Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Tổng dãy số đa thức, phân tích phân số đơn giản và tích cấp số cộng với cấp số nhân多項（たこう）式（しき）・部分（ぶぶん）分数（ぶんすう）分解（ぶんかい）・(等差（とうさ）)×(等比（とうひ）) 型（かた）の数列（すうれつ）の和（わ）

Công thức公式

\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)
\frac{5x+4}{x(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x+2}
b_n = a_{n+1} - a_n
a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k

Ví dụ例題

Cho dãy số a_n có số hạng đầu a_1 = 3 và dãy số hiệu b_n = a_{n+1} - a_n có tổng \(\sum_{k=1}^{n-1}\) b_k = 2n - 2 với n \(\ge\) 2. Tìm số hạng a_n.

初項（しょこう） a_1 = 3 であり、階差（かいさ）数列（すうれつ） b_n = a_{n+1} - a_n の和（わ）が n \(\ge\) 2 に対（たい）し \(\sum_{k=1}^{n-1}\) b_k = 2n - 2 である数列（すうれつ） a_n の一般（いっぱん）項（こう） a_n を求（もと）めよ。

  1. Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát theo dãy số hiệu a_n = a_1 + \(\sum_{k=1}^{n-1}\) b_k với n \(\ge\) 2.n \(\ge\) 2 のとき、階差（かいさ）数列（すうれつ）による一般（いっぱん）項（こう）の公式（こうしき） a_n = a_1 + \(\sum_{k=1}^{n-1}\) b_k を適用（てきよう）します。
  2. Thay a_1 = 3 và \(\sum_{k=1}^{n-1}\) b_k = 2n - 2 vào công thức ta được a_n = 3 + (2n - 2) = 2n + 1.a_1 = 3 および \(\sum_{k=1}^{n-1}\) b_k = 2n - 2 を代入（だいにゅう）すると、a_n = 3 + (2n - 2) = 2n + 1 となります。
  3. Kiểm tra với n = 1: \(a_{1} = 2 (1) + 1 = 3\), thỏa mãn số hạng đầu ban đầu.n = 1 で確認（かくにん）すると \(a_{1} = 2 (1) + 1 = 3\) となり、初期（しょき）の初項（しょこう）を満（み）たします。
Số hạng tổng quát của dãy số là a_n = 2n + 1 với mọi n \(\ge\) 1.数列（すうれつ）の一般（いっぱん）項（こう）はすべての n \(\ge\) 1 に対（たい）して a_n = 2n + 1 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Với k = 1, giá trị của biểu thức phân tích \(\frac{1}{1 \cdot 3}\) theo công thức \(\frac{1}{2}\) \(\left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)\) bằng bao nhiêu?k = 1 のとき、公式（こうしき） \(\frac{1}{2}\) \(\left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)\) に従（したが）った \(\frac{1}{1 \cdot 3}\) の分解（ぶんかい）式（しき）の値（あたい）はいくらか。

2. Cho dãy số \(a_{n}\) có \(a_{1} = 5\), \(a_{2} = 9\). Giá trị số hạng \(b_{1}\) của dãy số hiệu \(b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}\) bằng bao nhiêu?数列（すうれつ） \(a_{n}\) において \(a_{1} = 5\), \(a_{2} = 9\) であるとき、階差（かいさ）数列（すうれつ） \(b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}\) の初項（しょこう） \(b_{1}\) の値（あたい）はいくらか。

3. Phương pháp hệ số bất định được sử dụng dựa trên loại đẳng thức nào?未定（みてい）係数（けいすう）法（ほう）はどのような種類（しゅるい）の等式（とうしき）に基（もと）づいて使用（しよう）されますか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.12.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.12.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Áp dụng phương pháp phân tích thành phân số đơn giản để thu gọn tổng triệt tiêu.部分（ぶぶん）分数（ぶんすう）分解（ぶんかい）の手法（しゅほう）を適用（てきよう）して、相殺（そうさい）される和（わ）を簡略（かんりゃく）化（か）する。
  2. Xác định số hạng tổng quát của dãy số bằng cách sử dụng dãy số hiệu và công thức tổng.階差（かいさ）数列（すうれつ）と和（わ）の公式（こうしき）を用（もち）いて、数列（すうれつ）の一般（いっぱん）項（こう）を特定（とくてい）する。
Trực giác · イメージ

Triệt tiêu các số hạng trung gian và tìm quy luật hiệu途中（とちゅう）項（こう）の相殺（そうさい）と階差（かいさ）の規則（きそく）性（せい）の発見（はっけん）

Khi biến đổi phân số thành hiệu của hai phân số đơn giản, các số hạng ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Tương tự, dãy số hiệu phản ánh sự chênh lệch giữa hai số hạng liên tiếp, giúp khôi phục dãy số gốc.

