Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Tích phân bất định不定（ふてい）積分（せきぶん）

Công thức公式

F'(x)=f(x) \Leftrightarrow \int f(x)dx=F(x)+C
\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C
\int k f(x)dx = k \int f(x)dx
\int \{f(x) \pm g(x)\}dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx

Ví dụ例題

Tính tích phân bất định integral (3 \(x^{2} + 2\) x) dx và tìm nguyên hàm F(x) thỏa mãn điều kiện F(1) = 5.

不定（ふてい）積分（せきぶん） integral (3 \(x^{2} + 2\) x) dx を計算（けいさん）し、条件（じょうけん） F(1) = 5 を満（み）たす原始（げんし）関数（かんすう） F(x) を求（もと）めなさい。

  1. Tách tích phân và đưa hệ số ra ngoài: integral (3 \(x^{2} + 2\) x) dx = 3 integral \(x^{2}\) dx + 2 integral x dx.積分（せきぶん）を分解（ぶんかい）して定数（ていすう）を前（まえ）に出（だ）します：integral (3 \(x^{2} + 2\) x) dx = 3 integral \(x^{2}\) dx + 2 integral x dx。
  2. Áp dụng công thức tích phân hàm lũy thừa: \(3\cdot (x^{3} / 3) + 2\cdot (x^{2} / 2) + C = x^{3} + x^{2} + C\).累乗（るいじょう）関数（かんすう）の積分（せきぶん）公式（こうしき）を適用（てきよう）します：\(3\cdot (x^{3} / 3) + 2\cdot (x^{2} / 2) + C = x^{3} + x^{2} + C\)。
  3. Thay điều kiện F(1) = 5: \(1^{3} + 1^{2} + C = 5\) suy ra 1 + 1 + C = 5, do đó C = 3.条件（じょうけん） F(1) = 5 を代入（だいにゅう）します：\(1^{3} + 1^{2} + C = 5\) より 1 + 1 + C = 5 となり、C = 3 が得（え）られます。
Hàm số nguyên hàm cần tìm là \(F (x) = x^{3} + x^{2} + 3\).求（もと）める原始（げんし）関数（かんすう）は \(F (x) = x^{3} + x^{2} + 3\) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính tích phân bất định integral (4 \(x^{3} + 3\) \(x^{2}\)) dx.不定（ふてい）積分（せきぶん） integral (4 \(x^{3} + 3\) \(x^{2}\)) dx を計算（けいさん）しなさい。

2. Cho integral f(x) \(dx = x^{3} - 2\) x + C. Hàm số dưới dấu tích phân f(x) là hàm số nào?integral f(x) \(dx = x^{3} - 2\) x + C とします。被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう） f(x) はどの関数（かんすう）ですか。

3. Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) = 2 x + 1 và F(0) = 4. Hàm số F(x) là:F(x) は f(x) = 2 x + 1 の原始（げんし）関数（かんすう）であり、F(0) = 4 を満（み）たすとします。関数（かんすう） F(x) はどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu bản chất của tích phân bất định như phép toán ngược của đạo hàm và vai trò của hằng số tích phân C.微分（びぶん）の逆（ぎゃく）演算（えんざん）としての不定（ふてい）積分（せきぶん）の本質（ほんしつ）と積分（せきぶん）定数（ていすう）Cの役割（やくわり）を理解（りかい）する。
  2. Thành thạo công thức tích phân hàm lũy thừa và các tính chất tuyến tính của tích phân.累乗（るいじょう）関数（かんすう）の積分（せきぶん）公式（こうしき）および積分（せきぶん）の線形（せんけい）性（せい）をマスターする。
Trực giác · イメージ

Tìm lại hàm số gốc từ tốc độ thay đổi変化（へんか）率（りつ）から元（もと）の関数（かんすう）を復元（ふくげん）する

Nếu đạo hàm cho ta biết tốc độ thay đổi của một hàm số tại mỗi điểm, thì tích phân bất định giúp ta tìm lại hàm số ban đầu. Vì các hàm số sai khác nhau một hằng số có cùng đạo hàm, kết quả tích phân luôn chứa một hằng số tích phân C.

