Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Tích của vectơ với một số thựcベクトルの実（じつ）数（すう）倍（ばい）

Công thức公式

k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}
(k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}
(kl)\vec{a}=k(l\vec{a})
\vec{e}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}

Ví dụ例題

Cho vectơ a khác 0 có độ dài |a| = 5. Hãy rút gọn biểu thức v = 3(a + b) - 2(a + b) - b và tìm độ dài của vectơ đơn vị e cùng hướng với a.

0でないベクトルaの長（なが）さが|a| = 5であるとする。式（しき） v = 3(a + b) - 2(a + b) - b を簡略（かんりゃく）化（か）し、aと同（おな）じ向（む）きの単位（たんい）ベクトルeの長（なが）さを求（もと）めなさい。

  1. Khai triển và rút gọn biểu thức: v = 3a + 3b - 2a - 2b - b = (3 - 2)a + (3 - 2 - 1)b = 1a + 0b = a.式（しき）を展開（てんかい）して簡略（かんりゃく）化（か）します: v = 3a + 3b - 2a - 2b - b = (3 - 2)a + (3 - 2 - 1)b = 1a + 0b = a。
  2. Áp dụng công thức vectơ đơn vị e = a / |a|, ta có e = a / 5.単位（たんい）ベクトルの公式（こうしき） e = a / |a| を適用（てきよう）すると、e = a / 5 となります。
  3. Độ dài của vectơ đơn vị e theo định nghĩa luôn bằng |e| = |a| / |a| = 5 / 5 = 1.単位（たんい）ベクトルeの長（なが）さは定義（ていぎ）により常（つね）に|e| = |a| / |a| = 5 / 5 = 1 となります。
Kết quả rút gọn thu được v = a và độ dài vectơ đơn vị e bằng 1.簡略（かんりゃく）化（か）の結果（けっか）は v = a であり、単位（たんい）ベクトルeの長（なが）さは1となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Biến đổi biểu thức 2(a + 2b) + 3(a - b) thành biểu thức rút gọn.式（しき） 2(a + 2b) + 3(a - b) を簡略（かんりゃく）化（か）した式（しき）に変形（へんけい）しなさい。

2. Cho vectơ a khác 0 có độ dài |a| = 4. Vectơ u = -2a có độ dài |u| bằng bao nhiêu?0でないベクトルaの長（なが）さが|a| = 4であるとする。ベクトル u = -2a の長（なが）さ|u|はいくらですか。

3. Cho hai vectơ a và b khác 0 thỏa mãn u = 3a - 6b và v = -a + 2b. Khẳng định nào sau đây đúng về u và v?0でない2つのベクトルaとbに対（たい）して、u = 3a - 6b かつ v = -a + 2b であるとする。uとvについて次（つぎ）のうち正（ただ）しい記述（きじゅつ）はどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 3 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）3区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu rõ khái niệm và tính chất phân phối của tích của vectơ với một số thực.ベクトルの実（じつ）数（すう）倍（ばい）の概念（がいねん）と分配（ぶんぱい）法則（ほうそく）の性質（せいしつ）を理解（りかい）する。
  2. Vận dụng điều kiện song song và vectơ đơn vị để giải các bài toán biểu diễn tuyến tính.平行（へいこう）条件（じょうけん）や単位（たんい）ベクトルを活用（かつよう）して線形（せんけい）表現（ひょうげん）の問題（もんだい）を解決（かいけつ）する。
Trực giác · イメージ

Phép nhân vectơ với một số thực là phép co giãn và đổi chiều vectơベクトルの実（じつ）数（すう）倍（ばい）はベクトルの伸縮（しんしゅく）と向（む）きの反転（はんてん）である

Khi nhân một vectơ với một số thực dương k, ta thu được vectơ cùng hướng có độ dài gấp k lần. Nếu k âm, vectơ kết quả sẽ ngược hướng và có độ dài gấp |k| lần.

ベクトルに正（せい）の実数（じっすう）kを掛（か）けると、同（おな）じ向（む）きで長（なが）さがk倍（ばい）のベクトルが得（え）られます。kが負（ふ）の場合（ばあい）、逆（ぎゃく）の向（む）きで長（なが）さが|k|倍（ばい）のベクトルになります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • ベクトルの実（じつ）数（すう）倍（ばい）tích của vectơ với một số thực

    Phép toán nhân một số thực k với một vectơ a để tạo ra một vectơ mới. Vectơ mới có độ dài bằng |k| lần độ dài vectơ a và cùng hướng khi k lớn hơn 0, ngược hướng khi k nhỏ hơn 0.

