう）すると、\(\vec{m}\) = (1 + 3(2), 2 + 4(2)) = (7, 10) が得（え）られます。
Phương trình đường thẳng là \(\vec{p}\) = (1+3t, 2+4t) và điểm M ứng với t = 2 có tọa độ (7, 10).直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）は \(\vec{p}\) = (1+3t, 2+4t) であり、t = 2 のときの点（てん）Mの座標（ざひょう）は (7, 10) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho đường thẳng d đi qua điểm A(2, 3) và có vectơ chỉ phương \(\vec{d}\) = (1, -2). Tìm tọa độ của điểm P trên d ứng với tham số t = 3.点（てん）A(2, 3)を通（つう）リ、方向（ほうこう）ベクトル \(\vec{d}\) = (1, -2) を持（も）つ直線（ちょくせん）d上（うえ）の、媒介（ばいかい）変数（へんすう） t = 3 に対応（たいおう）する点（てん）Pの座標（ざひょう）を求（もと）めよ。

2. Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1, 4) và nhận vectơ \(\vec{n}\) = (3, 2) làm vectơ pháp tuyến?点（てん）A(1, 4)を通（とお）り、法線（ほうせん）ベクトル \(\vec{n}\) = (3, 2) を持（も）つ直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）はどれか。

3. Cho hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec{n_1}\) = (1, 0) và \(\vec{n_2}\) = (1, 1). Tính \(\cos\)\(\theta\) với \(\theta\) là góc giữa hai đường thẳng đó.法線（ほうせん）ベクトルがそれぞれ \(\vec{n_1}\) = (1, 0), \(\vec{n_2}\) = (1, 1) である2直線（ちょくせん）のなす角（かく）を \(\theta\) とするとき、\(\cos\)\(\theta\) の値（あたい）を求（もと）めよ。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.2 · MATH.9.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.2 · MATH.9.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững cách biểu diễn đường thẳng qua vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến.方向（ほうこう）ベクトルと法線（ほうせん）ベクトルによる直線（ちょくせん）の表（あらわ）し方（かた）を理解（りかい）する。
  2. Tính góc giữa hai đường thẳng và áp dụng biểu diễn tham số để giải toán.2直線（ちょくせん）のなす角（かく）の計算（けいさん）および媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）の活用（かつよう）法（ほう）を習得（しゅうとく）する。
Trực giác · イメージ

Mô tả đường thẳng bằng hướng và điểm xuất phát始点（してん）と方向（ほうこう）による直線（ちょくせん）の記述（きじゅつ）

Một đường thẳng được xác định hoàn toàn khi biết một điểm nó đi qua và hướng dịch chuyển đại diện bởi vectơ chỉ phương. Tương tự, ta cũng có thể xác định đường thẳng dựa vào hướng vuông góc của vectơ pháp tuyến.

直線（ちょくせん）は、通過（つうか）する1点（てん）と進行（しんこう）方向（ほうこう）を示（しめ）す方向（ほうこう）ベクトルによって一義（いちぎ）的（てき）に定（さだ）まります。また、直交（ちょっこう）する方向（ほうこう）を示（しめ）す法線（ほうせん）ベクトルを用（もち）いても直線（ちょくせん）を表（あらわ）せます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 方向（ほうこう）ベクトルVectơ chỉ phương

    Vectơ khác vectơ không có giá song song hoặc trùng với đường thẳng.

    直線（ちょくせん）と平行（へいこう）または重（かさ）なる、零（れい）ベクトルでないベクトルです。

  • 媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）Biểu diễn tham số

    Cách biểu diễn vectơ vị trí của điểm trên đường thẳng qua một tham số thực t.

    実数（じっすう）媒介（ばいかい）変数（へんすう）tを用（もち）いて直線（ちょくせん）上（じょう）の点（てん）の位置（いち）ベクトルを表（あらわ）す形式（けいしき）です。

  • 法線（ほうせん）ベクトルVectơ pháp tuyến

    Vectơ khác vectơ không vuông góc với đường thẳng.

