Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Quá trình ngẫu nhiên và công thức truy hồi確率（かくりつ）過程（かてい）と漸化（ぜんか）式（しき）

Công thức公式

P_{n+1} = \frac{1}{k}(1-P_n)
P_{n+1} - \frac{1}{k+1} = -\frac{1}{k}\left(P_n - \frac{1}{k+1}\right)

Ví dụ例題

Cho quá trình ngẫu nhiên với k = 2 và xác suất ban đầu P_1 = 1. Tìm công thức truy hồi và xác định P_2.

k = 2 かつ初期（しょき）確率（かくりつ） P_1 = 1 である確率（かくりつ）過程（かてい）において、漸化（ぜんか）式（しき）を作成（さくせい）し P_2 を求（もと）めなさい。

  1. Thiết lập công thức truy hồi với k = 2: Thay k = 2 vào công thức truy hồi ta được P_{n+1} = (1/2)(1 - P_n).k = 2 での漸化（ぜんか）式（しき）の作成（さくせい）：k = 2 を漸化（ぜんか）式（しき）に代入（だいにゅう）すると P_{n+1} = (1/2)(1 - P_n) となります。
  2. Tính giá trị P_2 từ P_1: Thay n = 1 và P_1 = 1 vào công thức: P_2 = (1/2)(1 - 1) = 0.P_1 から P_2 の値（あたい）を計算（けいさん）：n = 1 および P_1 = 1 を代入（だいにゅう）すると P_2 = (1/2)(1 - 1) = 0 となります。
  3. Kiểm tra dạng biến đổi cấp số nhân: Với k = 2, 1/(k+1) = 1/3, ta có P_{n+1} - 1/3 = (-1/2)(P_n - 1/3).等比（とうひ）数列（すうれつ）の変形（へんけい）形式（けいしき）の確認（かくにん）：k = 2 より 1/(k+1) = 1/3 となり、P_{n+1} - 1/3 = (-1/2)(P_n - 1/3) が成り立（なりた）ちます。
Công thức truy hồi là P_{n+1} = (1/2)(1 - P_n) và xác suất ở bước hai là P_2 = 0.漸化（ぜんか）式（しき）は P_{n+1} = (1/2)(1 - P_n) であり、第（だい）2段階（だんかい）の確率（かくりつ）は P_2 = 0 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Với k = 3, công thức truy hồi P_{n+1} = (1/3)(1 - P_n) được biến đổi thành dạng cấp số nhân nào?k = 3 のとき、漸化（ぜんか）式（しき） P_{n+1} = (1/3)(1 - P_n) はどの等比（とうひ）数列（すうれつ）の形（かたち）に変形（へんけい）されますか。

2. Cho công thức truy hồi P_{n+1} = (1/2)(1 - P_n). Nếu P_1 = 1/2 thì P_2 bằng bao nhiêu?漸化（ぜんか）式（しき） P_{n+1} = (1/2)(1 - P_n) について、P_1 = 1/2 のとき P_2 はいくらですか。

3. Trong công thức biến đổi P_{n+1} - 1/(k+1) = (-1/k)(P_n - 1/(k+1)), công số của dãy số Q_n = P_n - 1/(k+1) là bao nhiêu?変形（へんけい）公式（こうしき） P_{n+1} - 1/(k+1) = (-1/k)(P_n - 1/(k+1)) において、数列（すうれつ） Q_n = P_n - 1/(k+1) の公比（こうひ）は何（なん）ですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.5.2 · MATH.12.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.5.2 · MATH.12.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Biểu diễn mối quan hệ giữa xác suất ở bước n+1 và bước n dưới dạng công thức truy hồi P_{n+1} = (1/k)(1 - P_n).n+1 段階（だんかい）目（め）と n 段階（だんかい）目（め）の確率（かくりつ）の関係（かんけい）を漸化（ぜんか）式（しき） P_{n+1} = (1/k)(1 - P_n) の形（かたち）で表（あらわ）せること。
  2. Biến đổi công thức truy hồi về dạng P_{n+1} - 1/(k+1) = (-1/k)(P_n - 1/(k+1)) để giải tìm P_n.漸化（ぜんか）式（しき）を P_{n+1} - 1/(k+1) = (-1/k)(P_n - 1/(k+1)) の形（かたち）に変形（へんけい）し、P_n を求（もと）められること。
Trực giác · イメージ