分数（ぶんすう）を2つの簡単（かんたん）な分数（ぶんすう）の差（さ）に変形（へんけい）すると、中間（ちゅうかん）の項（こう）が互（たが）いに相殺（そうさい）されます。同様（どうよう）に、階差（かいさ）数列（すうれつ）は隣り合（となりあ）う2項（こう）の差（さ）を反映（はんえい）し、元（もと）の数列（すうれつ）を復元（ふくげん）するのに役立（やくだ）ちます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 部分（ぶぶん）分数（ぶんすう）分解（ぶんかい）phân tích thành phân số đơn giản

    Kỹ thuật biến đổi một phân thức phức tạp thành tổng hoặc hiệu của các phân thức đơn giản hơn.

    複雑（ふくざつ）な分（ぶん）数式（すうしき）をより簡単（かんたん）な分（ぶん）数式（すうしき）の和（わ）や差（さ）に変形（へんけい）する技術（ぎじゅつ）です。

  • 恒等（こうとう）式（しき）đồng thức

    Đẳng thức đúng với mọi giá trị của biến số trong tập xác định.

    定義（ていぎ）域（いき）内（ない）の変数（へんすう）のすべての値（あたい）に対（たい）して常（つね）に成立（せいりつ）する等式（とうしき）です。

  • 未定（みてい）係数（けいすう）法（ほう）phương pháp hệ số bất định

    Phương pháp tìm các hệ số chưa biết bằng cách đồng nhất hệ số của hai vế trong một đồng thức.

    恒等（こうとう）式（しき）の両辺（りょうへん）の係数（けいすう）を比較（ひかく）して未定（みてい）の係数（けいすう）を求（もと）める方法（ほうほう）です。

  • 階差（かいさ）数列（すうれつ）dãy số hiệu

    Dãy số \(b_{n}\) được tạo thành từ hiệu của hai số hạng liên tiếp \(a_{n + 1} - a_{n}\) của dãy số \(a_{n}\).

    数列（すうれつ） \(a_{n}\) の隣り合（となりあ）う2項（こう）の差（さ） \(a_{n + 1} - a_{n}\) からつくられる数列（すうれつ） \(b_{n}\) です。

  • 第（だい）1階差（かいさ）数列（すうれつ）dãy số hiệu cấp một

    Dãy số hiệu trực tiếp thu được từ chênh lệch cấp đầu tiên giữa các số hạng của dãy số ban đầu.

    元（もと）の数列（すうれつ）の項（こう）間（かん）の最初（さいしょ）の差（さ）から直接（ちょくせつ）得（え）られる階差（かいさ）数列（すうれつ）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    部分（ぶぶん）分数（ぶんすう）分解（ぶんかい）による分数（ぶんすう）の分離（ぶんり）

    Tách phân thức bằng phân tích phân số đơn giản

    Biến đổi biểu thức phân thức dạng 1/(k(k+2)) thành hiệu hai phân số có hệ số 1/2. Điều này tạo điều kiện để các số hạng trung gian tự triệt tiêu khi tính tổng.

    1/(k(k+2)) 型（かた）の分（ぶん）数式（すうしき）を係数（けいすう） 1/2 を持（も）つ2つの分数（ぶんすう）の差（さ）に変形（へんけい）します。これにより、加算（かさん）時（じ）に中間（ちゅうかん）の項（こう）が自動（じどう）的（てき）に相殺（そうさい）されます。

  2. 02
    未定（みてい）係数（けいすう）法（ほう）による未知（みち）係数（けいすう）の特定（とくてい）

    Tìm hệ số chưa biết bằng phương pháp hệ số bất định

    Đặt phân thức dưới dạng tổng các phân số có hệ số A, B, C chưa biết. Quy đồng mẫu số và so sánh hệ số hai vế của đồng thức để tìm A, B, C.

    分数（ぶんすう）式（しき）を未知（みち）の係数（けいすう） A, B, C を持（も）つ分数（ぶんすう）の和（わ）として置（お）きます。通分（つうぶん）して恒等（こうとう）式（しき）の両辺（りょうへん）の係数（けいすう）を比較（ひかく）し、A, B, C を求（もと）めます。

  3. 03
    階差（かいさ）数列（すうれつ）からの一般（いっぱん）項（こう）の復元（ふくげん）

    Khôi phục số hạng tổng quát từ dãy số hiệu

    Lập dãy số hiệu b_n = a_{n+1} - a_n từ dãy số ban đầu. Áp dụng công thức a_n = a_1 + \(\sum_{k=1}^{n-1}\) b_k để tính a_n khi n >= 2.