    直線（ちょくせん）と垂直（すいちょく）に交（まじ）わる、零（れい）ベクトルでないベクトルです。

  • 2直線（ちょくせん）のなす角（かく）Góc giữa hai đường thẳng

    Góc nhọn hoặc góc vuông tạo bởi hai vectơ chỉ phương hoặc hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng.

    2直線（ちょくせん）の方向（ほうこう）ベクトルまたは法線（ほうせん）ベクトルがなす角（かく）のうち、0度（ど）から90度（ど）までの角（かく）です。

  • 角（かど）の二（に）等（とう）分線（ぶんせん）Đường phân giác của góc

    Đường thẳng chia góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau thành hai phần bằng nhau.

    交（まじ）わる2直線（ちょくせん）がなす角（かく）を2等分（とうぶん）する直線（ちょくせん）のことです。

  • 基本（きほん）領域（りょういき）Miền cơ bản

    Tập hợp các điểm biểu diễn bởi kết hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở trong phạm vi tham số nhất định.

    特定（とくてい）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）範囲（はんい）で基本（きほん）ベクトルの線形（せんけい）結合（けつごう）により表（あらわ）される点（てん）の集合（しゅうごう）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：方向（ほうこう）ベクトルによる媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）

    Bước 1: Phương trình dạng tham số qua vectơ chỉ phương

    Đường thẳng đi qua điểm \(A (p_{0})\) và có vectơ chỉ phương d được biểu diễn qua phương trình \(p = p_{0} + t\) d. Thay đổi tham số t giúp ta quét qua mọi điểm trên đường thẳng.

    点（てん）\(A (p_{0})\)を通（とお）り方向（ほうこう）ベクトルdを持（も）つ直線（ちょくせん）は \(p = p_{0} + t\) d と表（あらわ）されます。媒介（ばいかい）変数（へんすう）tを動（うご）かすことで直線（ちょくせん）上（じょう）のすべての点（てん）を表現（ひょうげん）できます。

  2. 02
    ステップ2：異（こと）なる2点（てん）を通（とお）る直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）

    Bước 2: Phương trình đi qua hai điểm phân biệt

    Đường thẳng đi qua hai điểm A(a) và B(b) có dạng p = (1-t)a + tb. Khi t chạy trong đoạn từ 0 đến 1, điểm P biểu diễn đoạn thẳng AB.

    2点（てん）A(a), B(b)を通（とお）る直線（ちょくせん）は p = (1-t)a + tb と表（あらわ）されます。tが0から1まで動（うご）くとき、点（てん）Pは線分（せんぶん）AB上（うえ）の点（てん）を示（しめ）します。

  3. 03
    ステップ3：法線（ほうせん）ベクトルによる直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）

    Bước 3: Phương trình dạng vectơ pháp tuyến

    Nếu đường thẳng vuông góc với vectơ n và đi qua điểm A(p_0), tích vô hướng (p - p_0) \(\cdot\) n = 0 là điều kiện cơ bản để xác định phương trình.

    直線（ちょくせん）が法線（ほうせん）ベクトルnに垂直（すいちょく）で点（てん）A(p_0)を通（とお）るとき、内積（ないせき） (p - p_0) \(\cdot\) n = 0 が成立（せいりつ）します。

  4. 04
    ステップ4：2直線（ちょくせん）のなす角（かく）の計算（けいさん）

    Bước 4: Tính góc giữa hai đường thẳng

    Góc theta giữa hai đường thẳng được tính qua công thức cos theta = |n_1 \(\cdot\) n_2| / (|n_1||n_2|). Giá trị tuyệt đối ở tử số đảm bảo cos theta không âm tương ứng với góc nhọn.

