Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Số phức liên hợp共役（きょうやく）な複素（ふくそ）数（すう）

Công thức公式

\alpha = a+bi \implies \bar{\alpha} = a-bi
\alpha + \bar{\alpha} = 2a
\alpha \bar{\alpha} = a^2 + b^2
\overline{\alpha + \beta} = \bar{\alpha} + \bar{\beta}

Ví dụ例題

Cho \(\alpha = 3 + 2 i\). Tìm \(\bar{\alpha}\), tính \(\alpha + \bar{\alpha}\) và \(\alpha\cdot \bar{\alpha}\).

\(\alpha = 3 + 2 i\) とするとき、\(\bar{\alpha}\) を求（もと）め、\(\alpha + \bar{\alpha}\) および \(\alpha\cdot \bar{\alpha}\) を計算（けいさん）しなさい。

  1. Đổi dấu phần ảo để được \(\bar{\alpha} = 3 - 2 i\).虚部（きょぶ）の符号（ふごう）を反転（はんてん）させて \(\bar{\alpha} = 3 - 2 i\) を得（え）ます。
  2. Tính tổng: \(\alpha + \bar{\alpha} = 2\cdot 3 = 6\).和（わ）を計算（けいさん）します: \(\alpha + \bar{\alpha} = 2\cdot 3 = 6\)。
  3. Tính tích: \(\alpha\cdot \bar{\alpha} = 3^{2} + 2^{2} = 9 + 4 = 13\).積（せき）を計算（けいさん）します: \(\alpha\cdot \bar{\alpha} = 3^{2} + 2^{2} = 9 + 4 = 13\)。
Kết quả \(\bar{\alpha} = 3 - 2 i\), tổng bằng 6 và tích bằng 13.結果（けっか）は \(\bar{\alpha} = 3 - 2 i\)、和（わ）は6、積（せき）は13です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho \(\alpha = 4 - 3 i\). Tính tích \(\alpha\cdot \bar{\alpha}\).\(\alpha = 4 - 3 i\) のとき、積（せき） \(\alpha\cdot \bar{\alpha}\) の値（あたい）を求（もと）めなさい。

2. Tính tổng \(\sqrt{-9} + \sqrt{-16}\).和（わ） \(\sqrt{-9} + \sqrt{-16}\) を計算（けいさん）しなさい。

3. Cho \(\alpha = 1 + 2 i\) và \(\beta = 3 - i\). Tìm \(\bar{\alpha + \beta}\).\(\alpha = 1 + 2 i\)、\(\beta = 3 - i\) のとき、\(\bar{\alpha + \beta}\) を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.8.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.8.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Xác định số phức liên hợp và tính tổng, tích của hai số liên hợp.共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）を特定（とくてい）し、共役（きょうやく）対（たい）の和（わ）と積（せき）を計算（けいさん）できる。
  2. Biểu diễn và tính toán với căn bậc hai của số âm.負（ふ）の数（かず）の平方（へいほう）根（ね）を表現（ひょうげん）し計算（けいさん）できる。
Trực giác · イメージ

Đổi dấu phần ảo và tính chất đối xứng虚部（きょぶ）の符号（ふごう）反転（はんてん）と対称（たいしょう）性（せい）の性質（せいしつ）

Số phức liên hợp thu được bằng cách giữ nguyên phần thực và đổi dấu phần ảo. Tổng và tích của một số phức với số liên hợp của nó luôn là các số thực.

共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）は実部（じつぶ）をそのままにし虚部（きょぶ）の符号（ふごう）を反転（はんてん）させて得（え）られます。複素（ふくそ）数（すう）とその共役（きょうやく）の和（わ）および積（せき）は常（つね）に実数（じっすう）になります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 共役（きょうやく）な複素（ふくそ）数（すう）số phức liên hợp

    Với số phức a + bi, số phức a - bi được gọi là số phức liên hợp của nó.

    複素（ふくそ）数（すう） a + bi に対（たい）して、a - bi をその共役（きょうやく）な複素（ふくそ）数（すう）と呼（よ）びます。

  • 負（ふ）の数（かず）の平方（へいほう）根（ね）căn bậc hai của số âm

    Căn bậc hai của số âm -a (với a > 0) là +-\(\sqrt{a} i\).

    正（せい）の実数（じっすう）aに対（たい）し、負（ふ）の数（かず） -a の平方（へいほう）根（ね）は +-\(\sqrt{a} i\) となります。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）の定義（ていぎ）

    Định nghĩa số phức liên hợp

    Cho \(\alpha = a + bi\), số phức liên hợp \(\bar{\alpha} = a - bi\). Phần thực giữ nguyên còn phần ảo lấy dấu đối.