Biểu diễn sự chuyển đổi trạng thái ngẫu nhiên qua các bước bằng công thức truy hồi漸化（ぜんか）式（しき）による各（かく）段階（だんかい）の確率（かくりつ）状態（じょうたい）遷移（せんい）の表現（ひょうげん）

Trong một quá trình ngẫu nhiên diễn ra qua nhiều bước, xác suất ở bước tiếp theo phụ thuộc trực tiếp vào trạng thái ở bước hiện tại. Việc lập công thức truy hồi giúp ta đưa bài toán xác suất phức tạp về bài toán dãy số quen thuộc.

複数（ふくすう）段階（だんかい）で進行（しんこう）する確率（かくりつ）過程（かてい）では、次（つぎ）の段階（だんかい）の確率（かくりつ）は現在（げんざい）の段階（だんかい）の状態（じょうたい）に直接（ちょくせつ）依存（いぞん）します。漸化（ぜんか）式（しき）を立（た）てることで、複雑（ふくざつ）な確率（かくりつ）問題（もんだい）を扱（あつか）い慣（な）れた数列（すうれつ）の問題（もんだい）に帰着（きちゃく）させることができます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 確率（かくりつ）過程（かてい）Quá trình ngẫu nhiên

    Tập hợp các biến ngẫu nhiên biểu diễn sự thay đổi của một hệ thống theo thời gian hoặc qua từng bước thử nghiệm.

    時間（じかん）の経過（けいか）や試行（しこう）の段階（だんかい）に伴（ともな）うシステムの動的（どうてき）な変化（へんか）を表（あらわ）す確率（かくりつ）変数（へんすう）の集（あつ）まりです。

  • 漸化（ぜんか）式（しき）Công thức truy hồi

    Biểu thức đại số thể hiện mối quan hệ giữa số hạng tiếp theo và các số hạng trước đó trong một dãy xác suất.

    確率（かくりつ）の数列（すうれつ）において、ある項（こう）とそれ以前（いぜん）の項（こう）との関係（かんけい）を表（あらわ）す代（だい）数式（すうしき）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    手順（てじゅん）1: n 段階（だんかい）目（め）と n+1 段階（だんかい）目（め）の状態（じょうたい）遷移（せんい）を分析（ぶんせき）する

    Bước 1: Phân tích sự chuyển trạng thái giữa bước n và n+1

    Xác định các trường hợp có thể xảy ra ở bước n+1 dựa trên xác suất P_n và 1 - P_n của bước n.

    n 段階（だんかい）目（め）の確率（かくりつ） P_n および 1 - P_n に基（もと）づいて、n+1 段階（だんかい）目（め）に起（お）こり得（え）る場合（ばあい）を整理（せいり）します。

  2. 02
    手順（てじゅん）2: 漸化（ぜんか）式（しき） P_{n+1} = (1/k)(1 - P_n) を立（りっ）式（しき）する

    Bước 2: Thiết lập công thức truy hồi dạng P_{n+1} = (1/k)(1 - P_n)

    Tổng hợp xác suất từ các trường hợp để lập nên công thức truy hồi liên hệ giữa P_{n+1} và P_n.

    各（かく）場合（ばあい）の確率（かくりつ）を足し合（たしあ）わせて、P_{n+1} と P_n の関係（かんけい）を示（しめ）す漸化（ぜんか）式（しき）を立（た）てます。

  3. 03
    手順（てじゅん）3: 等比（とうひ）数列（すうれつ）の形（かたち）に変形（へんけい）して P_n を求（もと）める

    Bước 3: Biến đổi về dạng cấp số nhân và tìm P_n

    Chuyển công thức về dạng P_{n+1} - 1/(k+1) = (-1/k)(P_n - 1/(k+1)) để giải ra công thức tổng quát P_n theo n.