    元（もと）の数列（すうれつ）から階差（かいさ）数列（すうれつ） b_n = a_{n+1} - a_n を作成（さくせい）します。n >= 2 のとき公式（こうしき） a_n = a_1 + \(\sum_{k=1}^{n-1}\) b_k を適用（てきよう）して a_n を計算（けいさん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Áp dụng công thức a_n = a_1 + \(\sum_{k=1}^{n-1}\) b_k mà quên điều kiện n \(\ge\) 2.n \(\ge\) 2 の条件（じょうけん）を忘（わす）れて公式（こうしき） a_n = a_1 + \(\sum_{k=1}^{n-1}\) b_k を適用（てきよう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Công thức chỉ có nghĩa khi n \(\ge\) 2, và cần kiểm tra lại n = 1 sau khi tính.n \(\ge\) 2 でのみ公式（こうしき）は意味（いみ）を持（も）つため、計算（けいさん）後（ご）に n = 1 の場合（ばあい）を検証（けんしょう）する必要（ひつよう）があります。

Quên hệ số 1/2 khi phân tích phân số đơn giản cho \(\frac{1}{k(k+2)}\).\(\frac{1}{k(k+2)}\) の部分（ぶぶん）分数（ぶんすう）分解（ぶんかい）で係数（けいすう） 1/2 を忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Vì (k+2) - k = 2 nên phải nhân với hệ số 1/2 để hai vế của đồng thức bằng nhau.(k+2) - k = 2 であるため、恒等（こうとう）式（しき）の両辺（りょうへん）を等（ひと）しくするために係数（けいすう） 1/2 を掛（か）ける必要（ひつよう）があります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Phân tích thành phân số đơn giản giúp biến đổi biểu thức tích ở mẫu thành hiệu các phân số để triệt tiêu tổng.部分（ぶぶん）分数（ぶんすう）分解（ぶんかい）は、分母（ぶんぼ）の積（せき）の式（しき）を分数（ぶんすう）の差（さ）に変形（へんけい）して和（わ）を相殺（そうさい）するのに役立（やくだ）ちます。
  • Phương pháp hệ số bất định dùng để xác định các hệ số chưa biết trong phân tích phân thức bằng cách so sánh hai vế của đồng thức.未定（みてい）係数（けいすう）法（ほう）は、恒等（こうとう）式（しき）の両辺（りょうへん）を比較（ひかく）することで分数（ぶんすう）分解（ぶんかい）における未知（みち）の係数（けいすう）を特定（とくてい）するために使用（しよう）されます。
  • Dãy số hiệu \(b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}\) cho phép tìm lại số hạng tổng quát \(a_{n}\) qua công thức tổng dãy hiệu.階差（かいさ）数列（すうれつ） \(b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}\) により、階差（かいさ）の和（わ）の公式（こうしき）を通（つう）じて一般（いっぱん）項（こう） \(a_{n}\) を復元（ふくげん）できます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)

Công thức phân tích phân số đơn giản cho phân thức có mẫu số là tích k(k+2).

分母（ぶんぼ）が積（せき） k(k+2) である分（ぶん）数式（すうしき）の部分（ぶぶん）分数（ぶんすう）分解（ぶんかい）公式（こうしき）です。

\frac{5x+4}{x(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x+2}

Biểu thức tổng quát để phân tích phân thức bậc cao thành các phân số đơn giản với hệ số bất định A, B, C.

未定（みてい）係数（けいすう） A, B, C を用（もち）いて高次（こうじ）分数（ぶんすう）式（しき）を簡単（かんたん）な分数（ぶんすう）に分解（ぶんかい）する一般（いっぱん）式（しき）です。

b_n = a_{n+1} - a_n

Định nghĩa số hạng tổng quát \(b_{n}\) của dãy số hiệu giữa hai số hạng kề nhau trong dãy \(a_{n}\).

数列（すうれつ） \(a_{n}\) の隣接（りんせつ）する2項（こう）間（かん）の階差（かいさ）数列（すうれつ）の一般（いっぱん）項（こう） \(b_{n}\) の定義（ていぎ）です。

a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k

Công thức xác định số hạng tổng quát \(a_{n}\) của dãy số ban đầu thông qua số hạng đầu \(a_{1}\) và tổng dãy số hiệu \(b_{k}\).

初項（しょこう） \(a_{1}\) と階差（かいさ）数列（すうれつ） \(b_{k}\) の和（わ）を用（もち）いて元（もと）の数列（すうれつ）の一般（いっぱん）項（こう） \(a_{n}\) を求（もと）める公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.12.1

Phân tích thành phân số đơn giản và dãy số hiệu là các phương pháp quan trọng để tính tổng của các dãy số đặc biệt. Việc tìm số hạng tổng quát qua dãy số hiệu giúp xác định cấu trúc dãy số ban đầu.

部分（ぶぶん）分数（ぶんすう）分解（ぶんかい）と階差（かいさ）数列（すうれつ）は、特別（とくべつ）な数列（すうれつ）の和（わ）を計算（けいさん）するための重要（じゅうよう）な手法（しゅほう）です。階差（かいさ）数列（すうれつ）を通（つう）じた一般（いっぱん）項（こう）の決定（けってい）により、元（もと）の数列（すうれつ）の構造（こうぞう）が明確（めいかく）になります。

多項（たこう）式（しき）・部分（ぶぶん）分数（ぶんすう）分解（ぶんかい）・(等差（とうさ）)×(等比（とうひ）) 型（かた）の数列（すうれつ）の和（わ）
部分分数分解恒等式未定係数法階差数列