導（どう）関数（かんすう）が各点（かくてん）での関数（かんすう）の変化（へんか）率（りつ）を表（あらわ）すのに対（たい）し、不定（ふてい）積分（せきぶん）は元（もと）の関数（かんすう）を復元（ふくげん）する役割（やくわり）を果（は）たします。定数（ていすう）のみが異（こと）なる関数（かんすう）は同（おな）じ導（どう）関数（かんすう）を持（も）つため、積分（せきぶん）の結果（けっか）には常（つね）に積分（せきぶん）定数（ていすう）Cが含（ふく）まれます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 不定（ふてい）積分（せきぶん）tích phân bất định

    Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x), ký hiệu là integral f(x)dx. Kết quả của tích phân bất định là F(x) + C, trong đó C là hằng số.

    関数（かんすう） f(x) のすべての原始（げんし）関数（かんすう）の集合（しゅうごう）であり、integral f(x)dx と表記（ひょうき）します。不定（ふてい）積分（せきぶん）の結果（けっか）は F(x) + C となり、ここで C は定数（ていすう）です。

  • 原始（げんし）関数（かんすう）nguyên hàm

    Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) nếu đạo hàm của F(x) bằng f(x) với mọi x. Một hàm số có vô số nguyên hàm chỉ sai khác nhau hằng số C.

    すべての x で F'(x) = f(x) を満（み）たすとき、関数（かんすう） F(x) を f(x) の原始（げんし）関数（かんすう）と呼（よ）びます。1つの関数（かんすう）は定数（ていすう） C だけが異（こと）なる無数（むすう）の原始（げんし）関数（かんすう）を持（も）ちます。

  • 積分（せきぶん）変数（へんすう）biến tích phân

    Biến số nằm sau ký hiệu d trong phép lấy tích phân, chỉ rõ biến mà ta đang thực hiện phép tích phân theo. Trong integral f(x)dx, x là biến tích phân.

    積分（せきぶん）記号（きごう）の d の後（あと）にある変数（へんすう）であり、どの変数（へんすう）に関（かん）して積分（せきぶん）を行（おこな）うかを示（しめ）します。integral f(x)dx において、x が積分（せきぶん）変数（へんすう）です。

  • 被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）hàm số dưới dấu tích phân

    Hàm số f(x) nằm dưới dấu tích phân integral, đại diện cho đạo hàm của nguyên hàm cần tìm. Đây là hàm số được lấy tích phân.

    積分（せきぶん）記号（きごう） integral の中（なか）にある関数（かんすう） f(x) であり、求（もと）めたい原始（げんし）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）を表（あらわ）します。これが積分（せきぶん）される対象（たいしょう）の関数（かんすう）です。

  • 積分（せきぶん）定数（ていすう）hằng số tích phân

    Hằng số C xuất hiện trong kết quả tích phân bất định do đạo hàm của một hằng số luôn bằng 0. C biểu thị tập hợp tất cả các nguyên hàm có thể có.

    定数（ていすう）の微分（びぶん）が常（つね）に 0 であるため、不定（ふてい）積分（せきぶん）の結果（けっか）に現（あらわ）れる定数（ていすう） C です。C は可能（かのう）性（せい）のあるすべての原始（げんし）関数（かんすう）の集合（しゅうごう）を表（あらわ）します。

  • 微分（びぶん）の逆（ぎゃく）演算（えんざん）phép toán ngược của đạo hàm

    Quá trình lấy tích phân bất định đảo ngược lại phép tính đạo hàm. Nếu đạo hàm giảm bậc của hàm đa thức đi 1, thì tích phân tăng bậc lên 1.