    2直線（ちょくせん）のなす角（かく）thetaは cos theta = |n_1 \(\cdot\) n_2| / (|n_1||n_2|) で計算（けいさん）されます。分子（ぶんし）に絶対（ぜったい）値（ち）をつけることで鋭角（えいかく）のコサインが得（え）られます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên rằng t là số thực tùy ý và nhầm rằng t chỉ nhận giá trị từ 0 đến 1.tがすべての実数（じっすう）をとり得（え）ることを忘（わす）れ、0から1の範囲（はんい）のみと誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi t nhận giá trị từ 0 đến 1, \(\vec{p}\) chỉ biểu diễn đoạn thẳng AB. Để biểu diễn toàn bộ đường thẳng AB, t phải là số thực tùy ý.tが0から1のときは線分（せんぶん）ABを表（あらわ）します。直線（ちょくせん）全体（ぜんたい）を表（あらわ）すにはtは任意（にんい）の実数（じっすう）である必要（ひつよう）があります。

Tính góc giữa hai đường thẳng mà không lấy giá trị tuyệt đối của tích vô hướng, dẫn đến góc tù.内積（ないせき）の絶対（ぜったい）値（ち）をとらずに計算（けいさん）し、2直線（ちょくせん）のなす角（かく）を鈍角（どんかく）としてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Góc giữa hai đường thẳng luôn quy ước là góc không tù (\(0 \le \theta \le 90\) độ), do đó \(\cos \theta\) luôn phải mang giá trị không âm.2直線（ちょくせん）のなす角（かく）は常（つね）に鋭角（えいかく）または直角（ちょっかく）（0度（ど）以上（いじょう）90度（ど）以下（いか））と定義（ていぎ）されるため、コサインは非（ひ）負（ふ）でなければなりません。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Đường thẳng qua điểm \(p_{0}\) có vectơ chỉ phương d biểu diễn qua \(p = p_{0} + t\) d.点（てん）\(p_{0}\)を通（とお）り方向（ほうこう）ベクトルdを持（も）つ直線（ちょくせん）は \(p = p_{0} + t\) d と表（あらわ）されます。
  • Đường thẳng vuông góc với vectơ n đi qua \(p_{0}\) thỏa mãn \((p - p_{0})\) . n = 0.法線（ほうせん）ベクトルnに垂直（すいちょく）で点（てん）\(p_{0}\)を通（とお）る直線（ちょくせん）は \((p - p_{0})\) . n = 0 を満（み）たします。
  • Góc giữa hai đường thẳng được tính bằng cosin góc giữa hai vectơ pháp tuyến hoặc chỉ phương tương ứng.2直線（ちょくせん）のなす角（かく）は対応（たいおう）する法線（ほうせん）または方向（ほうこう）ベクトルのなす角（かく）のコサインで求（もと）められます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\vec{p} = \vec{p_0} + t\vec{d}

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(p_{0}\) có vectơ chỉ phương d.

点（てん）\(p_{0}\)を通（とお）り方向（ほうこう）ベクトルdを持（も）つ直線（ちょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）です。

\vec{p} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm có vectơ vị trí a và b.

位置（いち）ベクトルaおよびbの2点（てん）を通（とお）る直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）です。

(\vec{p} - \vec{p_0}) \cdot \vec{n} = 0

Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(p_{0}\) và nhận n làm vectơ pháp tuyến.

点（てん）\(p_{0}\)を通（とお）り法線（ほうせん）ベクトルnを持（も）つ直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）です。

\cos\theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}

Công thức tính cosin của góc giữa hai đường thẳng qua hai vectơ pháp tuyến \(n_{1}\) và \(n_{2}\).

2つの法線（ほうせん）ベクトル\(n_{1}\), \(n_{2}\)を用（もち）いた2直線（ちょくせん）のなす角（かく）のコサイン公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.14.2 · MATH.9.3

Bài học hướng dẫn lập phương trình vectơ của đường thẳng qua vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến. Học sinh sẽ áp dụng biểu diễn tham số và tính góc giữa hai đường thẳng trong bài thi EJU.

本課（ほんか）では、方向（ほうこう）ベクトルや法線（ほうせん）ベクトルを用（もち）いた直線（ちょくせん）のベクトル方程（ほうてい）式（しき）の表（あらわ）し方（かた）を学（まな）びます。媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）や2直線（ちょくせん）のなす角（かく）の計算（けいさん）をEJU対策（たいさく）として習得（しゅうとく）します。

直線（ちょくせん）のベクトル方程（ほうてい）式（しき）
方向ベクトル媒介変数表示法線ベクトル2直線のなす角