Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Sự trùng nhau của các điểm点（てん）の一致（いっち）

Công thức公式

\vec{l} = \frac{\vec{e}+\vec{g}}{2} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{2}
\vec{OL} = \vec{OM} = \vec{ON}
\vec{BP} = k\vec{BQ}
a\vec{PA} + b\vec{PB} + c\vec{PC} = \vec{0}

Ví dụ例題

Trong ví dụ này dùng hệ ký hiệu riêng, khác công thức tứ giác: \(\vec a=\vec{OA},\vec b=\vec{OB},\vec c=\vec{OC}\) là các vectơ vị trí đầy đủ của ba đỉnh. Cho P thỏa \(\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}=\vec0\) và L thỏa \(\vec{OL}=(\vec a+\vec b+\vec c)/3\). Chứng minh P trùng L.

この例（れい）では四角形（しかくけい）の公式（こうしき）とは別（べつ）に、\(\vec a=\vec{OA},\vec b=\vec{OB},\vec c=\vec{OC}\) と頂点（ちょうてん）の位置（いち）ベクトルを直接（ちょくせつ）表（あらわ）す。三角形（さんかくけい）ABCで \(\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}=\vec0\) を満（み）たす点（てん）Pと、\(\vec{OL}=(\vec a+\vec b+\vec c)/3\) を満（み）たす点（てん）Lが一致（いっち）することを示（しめ）せ。

  1. Biến đổi \(\vec{PA}\) + \(\vec{PB}\) + \(\vec{PC}\) = \(\vec{0}\) theo vector vị trí gốc O: (\(\vec{a}\) - \(\vec{OP}\)) + (\(\vec{b}\) - \(\vec{OP}\)) + (\(\vec{c}\) - \(\vec{OP}\)) = \(\vec{0}\).\(\vec{PA}\) + \(\vec{PB}\) + \(\vec{PC}\) = \(\vec{0}\) を原点（げんてん）Oの位置（いち）ベクトルで表（あらわ）す: (\(\vec{a}\) - \(\vec{OP}\)) + (\(\vec{b}\) - \(\vec{OP}\)) + (\(\vec{c}\) - \(\vec{OP}\)) = \(\vec{0}\)。
  2. Rút gọn đẳng thức ta được \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) + \(\vec{c}\) - 3\(\vec{OP}\) = \(\vec{0}\), suy ra \(\vec{OP}\) = \(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\).等式（とうしき）を整理（せいり）すると \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) + \(\vec{c}\) - 3\(\vec{OP}\) = \(\vec{0}\) となり、\(\vec{OP}\) = \(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\) を得（う）る。
  3. So sánh với \(\vec{OL}\) = \(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\), ta có \(\vec{OP}\) = \(\vec{OL}\).\(\vec{OL}\) = \(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\) と比較（ひかく）すると、\(\vec{OP}\) = \(\vec{OL}\) となる。
Vì \(\vec{OP}\) = \(\vec{OL}\) nên điểm P trùng với điểm L.\(\vec{OP}\) = \(\vec{OL}\) であるため、点（てん）Pは点（てん）Lと一致（いっち）する。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Đâu là điều kiện cần và đủ để hai điểm L và M trùng nhau?2点（てん）LとMが一致（いっち）するための必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）はどれか。

2. Nếu ba điểm B, P, Q thỏa mãn \(\vec{BP}\) = k\(\vec{BQ}\) với k \(\neq\) 0, kết luận nào sau đây là đúng?3点（てん）B, P, Qが k \(\neq\) 0 のとき \(\vec{BP}\) = k\(\vec{BQ}\) を満（み）たす場合（ばあい）、正（ただ）しい結論（けつろん）はどれか。

3. Trong tam giác ABC, nếu điểm P thỏa mãn \(\vec{PA}\) + \(\vec{PB}\) + \(\vec{PC}\) = \(\vec{0}\), vector vị trí \(\vec{p}\) của P theo \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) là:三角形（さんかくけい）ABCにおいて、点（てん）Pが \(\vec{PA}\) + \(\vec{PB}\) + \(\vec{PC}\) = \(\vec{0}\) を満（み）たすとき、\(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) によるPの位置（いち）ベクトル \(\vec{p}\) はどれか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 3 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）3区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Chứng minh hai điểm trùng nhau bằng cách chứng minh vector vị trí của chúng bằng nhau.位置（いち）ベクトルが等（ひと）しいことを示（しめ）して2点（てん）が一致（いっち）することを証明（しょうめい）する。
  2. Sử dụng điều kiện thẳng hàng \(\vec{BP}\) = k\(\vec{BQ}\) để xác định vị trí điểm P.共（きょう）線（せん）条件（じょうけん） \(\vec{BP}\) = k\(\vec{BQ}\) を用（もち）いて点（てん）Pの位置（いち）を特定（とくてい）する。
  3. Phân tích đẳng thức a\(\vec{PA}\) + b\(\vec{PB}\) + c\(\vec{PC}\) = \(\vec{0}\) để suy ra vị trí của điểm và tỷ số diện tích.等式（とうしき） a\(\vec{PA}\) + b\(\vec{PB}\) + c\(\vec{PC}\) = \(\vec{0}\) を解析（かいせき）して点（てん）の位置（いち）と面積（めんせき）比（ひ）を導（みちび）く。
Trực giác · イメージ

