Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Tỷ lệ biến thiên trung bình và hệ số vi phân平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）と微分（びぶん）係数（けいすう）

Công thức公式

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
f'(a) = \lim_{b \to a} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}
f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}

Ví dụ例題

Cho hàm số \(f(x) = x^{2}\). Hãy tính tỷ lệ biến thiên trung bình của f(x) khi x thay đổi từ 1 đến 3, sau đó dùng định nghĩa giới hạn để tính hệ số vi phân f'(1).

関数（かんすう） \(f(x) = x^{2}\) について、x が 1 から 3 まで変化（へんか）するときの平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）を求（もと）め、次（つぎ）に極限（きょくげん）の定義（ていぎ）を用（もち）いて微分（びぶん）係数（けいすう） f'(1) を計算（けいさん）しなさい。

  1. Bước 1: Tính tỷ lệ biến thiên trung bình trên đoạn [1, 3]: tỉ số bằng \((f(3) - f(1)) / (3 - 1) = (3^{2} - 1^{2}) / 2 = (9 - 1) / 2 = 4\).手順（てじゅん）1：区間（くかん） [1, 3] での平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）を計算（けいさん）すると、(f(3) - f(1)) / (3 - 1) = (9 - 1) / 2 = 4 となります。
  2. Bước 2: Tính hệ số vi phân f'(1) bằng giới hạn: tỉ số \((f(1 + h) - f(1)) / h = ((1 + h)^{2} - 1) / h = (2 h + h^{2}) / h = 2 + h\); cho h -> 0 ta được f'(1) = 2.手順（てじゅん）2：極限（きょくげん）を用（もち）いて f'(1) を計算（けいさん）すると、\((f(1 + h) - f(1)) / h = ((1 + h)^{2} - 1) / h = 2 + h\) となり、h -> 0 とすると f'(1) = 2 となります。
Tỷ lệ biến thiên trung bình trên [1, 3] bằng 4 và hệ số vi phân tại x = 1 bằng 2.区間（くかん） [1, 3] における平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）は 4 であり、x = 1 における微分（びぶん）係数（けいすう）は 2 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hàm số f(x) = 2x + 1. Tỷ lệ biến thiên trung bình của f(x) khi x thay đổi từ 2 đến 5 là bao nhiêu?関数（かんすう） f(x) = 2x + 1 について、x が 2 から 5 まで変化（へんか）するときの平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）の値（あたい）を求（もと）めよ。

2. Cho hàm số \(f(x) = x^{2} + x\). Hệ số vi phân f'(2) tính theo định nghĩa giới hạn có giá trị bằng bao nhiêu?関数（かんすう） \(f(x) = x^{2} + x\) について、極限（きょくげん）の定義（ていぎ）に従（したが）って計算（けいさん）した微分（びぶん）係数（けいすう） f'(2) の値（あたい）はいくらか。

3. Đường cát tuyến đi qua hai điểm A(1, f(1)) và B(3, f(3)) trên đồ thị hàm số \(f(x) = x^{2}\) có hệ số góc bằng bao nhiêu?関数（かんすう） \(f(x) = x^{2}\) のグラフ上（じょう）の2点（てん） A(1, f(1)) と B(3, f(3)) を通（とお）る割線（かっせん）の傾（かたむ）きはいくらか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Tính tỷ lệ biến thiên trung bình của hàm số trên một khoảng cho trước bằng tỉ số giữa số gia hàm số và số gia biến số.関数（かんすう）の増分（ぞうぶん）と変数（へんすう）の増分（ぞうぶん）の比（ひ）を用（もち）いて、指定（してい）された区間（くかん）における関数（かんすう）の平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）を計算（けいさん）する。
  2. Vận dụng công thức giới hạn để tính hệ số vi phân của hàm số tại một điểm.極限（きょくげん）の公式（こうしき）を適用（てきよう）して、特定（とくてい）の値（あたい）における関数（かんすう）の微分（びぶん）係数（けいすう）を導出（どうしゅつ）する。
  3. Hiểu bản chất hình học của hệ số vi phân như là giới hạn độ dốc của cát tuyến khi hai điểm tiến lại gần nhau.2点（てん）が近接（きんせつ）するときの割線（かっせん）の傾（かたむ）きの極限（きょくげん）として、微分（びぶん）係数（けいすう）の幾何（きか）学（がく）的（てき）意味（いみ）を理解（りかい）する。
Trực giác · イメージ

Làm thế nào để xác định tốc độ thay đổi tức thời của một hàm số tại một điểm cụ thể?特定（とくてい）の間隔（かんかく）ではなく、ある1点（てん）における関数（かんすう）の瞬間（しゅんかん）的（てき）な変化（へんか）の割合（わりあい）をどう求（もと）めるか？

Tỷ lệ biến thiên trung bình cho biết độ biến thiên trung bình trên một khoảng đoạn nối bởi cát tuyến. Khi thu nhỏ khoảng biến thiên số gia h về 0, cát tuyến trở thành tiếp tuyến và tỉ số này tiến tới hệ số vi phân tức thời.