    実数（じっすう）kとベクトルaを掛け合（かけあ）わせて新（あたら）しいベクトルを作（つく）る演算（えんざん）です。新（あたら）しいベクトルは長（なが）さがaの|k|倍（ばい）になり、kが正（せい）のとき同（おな）じ向（む）き、kが負（ふ）のとき逆（ぎゃく）の向（む）きになります。

  • 分配（ぶんぱい）法則（ほうそく）tính chất phân phối

    Quy tắc đại số cho phép phân phối một số thực vào tổng hai vectơ hoặc phân phối một vectơ vào tổng hai số thực. Quy tắc này giúp đơn giản hóa các biểu thức vectơ phức tạp.

    実数（じっすう）とベクトルの和（わ）に対（たい）して分配（ぶんぱい）を行（おこな）う代数（だいすう）規則（きそく）です。この法則（ほうそく）により、複雑（ふくざつ）なベクトル式（しき）を簡単（かんたん）化（か）することができます。

  • 単位（たんい）ベクトルvectơ đơn vị

    Vectơ có độ dài bằng 1 và cùng hướng với vectơ ban đầu khác 0. Vectơ đơn vị thu được bằng cách chia vectơ ban đầu cho độ dài của chính nó.

    長（なが）さが1で、元（もと）の0でないベクトルと同（おな）じ向（む）きを持（も）つベクトルです。元（もと）のベクトルをその長（なが）さで割（わ）ることで得（え）られます。

  • ベクトルの平行（へいこう）sự song song của các vectơ

    Trạng thái hai vectơ khác 0 có phương song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ song song khi vectơ này bằng một số thực k khác 0 nhân với vectơ kia.

    0でない2つのベクトルの向（む）きが同（おな）じまたは反対（はんたい）である状態（じょうたい）です。一方（いっぽう）のベクトルが他方（たほう）のベクトルの実数（じっすう）k倍（ばい）で表（あらわ）されるとき、それらは平行（へいこう）です。

  • 平行（へいこう）条件（じょうけん）điều kiện song song

    Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b (khác 0) song song là tồn tại số thực k khác 0 sao cho b = k a. Điều kiện này giúp kiểm tra sự song song giữa hai vectơ.

    0でない2つのベクトルaとbが平行（へいこう）であるための必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）は、b = k aとなる0でない実数（じっすう）kが存在（そんざい）することです。この条件（じょうけん）でベクトルの平行（へいこう）を判定（はんてい）します。

  • 線形（せんけい）表現（ひょうげん）Biểu diễn tuyến tính

    Việc biểu diễn một vectơ dưới dạng tổng các tích của các vectơ thành phần với các số thực. Phương pháp này giúp phân tích một vectơ qua các vectơ cơ sở.

    ベクトルを構成（こうせい）ベクトルの実（じつ）数（すう）倍（ばい）の和（わ）として表（あらわ）すことです。この方法（ほうほう）により、基本（きほん）ベクトルを通（つう）じてベクトルを解析（かいせき）できます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ベクトルの実（じつ）数（すう）倍（ばい）の適用（てきよう）

    Áp dụng phép nhân số thực với vectơ

    Xác định số thực k và vectơ a để tính độ dài và hướng của vectơ k a. Nếu k bằng 0 thì kết quả là vectơ 0.

    実数（じっすう）kとベクトルaを確認（かくにん）し、k aの長（なが）さと向（む）きを計算（けいさん）します。kが0の場合（ばあい）はゼロベクトルになります。

  2. 02
    分配（ぶんぱい）法則（ほうそく）によるベクトル式（しき）の変形（へんけい）

    Biến đổi biểu thức vectơ bằng tính chất phân phối

    Sử dụng các công thức phân phối để mở ngoặc và nhóm các vectơ đồng dạng. Phép toán này tương tự như đại số thông thường với các số thực.

    分配（ぶんぱい）法則（ほうそく）を用（もち）いて括弧（かっこ）を展開（てんかい）し、同類（どうるい）項（こう）のベクトルをまとめます。この操作（そうさ）は通常（つうじょう）の実数（じっすう）の代数（だいすう）計算（けいさん）と同様（どうよう）です。

  3. 03
    2つのベクトルの平行（へいこう）条件（じょうけん）の確定（かくてい）

    Xác định điều kiện song song giữa hai vectơ

    Lập tỉ số hoặc tìm số thực k sao cho vectơ này bằng k lần vectơ kia. Nếu tìm được k khác 0, hai vectơ đó song song.