    不定（ふてい）積分（せきぶん）を求（もと）める過程（かてい）は、微分（びぶん）計算（けいさん）の逆（ぎゃく）の操作（そうさ）を行（おこな）います。微分（びぶん）が多項（たこう）式（しき）の次数（じすう）を1下（さ）げるのに対（たい）し、積分（せきぶん）は次数（じすう）を1上（あ）げます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：原始（げんし）関数（かんすう）と導（どう）関数（かんすう）の関係（かんけい）を認識（にんしき）する

    Bước 1: Nhận biết quan hệ giữa nguyên hàm và đạo hàm

    Xác định hàm số dưới dấu tích phân f(x) và tìm một nguyên hàm F(x) sao cho F'(x) = f(x). Thêm hằng số tích phân C vào kết quả.

    被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう） f(x) を確認（かくにん）し、F'(x) = f(x) となる原始（げんし）関数（かんすう） F(x) を見（み）つけます。結果（けっか）に積分（せきぶん）定数（ていすう） C を付け加（つけくわ）えます。

  2. 02
    ステップ2：累乗（るいじょう）関数（かんすう）の積分（せきぶん）公式（こうしき）を適用（てきよう）する

    Bước 2: Áp dụng công thức tích phân hàm lũy thừa

    Sử dụng công thức integral \(x^{n}\) dx = (1/(n+1)) \(x^{n + 1} + C\) cho các số hạng dạng lũy thừa. Tăng số mũ thêm 1 và chia cho số mũ mới.

    累乗（るいじょう）の項（こう）に対（たい）して公式（こうしき） integral \(x^{n}\) dx = (1/(n+1)) \(x^{n + 1} + C\) を使用（しよう）します。指数（しすう）を1増（ふ）やし、新（あたら）しい指数（しすう）で割（わ）ります。

  3. 03
    ステップ3：積分（せきぶん）の線形（せんけい）性（せい）を利用（りよう）する

    Bước 3: Sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân

    Đưa hệ số hằng số k ra ngoài dấu tích phân và tách tích phân của tổng/hiệu thành tổng/hiệu các tích phân thành phần.

    定数（ていすう）倍（ばい） k を積分（せきぶん）記号（きごう）の外（そと）に出（だ）し、和（わ）や差（さ）の積分（せきぶん）を個別（こべつ）の積分（せきぶん）の和（わ）や差（さ）に分解（ぶんかい）します。

  4. 04
    ステップ4：初期（しょき）条件（じょうけん）から積分（せきぶん）定数（ていすう）Cを決定（けってい）する

    Bước 4: Xác định hằng số tích phân C khi có điều kiện ban đầu

    Thay giá trị x và F(x) từ điều kiện bài toán vào nguyên hàm F(x) + C để giải tìm hằng số C cụ thể.

    問題（もんだい）の条件（じょうけん）から与（あた）えられた x と F(x) の値（あたい）を F(x) + C に代入（だいにゅう）し、具体（ぐたい）的（てき）な積分（せきぶん）定数（ていすう） C を求（もと）めます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên viết hằng số tích phân C khi kết thúc bài toán tính tích phân bất định.不定（ふてい）積分（せきぶん）の計算（けいさん）結果（けっか）の最後（さいご）に積分（せきぶん）定数（ていすう） C を書（か）き忘（わす）れる。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn cộng hằng số C vào kết quả của tích phân bất định vì có vô số nguyên hàm chỉ sai khác nhau hằng số.無数（むすう）の原始（げんし）関数（かんすう）は定数（ていすう）分（ぶん）だけ異（こと）なるため、不定（ふてい）積分（せきぶん）の結果（けっか）には常（つね）に定数（ていすう） C を加（くわ）えてください。

