Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Phương trình vectơ của đường tròn円（えん）のベクトル方程（ほうてい）式（しき）

Công thức公式

|\vec{p} - \vec{c}| = r
(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0
\vec{a} \cdot \vec{p} = r^2
\vec{ON} = k\vec{OM}

Ví dụ例題

Cho điểm A(3, 4) nằm trên đường tròn tâm O(0,0) bán kính r = 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại A và kiểm tra điểm P(5, 0) có thuộc tiếp tuyến này không.

原点（げんてん）O(0,0)中心（ちゅうしん）・半径（はんけい）r = 5の円上（えんじょう）の点（てん）A(3, 4)における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）め、点（てん）P(5, 0)がこの接線（せっせん）上（じょう）にあるか判定（はんてい）せよ。

  1. Sử dụng công thức tiếp tuyến \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{p}\) = r^2 với \(\vec{a}\) = (3, 4) và r^2 = 25, ta được 3x + 4y = 25.接線（せっせん）の公式（こうしき） \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{p}\) = r^2 に \(\vec{a}\) = (3, 4) および r^2 = 25 を代入（だいにゅう）すると 3x + 4y = 25 となります。
  2. Thay tọa độ điểm P(5, 0) vào phương trình thu được 3(5) + 4(0) = 15 khác 25, do đó điểm P không thuộc tiếp tuyến.点（てん）P(5, 0)の座標（ざひょう）を代入（だいにゅう）すると 3(5) + 4(0) = 15 となり25に等（ひと）しくないため、点（てん）Pは接線（せっせん）上（じょう）にありません。
Phương trình tiếp tuyến là 3x + 4y = 25 và điểm P(5, 0) không nằm trên tiếp tuyến này.接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）は 3x + 4y = 25 であり、点（てん）P(5, 0)はこの接線（せっせん）上（じょう）に含（ふく）まれません。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Phương trình vectơ nào sau đây biểu diễn đường tròn tâm C(1, 2) bán kính r = 3?中心（ちゅうしん）C(1, 2)・半径（はんけい） r = 3 の円（えん）を表（あらわ）すベクトル方程（ほうてい）式（しき）はどれか。

2. Cho điểm A(2, 0) và điểm B(0, 4). Phương trình vectơ (\(\vec{p}\) - \(\vec{a}\)) \(\cdot\) (\(\vec{p}\) - \(\vec{b}\)) = 0 biểu diễn đường tròn nào?点（てん）A(2, 0), 点（てん）B(0, 4)に対（たい）し、ベクトル方程（ほうてい）式（しき） (\(\vec{p}\) - \(\vec{a}\)) \(\cdot\) (\(\vec{p}\) - \(\vec{b}\)) = 0 はどのような円（えん）を表（あらわ）すか。

3. Cho đường tròn tâm O bán kính r = 2. Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(\(\sqrt{3}\), 1) trên đường tròn là gì?原点（げんてん）中心（ちゅうしん）・半径（はんけい） r = 2 の円上（えんじょう）の点（てん）A(\(\sqrt{3}\), 1)における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）はどれか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.2 · MATH.9.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 3 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.2 · MATH.9.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）3区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Biết cách viết phương trình vectơ của đường tròn theo tâm, bán kính hoặc theo đường kính.中心（ちゅうしん）・半径（はんけい）または直径（ちょっけい）に基（もと）づく円（えん）のベクトル方程（ほうてい）式（しき）の表（あらわ）し方（かた）を理解（りかい）する。
  2. Vận dụng phương trình tiếp tuyến và điều kiện thẳng hàng/song song để giải toán hình học vectơ.円（えん）の接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）や共（きょう）線（せん）・平行（へいこう）条件（じょうけん）をベクトル問題（もんだい）に応用（おうよう）できる。
Trực giác · イメージ

Đường tròn định nghĩa qua khoảng cách và góc vuông距離（きょり）と直角（ちょっかく）による円（えん）の定義（ていぎ）

Đường tròn là tập hợp các điểm cách đều tâm một khoảng bằng bán kính r, thể hiện qua độ dài |p - c| = r. Ngoài ra, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn luôn là góc vuông, dẫn đến tích vô hướng bằng 0.

円（えん）は中心（ちゅうしん）からの距離（きょり）が一定（いってい）値（ち）rである点（てん）の集合（しゅうごう）であり、|p - c| = r と表（あらわ）されます。また、半円（はんえん）の円周（えんしゅう）角（かく）が直角（ちょっかく）であることから、内積（ないせき）が0という性質（せいしつ）でも表（あらわ）せます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 円（えん）のベクトル方程（ほうてい）式（しき）Phương trình vectơ của đường tròn

    Phương trình biểu diễn tập hợp các điểm thuộc đường tròn dưới dạng quan hệ vectơ vị trí.