    一方（いっぽう）のベクトルが他方（たほう）のk倍（ばい）となる実数（じっすう）kを求（もと）めます。0でないkが存在（そんざい）すれば、それら2つのベクトルは平行（へいこう）です。

  4. 04
    同（おな）じ向（む）きの単位（たんい）ベクトルの算出（さんしゅつ）

    Tìm vectơ đơn vị cùng hướng

    Chia vectơ ban đầu cho độ dài của nó để tạo vectơ có độ dài bằng 1. Vectơ thu được duy trì nguyên vẹn hướng ban đầu.

    元（もと）のベクトルをその長（なが）さで割（わ）ることで、長（なが）さが1のベクトルを作成（さくせい）します。得（え）られたベクトルは元（もと）の向（む）きを維持（いじ）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Cho rằng nhân một vectơ với số âm k sẽ giữ nguyên hướng của vectơ ban đầu.ベクトルに負（ふ）の実数（じっすう）kを掛（か）けても、元（もと）のベクトルの向（む）きが維持（いじ）されると考（かんが）えること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi k nhỏ hơn 0, vectơ k a có hướng ngược lại với hướng của vectơ a.kが負（ふ）の場合（ばあい）、ベクトルk aはベクトルaの向（む）きと反対（はんたい）になります。

Quên chia cho độ dài |a| khi tìm vectơ đơn vị, dẫn đến vectơ kết quả không có độ dài bằng 1.単位（たんい）ベクトルを求（もと）める際（さい）に長（なが）さ|a|で割（わ）るのを忘（わす）れ、結果（けっか）のベクトルの長（なが）さが1にならないこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Vectơ đơn vị e luôn được tính theo công thức e = a / |a| với điều kiện |a| khác 0.単位（たんい）ベクトルeは、|a|が0でない条件（じょうけん）のもとで、常（つね）に e = a / |a| の公式（こうしき）により計算（けいさん）されます。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Phép nhân vectơ với số thực k làm thay đổi độ dài theo tỉ lệ |k| và đổi hướng nếu k < 0.ベクトルの実数（じっすう）k倍（ばい）は、長（なが）さを|k|倍（ばい）に変化（へんか）させ、k < 0のとき向（む）きを反転（はんてん）させます。
  • Phép nhân số thực với vectơ tuân theo tính chất phân phối k(a + b) = ka + kb và (k + l)a = ka + la.ベクトルの実（じつ）数（すう）倍（ばい）は分配（ぶんぱい）法則（ほうそく） k(a + b) = ka + kb および (k + l)a = ka + la に従（したが）います。
  • Điều kiện để hai vectơ khác 0 song song là vectơ này bằng k lần vectơ kia (k khác 0).0でない2つのベクトルが平行（へいこう）であるための条件（じょうけん）は、一方（いっぽう）のベクトルが他方（たほう）のk倍（ばい）（k≠0）で表（あらわ）されることです。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}

Tính chất phân phối của một số thực k đối với tổng hai vectơ a và b.

2つのベクトルaとbの和（わ）に対（たい）する実数（じっすう）kの分配（ぶんぱい）法則（ほうそく）です。

(k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}

Tính chất phân phối của tổng hai số thực k và l đối với một vectơ a.

ベクトルaに対（たい）する2つの実数（じっすう）kとlの和（わ）の分配（ぶんぱい）法則（ほうそく）です。

(kl)\vec{a}=k(l\vec{a})

Tính chất kết hợp giữa phép nhân các số thực và phép nhân số thực với vectơ.

実数（じっすう）の掛け算（かけざん）とベクトルの実（じつ）数（すう）倍（ばい）における結合（けつごう）法則（ほうそく）です。

\vec{e}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}

Công thức tính vectơ đơn vị e cùng hướng với vectơ a khác 0.

0でないベクトルaと同（おな）じ向（む）きを持（も）つ単位（たんい）ベクトルeを求（もと）める公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.14.1

Tích của vectơ với một số thực làm thay đổi độ dài và có thể đảo chiều của vectơ ban đầu. Phép nhân này tuân theo tính chất phân phối và được dùng để xét điều kiện song song cũng như biểu diễn tuyến tính.

ベクトルの実（じつ）数（すう）倍（ばい）は、元（もと）のベクトルの長（なが）さを変化（へんか）させ、向（む）きを反転（はんてん）させることがあります。この実数（じっすう）倍（ばい）の計算（けいさん）は分配（ぶんぱい）法則（ほうそく）に従（したが）い、平行（へいこう）条件（じょうけん）の判定（はんてい）や線形（せんけい）表現（ひょうげん）に用（もち）いられます。

ベクトルの実（じつ）数（すう）倍（ばい）
ベクトルの実数倍分配法則単位ベクトルベクトルの平行