Áp dụng sai công thức lũy thừa bằng cách lấy đạo hàm thay vì lấy tích phân (ví dụ: nhân số mũ cũ thay vì cộng 1 vào số mũ).積分（せきぶん）ではなく微分（びぶん）を行（おこな）ってしまうなど、累乗（るいじょう）公式（こうしき）を誤用（ごよう）する（例（れい）：指数（しすう）に1を足（た）す代（か）わりに元（もと）の指数（しすう）を掛（か）けてしまう）。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nhớ rằng tích phân làm tăng số mũ n thành n+1 và chia cho n+1, ngược lại với phép đạo hàm.積分（せきぶん）は指数（しすう） n を n+1 に増（ふ）やして n+1 で割（わ）る操作（そうさ）であり、微分（びぶん）の操作（そうさ）とは逆（ぎゃく）であることを覚（おぼ）えておきましょう。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Tích phân bất định là phép toán ngược của đạo hàm, thỏa mãn F'(x) = f(x) khi và chỉ khi integral f(x)dx = F(x) + C.不定（ふてい）積分（せきぶん）は微分（びぶん）の逆（ぎゃく）演算（えんざん）であり、F'(x) = f(x) であることと integral f(x)dx = F(x) + C であることは同値（どうち）です。
  • Công thức tích phân hàm lũy thừa integral \(x^{n}\) dx = (1/(n+1)) \(x^{n + 1} + C\) giúp tìm nguyên hàm của các đa thức.累乗（るいじょう）関数（かんすう）の積分（せきぶん）公式（こうしき） integral \(x^{n}\) dx = (1/(n+1)) \(x^{n + 1} + C\) は多項（たこう）式（しき）の原始（げんし）関数（かんすう）を求（もと）めるのに役立（やくだ）ちます。
  • Tích phân bất định có tính chất tuyến tính, cho phép tách tổng hiệu và đưa hệ số hằng số ra ngoài.不定（ふてい）積分（せきぶん）は線形（せんけい）性（せい）を持（も）ち、和（わ）や差（さ）の分解（ぶんかい）および定数（ていすう）倍（ばい）の括（くく）り出（だ）しが可能（かのう）です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

F'(x)=f(x) \Leftrightarrow \int f(x)dx=F(x)+C

Định nghĩa tích phân bất định. F(x) là một nguyên hàm của f(x) khi và chỉ khi đạo hàm của F(x) bằng f(x).

不定（ふてい）積分（せきぶん）の定義（ていぎ）です。F(x) の導（どう）関数（かんすう）が f(x) に等（ひと）しいとき、かつそのときに限（かぎ）り F(x) は f(x) の原始（げんし）関数（かんすう）となります。

\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C

Công thức tích phân bất định của hàm lũy thừa \(x^{n}\) với n khác -1. Số mũ mới là n+1 và hệ số là 1/(n+1).

n != -1 における累乗（るいじょう）関数（かんすう） \(x^{n}\) の不定（ふてい）積分（せきぶん）公式（こうしき）です。新（あたら）しい指数（しすう）は n+1 となり、係数（けいすう）は 1/(n+1) となります。

\int k f(x)dx = k \int f(x)dx

Tính chất nhân với hằng số k của tích phân bất định. Hằng số k có thể được đưa ra ngoài dấu tích phân.

不定（ふてい）積分（せきぶん）の定数（ていすう）倍（ばい）の性質（せいしつ）です。定数（ていすう） k は積分（せきぶん）記号（きごう）の外（そと）に出（だ）すことができます。

\int \{f(x) \pm g(x)\}dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx

Tính chất cộng trừ của tích phân bất định. Tích phân của một tổng hoặc hiệu bằng tổng hoặc hiệu các tích phân.

不定（ふてい）積分（せきぶん）の和（わ）と差（さ）の性質（せいしつ）です。和（なご）または差（さ）の積分（せきぶん）は、それぞれの積分（せきぶん）の和（なご）または差（さ）に等（ひと）しくなります。

EJU 2026 · MATH.20.1

Tích phân bất định là phép toán ngược của đạo hàm, giúp tìm lại hàm số ban đầu khi biết đạo hàm của nó. Việc nắm vững các công thức tích phân cơ bản là nền tảng quan trọng trong giải tích.

不定（ふてい）積分（せきぶん）は微分（びぶん）の逆（ぎゃく）演算（えんざん）であり、導（どう）関数（かんすう）から元（もと）の関数（かんすう）を求（もと）めることができます。基本（きほん）的（てき）な積分（せきぶん）公式（こうしき）をマスターすることは、解析（かいせき）学（がく）における重要（じゅうよう）な基礎（きそ）となります。

不定（ふてい）積分（せきぶん）
不定積分原始関数積分変数被積分関数