    円上（えんじょう）の点（てん）の集合（しゅうごう）を位置（いち）ベクトルの関係（かんけい）式（しき）として表（あらわ）した方程（ほうてい）式（しき）です。

  • 円（えん）の接線（せっせん）Tiếp tuyến của đường tròn

    Đường thẳng chỉ tiếp xúc với đường tròn tại một điểm duy nhất và vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.

    円（えん）と1点（てん）のみを共有（きょうゆう）し、接点（せってん）における半径（はんけい）と直交（ちょっこう）する直線（ちょくせん）です。

  • 共（きょう）線（せん）条件（じょうけん）Điều kiện thẳng hàng

    Điều kiện để ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng, biểu diễn qua vectơ ON = k OM.

    3点（てん）が同一（どういつ）直線（ちょくせん）上（じょう）にあるための条件（じょうけん）で、ベクトル ON = k OM と表（あらわ）されます。

  • 平行（へいこう）条件（じょうけん）Điều kiện song song

    Điều kiện để hai vectơ có cùng phương (giá song song hoặc trùng nhau), tồn tại số k khác 0 sao cho u = k v.

    2つのベクトルが平行（へいこう）である条件（じょうけん）で、実数（じっすう）kを用（もち）いて u = k v と表（あらわ）されます。

  • 1次（つぎ）独立（どくりつ）Độc lập tuyến tính

    Tính chất hai vectơ không cùng phương trong mặt phẳng, giúp biểu diễn duy nhất mọi vectơ khác.

    平面（へいめん）上（じょう）で2つのベクトルが互（たが）いに平行（へいこう）でない性質（せいしつ）で、任意（にんい）のベクトルが一義（いちぎ）的（てき）に表（あらわ）せます。

  • 位置（いち）ベクトルVectơ vị trí

    Vectơ nối từ gốc tọa độ O cố định đến một điểm P trong mặt phẳng.

    固定（こてい）された原点（げんてん）Oから点（てん）Pへ向（む）かうベクトルのことです。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：中心（ちゅうしん）C・半径（はんけい）rの円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）

    Bước 1: Phương trình đường tròn tâm C bán kính r

    Tập hợp các điểm P(p) cách tâm C(c) một khoảng r thỏa mãn |p - c| = r. Bình phương hai vế ta được |p - c|^2 = r^2.

    中心（ちゅうしん）C(c)からの距離（きょり）がrである点（てん）P(p)の集合（しゅうごう）は |p - c| = r と表（あらわ）されます。両辺（りょうへん）を2乗（のり）すると |p - c|^2 = r^2 となります。

  2. 02
    ステップ2：線分（せんぶん）ABを直径（ちょっけい）とする円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）

    Bước 2: Phương trình đường tròn đường kính AB

    Với mọi điểm P trên đường tròn đường kính AB, vectơ AP và BP vuông góc với nhau nên tích vô hướng (p - a) \(\cdot\) (p - b) = 0.

    線分（せんぶん）ABを直径（ちょっけい）とする円上（えんじょう）の点（てん）Pに対（たい）し、ベクトルAPとBPは直交（ちょっこう）するため内積（ないせき） (p - a) \(\cdot\) (p - b) = 0 が成立（せいりつ）します。

  3. 03
    ステップ3：原点（げんてん）中心（ちゅうしん）の円（えん）の接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）

    Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm O

    Với đường tròn tâm O bán kính r, tiếp tuyến tại điểm A(a) trên đường tròn thỏa mãn điều kiện bán kính OA vuông góc với tiếp tuyến, cho công thức a \(\cdot\) p = r^2.

    原点（げんてん）中心（ちゅうしん）・半径（はんけい）rの円上（えんじょう）の点（てん）A(a)における接線（せっせん）は、半径（はんけい）OAと接線（せっせん）が直交（ちょっこう）することから a \(\cdot\) p = r^2 と表（あらわ）されます。

  4. 04
    ステップ4：ベクトルの共（きょう）線（せん）条件（じょうけん）・平行（へいこう）条件（じょうけん）

    Bước 4: Điều kiện thẳng hàng và song song qua vectơ

    Ba điểm O, M, N thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho ON = k OM. Đây là công thức cơ bản áp dụng trong các bài toán giao điểm và quỹ tích.