平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）は割線（かっせん）で結（むす）ばれたある区間（くかん）での平均（へいきん）的（てき）な変化（へんか）の割合（わりあい）を示（しめ）します。変数（へんすう）の増分（ぞうぶん） h を 0 に極限（きょくげん）まで近（ちか）づけると、割線（かっせん）は接線（せっせん）へと変化（へんか）し、この比（ひ）は瞬間（しゅんかん）的（てき）な微分（びぶん）係数（けいすう）へと収束（しゅうそく）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）tỷ lệ biến thiên trung bình

    Tỷ lệ biến thiên trung bình của hàm số f(x) khi x thay đổi từ a đến b là tỉ số giữa số gia của hàm số f(b) - f(a) và số gia của biến số b - a. Giá trị này biểu thị hệ số góc của đường cát tuyến đi qua hai điểm trên đồ thị.

    x が a から b まで変化（へんか）するときの関数（かんすう） f(x) の平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）は、関数（かんすう）の増分（ぞうぶん） f(b) - f(a) と変数（へんすう）の増分（ぞうぶん） b - a の比率（ひりつ）です。この値（あたい）はグラフ上（じょう）の2点（てん）を通（とお）る割線（かっせん）の傾（かたむ）きを表（あらわ）します。

  • 微分（びぶん）係数（けいすう）hệ số vi phân

    Hệ số vi phân tại x = a là giới hạn của tỷ lệ biến thiên trung bình khi b tiến về a hoặc h tiến về 0. Giá trị này chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = a.

    x = a における微分（びぶん）係数（けいすう）は、b が a に、あるいは h が 0 に近（ちか）づくときの平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）の極限（きょくげん）値（ち）です。この値（あたい）は x = a におけるグラフの接線（せっせん）の傾（かたむ）きに一致（いっち）します。

  • 変化（へんか）率（りつ）tỷ lệ biến thiên

    Tỷ lệ biến thiên mô tả mức độ thay đổi của đại lượng phụ thuộc so với sự thay đổi của đại lượng độc lập. Trong vi phân, tỷ lệ biến thiên tức thời chính là giá trị của hệ số vi phân tại điểm xét.

    変化（へんか）率（りつ）は独立（どくりつ）変数（へんすう）の変化（へんか）に対（たい）する従属（じゅうぞく）変数（へんすう）の変化（へんか）の割合（わりあい）を記述（きじゅつ）する概念（がいねん）です。微分（びぶん）法（ほう）において、瞬間（しゅんかん）変化（へんか）率（りつ）は検討（けんとう）対象（たいしょう）の点（てん）における微分（びぶん）係数（けいすう）の値（あたい）そのものを意味（いみ）します。

  • 割線（かっせん）cát tuyến

    Cát tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt trên đồ thị của một hàm số. Hệ số góc của đường cát tuyến đúng bằng tỷ lệ biến thiên trung bình của hàm số trên đoạn nối hai điểm đó.

    割線（かっせん）とは関数（かんすう）のグラフ上（じょう）の異（こと）なる2点（てん）を通（とお）る直線（ちょくせん）のことです。割線（かっせん）の傾（かたむ）きは、それら2点（てん）を結（むす）ぶ区間（くかん）における関数（かんすう）の平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）に等（ひと）しくなります。

  • 導（どう）関数（かんすう）hàm đạo hàm

    Hàm đạo hàm là hàm số cho ta giá trị hệ số vi phân của f(x) tại mỗi điểm x. Hàm đạo hàm được định nghĩa thông qua phép lấy giới hạn của tỉ số số gia với biến số x tổng quát.

    導（どう）関数（かんすう）とは、各（かく） x における f(x) の微分（びぶん）係数（けいすう）の値（あたい）を割り当（わりあ）てる関数（かんすう）のことです。一般（いっぱん）の変数（へんすう） x に対（たい）する増分（ぞうぶん）比（ひ）の極限（きょくげん）操作（そうさ）を通（つう）じて定義（ていぎ）されます。

  • 増分（ぞうぶん）số gia

    Số gia của biến số là hiệu b - a (thường ký hiệu là h), biểu thị sự thay đổi của biến độc lập. Số gia của hàm số là hiệu f(a + h) - f(a), biểu thị sự thay đổi tương ứng của giá trị hàm số.

