Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Vi phân và tích phân Phần 2微分（びぶん）と積分（せきぶん） 第（だい）2部（ぶ）

Công thức公式

\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx
\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx
\int_a^b \{f(x) \pm g(x)\} dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx
\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx

Ví dụ例題

Cho biết tích phân của hàm f(x) trên đoạn [1, 3] bằng 4, và tích phân của f(x) trên đoạn [3, 5] bằng 2. Hãy tính giá trị biểu thức I = tích phân từ 5 đến 1 của 3 f(x) dx.

関数（かんすう） f(x) の区間（くかん） [1, 3] での定（てい）積分（せきぶん）が 4、区間（くかん） [3, 5] での定（てい）積分（せきぶん）が 2 であるとき、I = 定（てい）積分（せきぶん） (5 から 1) 3 f(x) dx の値（あたい）を求（もと）めなさい。

  1. Bước 1: Sử dụng quy tắc nối cận để tính tích phân từ 1 đến 5 của f(x) dx: tích phân từ 1 đến 5 bằng tích phân từ 1 đến 3 cộng tích phân từ 3 đến 5, bằng 4 + 2 = 6.手順（てじゅん）1：区間（くかん）の結合（けつごう）規則（きそく）を用（もち）いて 1 から 5 までの f(x) の定（てい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）すると、4 + 2 = 6 となります。
  2. Bước 2: Đổi cận từ [5, 1] thành -[1, 5] và đưa hệ số 3 ra ngoài: I = 3 * (-6) = -18.手順（てじゅん）2：上下（じょうげ）端（たん）を入れ替（いれか）えて符号（ふごう）を反転（はんてん）させ、定数（ていすう） 3 を外（そと）に出（だ）すと、I = 3 * (-6) = -18 となります。
Vậy giá trị của biểu thức tích phân I là -18.したがって、求（もと）める定（てい）積分（せきぶん） I の値（あたい）は -18 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho tích phân từ 2 đến 6 của f(x) dx bằng 5. Giá trị của tích phân từ 6 đến 2 của 2 f(x) dx là bao nhiêu?2 から 6 までの f(x) の定（てい）積分（せきぶん）が 5 であるとき、6 から 2 までの 2 f(x) の定（てい）積分（せきぶん）の値（あたい）はいくらか。

2. Cho tích phân từ 1 đến 4 của f(x) dx bằng 3 và tích phân từ 1 đến 4 của g(x) dx bằng 2. Tính tích phân từ 1 đến 4 của {2 f(x) - 3 g(x)} dx.1 から 4 までの f(x) の定（てい）積分（せきぶん）が 3、1 から 4 までの g(x) の定（てい）積分（せきぶん）が 2 のとき、1 から 4 までの {2 f(x) - 3 g(x)} の定（てい）積分（せきぶん）を求（もと）めよ。

3. Cho tích phân từ 0 đến 2 của f(x) dx bằng 3 và tích phân từ 0 đến 5 của f(x) dx bằng 8. Tính tích phân từ 2 đến 5 của f(x) dx.0 から 2 までの f(x) の定（てい）積分（せきぶん）が 3、0 から 5 までの f(x) の定（てい）積分（せきぶん）が 8 のとき、2 から 5 までの f(x) の定（てい）積分（せきぶん）を求（もと）めよ。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.1 · MATH.20.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.1 · MATH.20.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Vận dụng tính chất đổi cận và tính chất tuyến tính của tích phân xác định để biến đổi biểu thức.定（てい）積分（せきぶん）の端点（たんてん）入れ替（いれか）え性質（せいしつ）および線形（せんけい）性（せい）を利用（りよう）して数式（すうしき）を変形（へんけい）する。
  2. Áp dụng quy tắc nối đoạn tích phân để gộp các tích phân trên các khoảng kế tiếp nhau.積分（せきぶん）区間（くかん）の結合（けつごう）法則（ほうそく）を適用（てきよう）し、連続（れんぞく）する区間（くかん）上（じょう）の定（てい）積分（せきぶん）を統合（とうごう）する。
  3. Phân biệt mối quan hệ giữa tích phân xác định và hằng số tích phân trong tính toán.計算（けいさん）における定積（ていせき）分（ぶん）と積分（せきぶん）定数（ていすう）の関係（かんけい）を正確（せいかく）に区別（くべつ）する。
Trực giác · イメージ

Làm thế nào để tính nhanh biểu thức tích phân phức tạp mà không cần tìm nguyên hàm?原始（げんし）関数（かんすう）を求（もと）めずに複雑（ふくざつ）な定積（ていせき）分（ぶん）式（しき）を効率（こうりつ）よく計算（けいさん）するにはどうすればよいか？

Tích phân xác định có tính chất đại số linh hoạt cho phép cộng trừ các khoảng tích phân và đưa hằng số ra ngoài. Nhờ đó, ta có thể rút gọn các biểu thức tích phân phức tạp trước khi thực hiện tính toán chi tiết.