    3点（てん）O, M, Nが共（きょう）線（せん）である条件（じょうけん）は ON = k OM となる実数（じっすう）kが存在（そんざい）することです。交点（こうてん）や軌跡（きせき）の calculation で頻出（ひんしゅつ）の公式（こうしき）です。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Áp dụng công thức \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{p}\) = r^2 cho đường tròn có tâm không phải gốc tọa độ O.原点（げんてん）以外（いがい）の中心（ちゅうしん）を持（も）つ円（えん）に対（たい）して \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{p}\) = r^2 の公式（こうしき）をそのまま適用（てきよう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Công thức \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{p}\) = r^2 chỉ đúng cho đường tròn tâm O. Nếu tâm là C(c), phương trình tiếp tuyến tại A(a) là (\(\vec{a}\) - \(\vec{c}\)) \(\cdot\) (\(\vec{p}\) - \(\vec{c}\)) = r^2.公式（こうしき） \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{p}\) = r^2 は原点（げんてん）中心（ちゅうしん）の円（えん）のみに適用（てきよう）できます。中心（ちゅうしん）がC(c)の場合（ばあい）は (\(\vec{a}\) - \(\vec{c}\)) \(\cdot\) (\(\vec{p}\) - \(\vec{c}\)) = r^2 となります。

Nhầm lẫn giữa phương trình đường tròn |\(\vec{p}\) - \(\vec{c}\)| = r và phương trình hình tròn |\(\vec{p}\) - \(\vec{c}\)| \(\le\) r.円周（えんしゅう）を表（あらわ）す |\(\vec{p}\) - \(\vec{c}\)| = r と円（えん）の内部（ないぶ）を含（ふく）む領域（りょういき） |\(\vec{p}\) - \(\vec{c}\)| \(\le\) r を混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Dấu bằng '=' biểu diễn biên đường tròn (tập hợp các điểm cách tâm đúng r), còn dấu '<=' biểu diễn hình tròn (bao gồm cả miền trong).等号（とうごう） '=' は円周（えんしゅう）そのものを表（あらわ）し、'<=' は内部（ないぶ）を含（ふく）む円（えん）領域（りょういき）を表（あらわ）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Đường tròn tâm C bán kính r có phương trình vectơ là |p - c| = r.中心（ちゅうしん）C・半径（はんけい）rの円（えん）のベクトル方程（ほうてい）式（しき）は |p - c| = r です。
  • Đường tròn đường kính AB có phương trình tích vô hướng (p - a) . (p - b) = 0.線分（せんぶん）ABを直径（ちょっけい）とする円（えん）は内積（ないせき）形式（けいしき） (p - a) . (p - b) = 0 で表（あらわ）されます。
  • Tiếp tuyến tại điểm A(a) của đường tròn tâm O bán kính r có phương trình a . \(p = r^{2}\).原点（げんてん）中心（ちゅうしん）・半径（はんけい）rの円上（えんじょう）の点（てん）A(a)における接線（せっせん）は a . \(p = r^{2}\) です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

|\vec{p} - \vec{c}| = r

Phương trình vectơ của đường tròn tâm C(c) bán kính r.

中心（ちゅうしん）C(c)・半径（はんけい）rの円（えん）のベクトル方程（ほうてい）式（しき）です。

(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0

Phương trình vectơ của đường tròn nhận đoạn thẳng AB làm đường kính.

線分（せんぶん）ABを直径（ちょっけい）とする円（えん）のベクトル方程（ほうてい）式（しき）です。

\vec{a} \cdot \vec{p} = r^2

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(a) của đường tròn tâm O bán kính r.

原点（げんてん）中心（ちゅうしん）・半径（はんけい）rの円上（えんじょう）の点（てん）A(a)における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）です。

\vec{ON} = k\vec{OM}

Biểu thức biểu diễn điều kiện ba điểm O, M, N thẳng hàng.

3点（てん）O, M, Nが共（きょう）線（せん）（同一（どういつ）直線（ちょくせん）上（じょう））にあるための条件（じょうけん）式（しき）です。

EJU 2026 · MATH.14.2 · MATH.9.2

Bài học trình bày cách thiết lập phương trình vectơ của đường tròn tâm C bán kính r và đường tròn đường kính AB. Học sinh cũng sẽ học điều kiện thẳng hàng, song song và phương trình tiếp tuyến của đường tròn.

本課（ほんか）では、中心（ちゅうしん）C・半径（はんけい）rの円（えん）および線分（せんぶん）ABを直径（ちょっけい）とする円（えん）のベクトル方程（ほうてい）式（しき）を学（まな）びます。さらに、共（きょう）線（せん）条件（じょうけん）・平行（へいこう）条件（じょうけん）や円（えん）の接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）についても習得（しゅうとく）します。

円（えん）のベクトル方程（ほうてい）式（しき）
円のベクトル方程式円の接線共線条件平行条件