Gốc tọa độ chung và tọa độ điểm duy nhất共通（きょうつう）の原点（げんてん）と唯一（ゆいいつ）の位置（いち）表現（ひょうげん）

Nếu hai điểm được xác định bởi hai con đường khác nhau nhưng có cùng vector vị trí so với gốc O, chúng phải là cùng một điểm. Nguyên lý này biến các bài toán chứng minh đồng quy hay trùng nhau thành phép biến đổi đại số vector đơn giản.

異（こと）なる経路（けいろ）で定義（ていぎ）された2点（てん）であっても、原点（げんてん）Oからの位置（いち）ベクトルが等（ひと）しければ、それらは同一（どういつ）の点（てん）です。この原理（げんり）により、共（きょう）点（てん）や一致（いっち）の証明（しょうめい）問題（もんだい）がシンプルなベクトル代数（だいすう）計算（けいさん）に変（か）わります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 点（てん）の一致（いっち）Sự trùng nhau của các điểm

    Trạng thái hai điểm L và M chiếm cùng một vị trí trong không gian, tương đương với đẳng thức vector vị trí \(\vec{OL}\) = \(\vec{OM}\).

    2点（てん）LとMが空間（くうかん）内（ない）の同（おな）じ位置（いち）を占（し）める状態（じょうたい）であり、位置（いち）ベクトルの等式（とうしき） \(\vec{OL}\) = \(\vec{OM}\) と同値（どうち）です。

  • 中点（ちゅうてん）の位置（いち）ベクトルVector vị trí của trung điểm

    Vector biểu diễn trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm, được tính bằng trung bình cộng hai vector vị trí.

    2点（てん）を結（むす）ぶ線分（せんぶん）の中点（ちゅうてん）を表（あらわ）すベクトルで、両（りょう）点（てん）の位置（いち）ベクトルの算術（さんじゅつ）平均（へいきん）として計算（けいさん）されます。

  • 共（きょう）線（せん）条件（じょうけん）Điều kiện thẳng hàng

    Điều kiện để ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng, biểu diễn qua đẳng thức vector bội số \(\vec{BP}\) = k\(\vec{BQ}\).

    3点（てん）が同一（どういつ）直線（ちょくせん）上（じょう）にあるための条件（じょうけん）で、スカラー倍（ばい）のベクトル等式（とうしき） \(\vec{BP}\) = k\(\vec{BQ}\) で表（あらわ）されます。

  • 同一（どういつ）直線（ちょくせん）上（じょう）Trực thuộc cùng một đường thẳng

    Trạng thái của các điểm cùng thuộc một đường thẳng, trong đó một vector này bằng k lần vector kia.

    複数（ふくすう）の点（てん）が1つの直線（ちょくせん）上（じょう）に存在（そんざい）する状態（じょうたい）であり、一方（いっぽう）のベクトルが他方（たほう）のk倍（ばい）として表（あらわ）されます。

  • 点（てん）の位置（いち）Vị trí của điểm

    Xác định điểm P trong tam giác thông qua biểu thức kết hợp tuyến tính các vector đỉnh như a\(\vec{PA}\) + b\(\vec{PB}\) + c\(\vec{PC}\) = \(\vec{0}\).

    a\(\vec{PA}\) + b\(\vec{PB}\) + c\(\vec{PC}\) = \(\vec{0}\) のような頂点（ちょうてん）ベクトルの線形（せんけい）結合（けつごう）等式（とうしき）を通（つう）じて三角形（さんかくけい）内（うち）の点（てん）Pの位置（いち）を特定（とくてい）することです。

  • 面積（めんせき）比（ひ）Tỷ số diện tích

    Tỷ lệ diện tích các tam giác nhỏ được chia bởi điểm P, tỉ lệ thuận với các hệ số a, b, c trong đẳng thức vector.