定（てい）積分（せきぶん）は区間（くかん）の結合（けつごう）や定数（ていすう）の括（くく）り出（だ）しといった柔軟（じゅうなん）な代数（だいすう）的（てき）性質（せいしつ）を持（も）っています。これにより、詳細（しょうさい）な計算（けいさん）を行（おこな）う前（まえ）に複雑（ふくざつ）な積分（せきぶん）式（しき）を簡略（かんりゃく）化（か）することができます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 定（てい）積分（せきぶん）の公式（こうしき）Công thức tích phân xác định

    Các công thức tích phân xác định là tập hợp các quy tắc biến đổi đại số đối với tích phân có cận. Chúng bao gồm quy tắc đổi cận, tính tuyến tính và tính chất nối liền các khoảng tích phân. Việc sử dụng thành thạo giúp rút gọn biểu thức trước khi tính toán.

    定（てい）積分（せきぶん）の公式（こうしき）とは端点（たんてん）を持（も）つ積分（せきぶん）に対（たい）する代数（だいすう）的（てき）な変形（へんけい）規則（きそく）の集（あつ）まりです。これには端点（たんてん）の入れ替（いれか）え、線形（せんけい）性（せい）、区間（くかん）の結合（けつごう）性質（せいしつ）が含（ふく）まれます。これらを使（つか）いこなすことで計算（けいさん）前（まえ）に式（しき）を簡略（かんりゃく）化（か）できます。

  • 積分（せきぶん）定数（ていすう）Hằng số tích phân

    Hằng số tích phân xuất hiện khi tìm nguyên hàm không xác định của một hàm số. Ngược lại, trong tích phân xác định, hằng số này bị triệt tiêu khi lấy hiệu giá trị tại hai cận. Do đó giá trị của tích phân xác định là một số thực cụ thể.

    積分（せきぶん）定数（ていすう）は不定（ふてい）積分（せきぶん）を求（もと）めた際（さい）に現（あらわ）れる任意（にんい）定数（ていすう）です。一方（いっぽう）、定積（ていせき）分（ぶん）では上下（じょうげ）端（たん）の代入（だいにゅう）値（ち）の引き算（ひきざん）によってこの定数（ていすう）が相殺（そうさい）されます。したがって定（てい）積分（せきぶん）の値（あたい）は具体（ぐたい）的（てき）なひとつの実数（じっすう）となります。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    積分（せきぶん）区間（くかん）の上下（じょうげ）端（たん）の入れ替（いれか）え規則（きそく）

    Sử dụng quy tắc đảo ngược cận tích phân

    Khi đổi chỗ hai cận trên và cận dưới của tích phân xác định, dấu của tích phân sẽ đổi thành dấu ngược lại. Công thức này giúp đưa các tích phân về cùng dạng cận để dễ so sánh và rút gọn.

    定（てい）積分（せきぶん）の上端（じょうたん）と下端（したば）を入れ替（いれか）えると、積分（せきぶん）の符号（ふごう）が反転（はんてん）します。この公式（こうしき）により、積分（せきぶん）区間（くかん）を揃（そろ）えて比較（ひかく）や約分（やくぶん）を容易（ようい）に行（おこな）うことができます。

  2. 02
    定数（ていすう）倍（ばい）の括（くく）り出（だ）しと和（わ）・差（さ）の分解（ぶんかい）

    Đưa hằng số và tách tổng hiệu các hàm số

    Thừa số hằng số k có thể đưa ra ngoài dấu tích phân xác định. Đồng thời, tích phân của một tổng hay hiệu bằng tổng hay hiệu các tích phân thành phần.

    定数（ていすう）係数（けいすう） k は定（てい）積分（せきぶん）の記号（きごう）の外（そと）へ括（くく）り出（だ）すことができます。また、関数（かんすう）の和（わ）や差（さ）の定積（ていせき）分（ぶん）は、それぞれの定（てい）積分（せきぶん）の和（わ）や差（さ）に分解（ぶんかい）できます。

  3. 03
    連続（れんぞく）する積分（せきぶん）区間（くかん）の結合（けつごう）

    Nối liền các khoảng tích phân kế tiếp

    Nếu cận trên của tích phân thứ nhất trùng với cận dưới của tích phân thứ hai, ta có thể cộng hai tích phân thành một tích phân duy nhất. Quy tắc này đúng với mọi điểm trung gian c nằm trong hoặc ngoài khoảng.