    P_{n+1} - 1/(k+1) = (-1/k)(P_n - 1/(k+1)) の形（かたち）に変形（へんけい）し、n を用（もち）いて P_n の一般（いっぱん）項（こう）を導出（どうしゅつ）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn hằng số điểm cố định 1/(k+1) thành 1/k khi biến đổi công thức truy hồi.漸化（ぜんか）式（しき）の変形（へんけい）時（じ）に、不（ふ）動点（どうてん）の定数（ていすう） 1/(k+1) を 1/k と誤認（ごにん）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Giải phương trình x = (1/k)(1 - x) để xác định chính xác hằng số x = 1/(k+1).方程（ほうてい）式（しき） x = (1/k)(1 - x) を解（と）くことで、正確（せいかく）な定数（ていすう） x = 1/(k+1) を確認（かくにん）すること。

Tính sai dấu công số (-1/k) của dãy số mới khi biến đổi.変形（へんけい）後（ご）の新（あたら）しい数列（すうれつ）の公比（こうひ） (-1/k) の符号（ふごう）を間違（まちが）えること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Chú ý dấu trừ trước 1/k trong biểu thức biến đổi P_{n+1} - 1/(k+1) = (-1/k)(P_n - 1/(k+1)).変形（へんけい）表示（ひょうじ） P_{n+1} - 1/(k+1) = (-1/k)(P_n - 1/(k+1)) における 1/k の前（まえ）の負（ふ）符号（ふごう）に注意（ちゅうい）すること。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Quá trình ngẫu nhiên biểu diễn sự thay đổi xác suất qua các bước thử nghiệm.確率（かくりつ）過程（かてい）は試行（しこう）の各（かく）段階（だんかい）における確率（かくりつ）の推移（すいい）を表現（ひょうげん）する。
  • Công thức truy hồi P_{n+1} = (1/k)(1 - P_n) phản ánh mối liên hệ xác suất giữa bước n và n+1.漸化（ぜんか）式（しき） P_{n+1} = (1/k)(1 - P_n) は n 段階（だんかい）目（め）と n+1 段階（だんかい）目（め）の確率（かくりつ）関係（かんけい）を反映（はんえい）する。
  • Biến đổi về dạng P_{n+1} - 1/(k+1) = (-1/k)(P_n - 1/(k+1)) giúp đưa bài toán về dãy cấp số nhân với công số -1/k.P_{n+1} - 1/(k+1) = (-1/k)(P_n - 1/(k+1)) への変形（へんけい）により、公比（こうひ） -1/k の等比（とうひ）数列（すうれつ）として解（と）くことができる。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

P_{n+1} = \frac{1}{k}(1-P_n)

Công thức truy hồi cơ bản biểu diễn xác suất ở bước n+1 theo xác suất ở bước n trong quá trình ngẫu nhiên.

確率（かくりつ）過程（かてい）において n+1 段階（だんかい）目（め）の確率（かくりつ）を n 段階（だんかい）目（め）の確率（かくりつ）で表（あらわ）す基本（きほん）的（てき）な漸化（ぜんか）式（しき）です。

P_{n+1} - \frac{1}{k+1} = -\frac{1}{k}\left(P_n - \frac{1}{k+1}\right)

Dạng biến đổi điểm cố định giúp đưa công thức truy hồi về dãy số cấp số nhân để giải tìm P_n.

漸化（ぜんか）式（しき）を等比（とうひ）数列（すうれつ）に帰着（きちゃく）させて P_n を解（と）くための不（ふ）動点（どうてん）を用（もち）いた変形（へんけい）公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.5.2 · MATH.12.2

Bài học giới thiệu cách thiết lập công thức truy hồi cho xác suất trong một quá trình ngẫu nhiên theo thời gian hoặc số bước. Bạn sẽ học cách biến đổi công thức truy hồi về dạng cấp số nhân để tìm công thức tổng quát của xác suất P_n.

本課（ほんか）では、時間（じかん）や段階（だんかい）に伴（ともな）う確率（かくりつ）過程（かてい）において確率（かくりつ）の漸化（ぜんか）式（しき）を立（た）てる方法（ほうほう）を学（まな）びます。漸化（ぜんか）式（しき）を等比（とうひ）数列（すうれつ）の形（かたち）に変形（へんけい）し、確率（かくりつ） P_n の一般（いっぱん）項（こう）を求（もと）める手法（しゅほう）をマスターします。

確率（かくりつ）過程（かてい）と漸化（ぜんか）式（しき）
確率過程漸化式