    点（てん）Pによって分割（ぶんかつ）された小（こ）三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）の比率（ひりつ）であり、ベクトル等式（とうしき）の係数（けいすう）a, b, cに比例（ひれい）します。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    問題（もんだい）条件（じょうけん）からの位置（いち）ベクトルの計算（けいさん）

    Tính vector vị trí từ các điều kiện bài toán

    Biểu diễn vector vị trí của các điểm L, M, N theo các vector vị trí cơ bản \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\), \(\vec{d}\).

    基本（きほん）位置（いち）ベクトル \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\), \(\vec{d}\) を用（もち）いて、各点（かくてん）L, M, Nの位置（いち）ベクトルを表（あらわ）します。

  2. 02
    位置（いち）ベクトルの比較（ひかく）による一致（いっち）の結論（けつろん）

    So sánh các vector vị trí để kết luận sự trùng nhau

    Nếu \(\vec{OL}=\vec{OM}=\vec{ON}\) thì L, M, N trùng nhau. Trong công thức tứ giác ở bài này, các đỉnh được ký hiệu A(2\(\vec a\)), B(2\(\vec b\)), C(2\(\vec c\)), D(2\(\vec d\)), nên mẫu số cuối là 2. Nếu dùng một hệ ký hiệu khác trong đó \(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d\) chính là bốn vectơ vị trí đầy đủ của các đỉnh, trung bình tương ứng sẽ là \((\vec a+\vec b+\vec c+\vec d)/4\).

    位置（いち）ベクトルが \(\vec{OL}=\vec{OM}=\vec{ON}\) と一致（いっち）すれば、点（てん）L, M, Nは一致（いっち）する。四角形（しかくけい）の公式（こうしき）では A(2\(\vec a\)),B(2\(\vec b\)),C(2\(\vec c\)),D(2\(\vec d\)) という縮尺（しゅくしゃく）を用（もち）いるため分母（ぶんぼ）は2である。もし \(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d\) 自体（じたい）を4頂点（ちょうてん）の位置（いち）ベクトルとする別（べつ）の記号（きごう）法（ほう）なら、対応（たいおう）する平均（へいきん）は \((\vec a+\vec b+\vec c+\vec d)/4\) となる。

  3. 03
    共（きょう）線（せん）条件（じょうけん）と点（てん）Pの等式（とうしき）の適用（てきよう）

    Áp dụng điều kiện thẳng hàng và đẳng thức điểm P

    Sử dụng \(\vec{BP}\) = k\(\vec{BQ}\) để chứng minh P thuộc BQ. Đối với a\(\vec{PA}\) + b\(\vec{PB}\) + c\(\vec{PC}\) = \(\vec{0}\), biến đổi về gốc A để tìm vị trí P và suy ra tỷ số diện tích các tam giác.

    \(\vec{BP}\) = k\(\vec{BQ}\) を用（もち）いてPがBQ上（うえ）にあることを証明（しょうめい）します。a\(\vec{PA}\) + b\(\vec{PB}\) + c\(\vec{PC}\) = \(\vec{0}\) については、始点（してん）をAに変形（へんけい）してPの位置（いち）と面積（めんせき）比（ひ）を導（みちび）きます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Cho rằng hai điểm trùng nhau chỉ vì độ dài từ gốc O bằng nhau |\(\vec{OL}\)| = |\(\vec{OM}\)|.原点（げんてん）Oからの距離（きょり）が等（ひと）しい |\(\vec{OL}\)| = |\(\vec{OM}\)| というだけで2点（てん）が一致（いっち）すると判断（はんだん）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Hai điểm trùng nhau đòi hỏi cả hướng và độ dài phải giống nhau, tức là đẳng thức vector \(\vec{OL}\) = \(\vec{OM}\).2点（てん）の一致（いっち）には向（む）きと長（なが）さの両方（りょうほう）が等（ひと）しい必要（ひつよう）があり、ベクトル等式（とうしき） \(\vec{OL}\) = \(\vec{OM}\) が必須（ひっす）です。