    変数（へんすう）の増分（ぞうぶん）とは差（さ） b - a（通常（つうじょう） h と表記（ひょうき））のことで、独立（どくりつ）変数（へんすう）の変化（へんか）量（りょう）を示（しめ）します。関数（かんすう）の増分（ぞうぶん）とは差（さ） f(a + h) - f(a) のことで、対応（たいおう）する関数（かんすう）値（ち）の変化（へんか）量（りょう）を示（しめ）します。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    変数（へんすう）の増分（ぞうぶん）と関数（かんすう）の増分（ぞうぶん）の計算（けいさん）

    Tính số gia của biến số và số gia của hàm số

    Xác định số gia biến số h = b - a và số gia hàm số tương ứng f(a + h) - f(a). Đây là bước chuẩn bị đầu tiên để lập tỉ số biến thiên.

    変数（へんすう）の増分（ぞうぶん） h = b - a と、対応（たいおう）する関数（かんすう）の増分（ぞうぶん） f(a + h) - f(a) を求（もと）めます。これは変化（へんか）率（りつ）の比（ひ）を立（りっ）式（しき）するための最初（さいしょ）の準備（じゅんび）段階（だんかい）です。

  2. 02
    平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）の比（ひ）の立（りっ）式（しき）

    Lập tỉ số tỷ lệ biến thiên trung bình

    Lập tỉ số giữa số gia hàm số và số gia biến số theo công thức (f(b) - f(a)) / (b - a). Rút gọn biểu thức này bằng các phép biến đổi đại số.

    公式（こうしき） (f(b) - f(a)) / (b - a) に従（したが）い関数（かんすう）の増分（ぞうぶん）と変数（へんすう）の増分（ぞうぶん）の比（ひ）を立（た）てます。代数（だいすう）的（てき）な変形（へんけい）を行（おこな）ってこの式（しき）を約分（やくぶん）・整理（せいり）します。

  3. 03
    増分（ぞうぶん）を 0 に近（ちか）づける極限（きょくげん）操作（そうさ）の実行（じっこう）

    Thực hiện phép lấy giới hạn khi số gia tiến về 0

    Cho h tiến dần về 0 trong biểu thức tỉ số vừa rút gọn để tìm giới hạn. Giá trị giới hạn thu được chính là hệ số vi phân f'(a).

    整理（せいり）した比（ひ）の式（しき）において h を 0 に近（ちか）づける極限（きょくげん）を計算（けいさん）します。得（え）られた極限（きょくげん）値（ち）がまさに微分（びぶん）係数（けいすう） f'(a) となります。

  4. 04
    微分（びぶん）係数（けいすう）から導（どう）関数（かんすう）概念（がいねん）への拡張（かくちょう）

    Liên hệ hệ số vi phân với khái niệm hàm đạo hàm

    Thay điểm cố định a bằng biến tổng quát x để mở rộng từ hệ số vi phân tại một điểm sang hàm đạo hàm f'(x). Hàm đạo hàm cho phép xác định độ dốc tại mọi điểm trên đồ thị.

    固定（こてい）点（てん） a を一般（いっぱん）変数（へんすう） x に置き換（おきか）えることで、1点（てん）での微分（びぶん）係数（けいすう）を導（どう）関数（かんすう） f'(x) へと拡張（かくちょう）します。導（どう）関数（かんすう）によりグラフ上（じょう）の任意（にんい）の点（てん）での傾（かたむ）きを特定（とくてい）できます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn giữa tỷ lệ biến thiên trung bình trên một khoảng và hệ số vi phân tại một điểm.ある区間（くかん）での平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）と、1点（てん）での微分（びぶん）係数（けいすう）を混同（こんどう）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tỷ lệ biến thiên trung bình tính trên khoảng [a, b], còn hệ số vi phân là giới hạn của tỷ lệ đó khi khoảng thu về 0.平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）は区間（くかん） [a, b] 全体（ぜんたい）で計算（けいさん）されますが、微分（びぶん）係数（けいすう）はその区間（くかん）を 0 に縮小（しゅくしょう）した極限（きょくげん）値（ち）です。