    \(\alpha = a + bi\) に対（たい）し、共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう） \(\bar{\alpha} = a - bi\) です。実部（じつぶ）は変（か）わらず虚部（きょぶ）のみ符号（ふごう）が反転（はんてん）します。

  2. 02
    共役（きょうやく）の和（わ）と積（せき）の性質（せいしつ）

    Tính chất tổng và tích liên hợp

    Tổng \(\alpha + \bar{\alpha} = 2 a\) và tích \(\alpha\cdot \bar{\alpha} = a^{2} + b^{2}\) đều là số thực.

    和（わ） \(\alpha + \bar{\alpha} = 2 a\) および積（せき） \(\alpha\cdot \bar{\alpha} = a^{2} + b^{2}\) は共（とも）に実数（じっすう）となります。

  3. 03
    負（ふ）の数（かず）の平方（へいほう）根（ね）の計算（けいさん）

    Tính căn bậc hai của số âm

    Biểu diễn \(\sqrt{-a} = \sqrt{a} i\) với a > 0. Khi nhân hai căn số âm, đổi về i trước khi nhân.

    a > 0 のとき \(\sqrt{-a} = \sqrt{a} i\) と表（あらわ）します。負（ふ）の数（かず）の根（ね）の乗法（じょうほう）では先（さき）にiを用（もち）いて表（あらわ）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Đổi dấu cả phần thực khi tìm số phức liên hợp.共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）を求（もと）める際（さい）に実部（じつぶ）の符号（ふごう）まで反転（はんてん）させてしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Chỉ đổi dấu duy nhất phần ảo b thành -b.虚部（きょぶ）bの符号（ふごう）のみを-bに反転（はんてん）させてください。

Áp dụng \(\sqrt{-a}\cdot \sqrt{-b} = \sqrt{ab}\) trực tiếp dẫn đến sai dấu.\(\sqrt{-a}\cdot \sqrt{-b} = \sqrt{ab}\) を直接（ちょくせつ）適用（てきよう）して符号（ふごう）を誤（あやま）る。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Phải đưa về i trước: \(\sqrt{a} i\cdot \sqrt{b} i = -\sqrt{ab}\).最初（さいしょ）にiを用（もち）いて \(\sqrt{a} i\cdot \sqrt{b} i = -\sqrt{ab}\) と変形（へんけい）してください。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Số phức liên hợp đổi dấu phần ảo và giữ nguyên phần thực.共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）は虚部（きょぶ）の符号（ふごう）を反転（はんてん）させ実部（じつぶ）を維持（いじ）します。
  • Tổng và tích của cặp số liên hợp luôn là số thực.共役（きょうやく）対（たい）の和（わ）と積（せき）は常（つね）に実数（じっすう）となります。
  • Căn bậc hai của số âm -a (a > 0) là \(\sqrt{a} i\).負（ふ）の数（かず） -a (a > 0) の平方（へいほう）根（ね）は \(\sqrt{a} i\) です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\alpha = a+bi \implies \bar{\alpha} = a-bi

Số phức liên hợp thu được bằng cách đổi dấu phần ảo.

虚部（きょぶ）の符号（ふごう）を反転（はんてん）させることで共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）が得（え）られます。

\alpha + \bar{\alpha} = 2a

Tổng của một số phức và số liên hợp bằng hai lần phần thực.

複素（ふくそ）数（すう）とその共役（きょうやく）の和（わ）は実部（じつぶ）の2倍（ばい）に等（ひと）しくなります。

\alpha \bar{\alpha} = a^2 + b^2

Tích của một số phức và số liên hợp bằng tổng bình phương phần thực và phần ảo.

複素（ふくそ）数（すう）とその共役（きょうやく）の積（せき）は実部（じつぶ）と虚部（きょぶ）の2乗（のり）の和（わ）となります。

\overline{\alpha + \beta} = \bar{\alpha} + \bar{\beta}

Số phức liên hợp của một tổng bằng tổng hai số phức liên hợp.

和（わ）の共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）は各（かく）共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）の和（わ）と等（ひと）しくなります。

EJU 2026 · MATH.8.2

Bài học trình bày về số phức liên hợp và căn bậc hai của số âm. Đây là công cụ quan trọng để xử lý các phép toán số phức và phương trình bậc hai.

本節（ほんせつ）では共役（きょうやく）な複素（ふくそ）数（すう）と負（ふ）の数（かず）の平方（へいほう）根（ね）について学（まな）びます。これらは複素（ふくそ）数（すう）計算（けいさん）や2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の処理（しょり）における重要（じゅうよう）な道具（どうぐ）です。

共役（きょうやく）な複素（ふくそ）数（すう）
共役な複素数負の数の平方根