Quên chuyển các vector về cùng một gốc khi biến đổi đẳng thức a\(\vec{PA}\) + b\(\vec{PB}\) + c\(\vec{PC}\) = \(\vec{0}\).等式（とうしき） a\(\vec{PA}\) + b\(\vec{PB}\) + c\(\vec{PC}\) = \(\vec{0}\) の変形（へんけい）時（じ）に始点（してん）を統一（とういつ）するのを忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn thay \(\vec{PA}\) = \(\vec{a}\) - \(\vec{p}\) để đưa toàn bộ về vector vị trí gốc O hoặc gốc A trước khi rút gọn.整理（せいり）する前（まえ）に、常（つね）に \(\vec{PA}\) = \(\vec{a}\) - \(\vec{p}\) のように置き換（おきか）えて原点（げんてん）Oまたは点（てん）Aに始点（してん）を統一（とういつ）してください。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Sự trùng nhau của hai điểm L và M được chứng minh bằng đẳng thức vector vị trí \(\vec{OL}\) = \(\vec{OM}\).2点（てん）LとMの一致（いっち）は位置（いち）ベクトルの等式（とうしき） \(\vec{OL}\) = \(\vec{OM}\) によって証明（しょうめい）される。
  • Ba điểm B, P, Q thẳng hàng khi và chỉ khi thỏa mãn điều kiện \(\vec{BP}\) = k\(\vec{BQ}\).3点（てん）B, P, Qが同一（どういつ）直線（ちょくせん）上（じょう）にある必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）は \(\vec{BP}\) = k\(\vec{BQ}\) を満（み）たすことである。
  • Đẳng thức a\(\vec{PA}\) + b\(\vec{PB}\) + c\(\vec{PC}\) = \(\vec{0}\) xác định vị trí điểm P và tỷ số diện tích các tam giác tạo bởi P.等式（とうしき） a\(\vec{PA}\) + b\(\vec{PB}\) + c\(\vec{PC}\) = \(\vec{0}\) は点（てん）Pの位置（いち）とPが作成（さくせい）分割（ぶんかつ）三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）比（ひ）を決定（けってい）する。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\vec{l} = \frac{\vec{e}+\vec{g}}{2} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{2}

Theo quy ước riêng của công thức này, đặt A(2\(\vec a\)), B(2\(\vec b\)), C(2\(\vec c\)), D(2\(\vec d\)) đối với gốc O. Nếu E, G là trung điểm AB, CD và L là trung điểm EG thì \(\vec e=\vec a+\vec b\), \(\vec g=\vec c+\vec d\), nên \(\vec l=(\vec e+\vec g)/2=(\vec a+\vec b+\vec c+\vec d)/2\).

原点（げんてん）Oに対（たい）し A(2\(\vec a\)), B(2\(\vec b\)), C(2\(\vec c\)), D(2\(\vec d\)) とおく。辺（へん）AB, CDの中点（ちゅうてん）をE, G、その線分（せんぶん）EGの中点（ちゅうてん）をLとすると、\(\vec e=\vec a+\vec b\)、\(\vec g=\vec c+\vec d\) なので、\(\vec l=(\vec e+\vec g)/2=(\vec a+\vec b+\vec c+\vec d)/2\) である。

\vec{OL} = \vec{OM} = \vec{ON}

Điều kiện để ba điểm L, M, N trùng nhau khi có cùng vector vị trí so với gốc O.

原点（げんてん）Oに対（たい）して同（おな）じ位置（いち）ベクトルを持（も）つとき、3点（てん）L, M, Nが一致（いっち）する条件（じょうけん）。

\vec{BP} = k\vec{BQ}

Điều kiện ba điểm B, P, Q thẳng hàng với k là số thực khác 0.

実数（じっすう）k(k≠0)を用（もち）いて3点（てん）B, P, Qが同一（どういつ）直線（ちょくせん）上（じょう）にある条件（じょうけん）。

a\vec{PA} + b\vec{PB} + c\vec{PC} = \vec{0}

Đẳng thức vector xác định vị trí điểm P trong tam giác ABC và liên quan đến tỷ số diện tích.

三角形（さんかくけい）ABCにおける点（てん）Pの位置（いち）を特定（とくてい）し、面積（めんせき）比（ひ）に関連（かんれん）するベクトル等式（とうしき）。

EJU 2026 · MATH.14.2

Hai điểm trùng nhau khi và chỉ khi vector vị trí của chúng hoàn toàn giống nhau như \(\vec{OL}\) = \(\vec{OM}\). Sử dụng vector vị trí giúp chứng minh sự trùng nhau của trung điểm hoặc điểm giao của các đường thẳng.

2点（てん）が一致（いっち）するための必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）は、\(\vec{OL}\) = \(\vec{OM}\) のように位置（いち）ベクトルが完全（かんぜん）に一致（いっち）することです。位置（いち）ベクトルを使（つか）うことで、中点（ちゅうてん）や交点（こうてん）の一致（いっち）を明快（めいかい）に証明（しょうめい）できます。

点（てん）の一致（いっち）
点の一致中点の位置ベクトル共線条件同一直線上