Quên chia cho số gia biến số h khi lập biểu thức tính hệ số vi phân.微分（びぶん）係数（けいすう）の式（しき）を立（た）てる際（さい）に、変数（へんすう）の増分（ぞうぶん） h で割（わ）るのを忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn lập tỉ số số gia hàm số chia cho h trước khi thực hiện phép lấy giới hạn h tiến về 0.h を 0 に近（ちか）づける極限（きょくげん）を取（と）る前（まえ）に、必（かなら）ず関数（かんすう）の増分（ぞうぶん）を h で割（わ）った比（ひ）の形（かたち）を作成（さくせい）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Tỷ lệ biến thiên trung bình là tỉ số số gia trên một khoảng và biểu thị hệ số góc cát tuyến.平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）は区間（くかん）における増分（ぞうぶん）比（ひ）であり、割線（かっせん）の傾（かたむ）きを表（あらわ）す。
  • Hệ số vi phân là giới hạn của tỷ lệ biến thiên trung bình khi số gia tiến về 0 và biểu thị hệ số góc tiếp tuyến.微分（びぶん）係数（けいすう）は増分（ぞうぶん）を 0 に近（ちか）づけた極限（きょくげん）値（ち）であり、接線（せっせん）の傾（かたむ）きを表（あらわ）す。
  • Mở rộng hệ số vi phân với biến số tổng quát ta thu được định nghĩa hàm đạo hàm.微分（びぶん）係数（けいすう）を一般（いっぱん）の変数（へんすう）に対（たい）して拡張（かくちょう）することで導（どう）関数（かんすう）が定義（ていぎ）される。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

Công thức tính tỷ lệ biến thiên trung bình của hàm số f(x) trên đoạn [a, b]. Giá trị này thể hiện hệ số góc của đường cát tuyến nối hai điểm (a, f(a)) và (b, f(b)).

区間（くかん） [a, b] における関数（かんすう） f(x) の平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）を計算（けいさん）する公式（こうしき）です。この値（あたい）は2点（てん） (a, f(a)) と (b, f(b)) を結（むす）ぶ割線（かっせん）の傾（かたむ）きを表（あらわ）します。

f'(a) = \lim_{b \to a} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

Định nghĩa hệ số vi phân f'(a) dưới dạng giới hạn khi điểm b tiến dần về điểm a. Khi b tiến đến a, đường cát tuyến sẽ trở thành tiếp tuyến tại x = a.

点（てん） b が点（てん） a に近（ちか）づくときの極限（きょくげん）としての微分（びぶん）係数（けいすう） f'(a) の定義（ていぎ）式（しき）です。b が a に接近（せっきん）するとき、割線（かっせん）は x = a での接線（せっせん）に変化（へんか）します。

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Định nghĩa hệ số vi phân f'(a) biểu diễn theo số gia h = b - a khi h tiến về 0. Đây là dạng công thức phổ biến nhất được dùng để tính đạo hàm bằng định nghĩa.

増分（ぞうぶん） h = b - a を用（もち）いて、h が 0 に近（ちか）づく極限（きょくげん）として表（あらわ）した微分（びぶん）係数（けいすう） f'(a) の定義（ていぎ）式（しき）です。定義（ていぎ）に従（したが）って微分（びぶん）を計算（けいさん）する際（さい）に最（もっと）も頻繁（ひんぱん）に使用（しよう）されます。

f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}

Dạng biểu diễn tương đương của hệ số vi phân tại x = a với biến số x tiến về a. Công thức này trực quan cho thấy sự hội tụ của tỉ số số gia khi x tiệm cận a.

変数（へんすう） x が a に近（ちか）づくときの x = a における微分（びぶん）係数（けいすう）の等価（とうか）な表現（ひょうげん）形式（けいしき）です。x が a に接近（せっきん）する際（さい）の増分（ぞうぶん）比（ひ）の収束（しゅうそく）性（せい）を直感（ちょっかん）的（てき）に示（しめ）しています。

EJU 2026 · MATH.19.1

Bài học giúp bạn hiểu rõ khái niệm tỷ lệ biến thiên trung bình và quá trình giới hạn dẫn đến hệ số vi phân. Đây là nền tảng cơ bản của phép tính vi phân để xác định độ dốc tiếp tuyến và định nghĩa hàm đạo hàm.

本課（ほんか）では平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）の概念（がいねん）と、極限（きょくげん）操作（そうさ）によって微分（びぶん）係数（けいすう）を導出（どうしゅつ）する過程（かてい）を明確（めいかく）に理解（りかい）します。これは接線（せっせん）の傾（かたむ）きや導（どう）関数（かんすう）の定義（ていぎ）へと繋（つな）がる微分（びぶん）法（ほう）の基礎（きそ）基盤（きばん）となります。

平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）と微分（びぶん）係数（けいすう）
平均変化率微分係数変化率割線