    最初（さいしょ）の定（てい）積分（せきぶん）の上端（じょうたん）が次（つぎ）の定（てい）積分（せきぶん）の下端（したば）と一致（いっち）する場合（ばあい）、2つの定（てい）積分（せきぶん）を1つに結合（けつごう）できます。この規則（きそく）は中間（ちゅうかん）点（てん） c が区間（くかん）の内側（うちがわ）にあっても外側（そとがわ）にあっても成立（せいりつ）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên đổi dấu khi đảo ngược hai cận của tích phân xác định.定（てい）積分（せきぶん）の上下（じょうげ）端（たん）を入れ替（いれか）える際（さい）に符号（ふごう）を反転（はんてん）し忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn nhớ đặt dấu trừ trước tích phân khi đổi vị trí cận trên và cận dưới.上端（じょうたん）と下端（したば）の位置（いち）を入れ替（いれか）えるときは、必（かなら）ず積分（せきぶん）の前（まえ）にマイナス記号（きごう）を付（つ）けます。

Cộng hằng số tích phân C vào kết quả của tích phân xác định.定（てい）積分（せきぶん）の計算（けいさん）結果（けっか）に積分（せきぶん）定数（ていすう） C を加（くわ）えてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tích phân xác định cho kết quả là một số cụ thể, hằng số C đã bị triệt tiêu nên không viết C.定（てい）積分（せきぶん）は具体（ぐたい）的（てき）な数値（すうち）を返（かえ）すため、定数（ていすう） C は相殺（そうさい）されており書（か）きません。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Đổi thứ tự cận trên và cận dưới làm tích phân xác định đổi dấu.積分（せきぶん）区間（くかん）の上下（じょうげ）端（たん）を入れ替（いれか）えると定（てい）積分（せきぶん）の符号（ふごう）が反転（はんてん）する。
  • Tích phân xác định có tính tuyến tính, cho phép tách tổng hiệu và đưa hệ số ra ngoài.定（てい）積分（せきぶん）は線形（せんけい）性（せい）を持（も）ち、和（わ）・差（さ）の分解（ぶんかい）や定数（ていすう）倍（ばい）の括（くく）り出（だ）しが可能（かのう）である。
  • Các khoảng tích phân liên tiếp có thể nối lại với nhau qua cận chung.共通（きょうつう）の端点（たんてん）を介（かい）して連続（れんぞく）する積分（せきぶん）区間（くかん）を1つに結合（けつごう）できる。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx

Công thức thể hiện rằng khi đảo ngược hai cận tích phân, giá trị của tích phân đổi dấu. Điều này giúp đưa cận về thứ tự chuẩn từ nhỏ đến lớn.

積分（せきぶん）の上下（じょうげ）端（たん）を入れ替（いれか）えると値（あたい）の符号（ふごう）が反転（はんてん）することを示（しめ）す公式（こうしき）です。これにより区間（くかん）を小（しょう）から大（だい）への標準（ひょうじゅん）的（てき）な順序（じゅんじょ）に整（ととの）えることができます。

\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx

Hằng số k không phụ thuộc vào biến tích phân x nên có thể đưa ra ngoài dấu tích phân. Điều này làm cho biểu thức bên trong tích phân đơn giản hơn.

定数（ていすう） k は積分（せきぶん）変数（へんすう） x に依存（いぞん）しないため積分（せきぶん）の外（そと）へ出（だ）すことができます。これにより積分（せきぶん）記号（きごう）の中（なか）の式（しき）を簡素（かんそ）化（か）できます。

\int_a^b \{f(x) \pm g(x)\} dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx

Tính chất tuyến tính cho phép lấy tích phân từng phép cộng hoặc trừ độc lập. Quy tắc này giúp tính riêng từng phần của biểu thức phức tạp.

線形（せんけい）性（せい）により、和（わ）や差（さ）の各項（かくこう）に対（たい）して独立（どくりつ）して積分（せきぶん）を行（おこな）うことができます。この規則（きそく）は複雑（ふくざつ）な式（しき）の各（かく）部分（ぶぶん）を個別（こべつ）に計算（けいさん）するのに役立（やくだ）ちます。

\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx

Tích phân trên đoạn từ a đến b có thể tách thành tổng hai tích phân qua điểm trung gian c. Quy tắc này rất hữu ích khi ghép hoặc chia nhỏ khoảng tích phân.

a から b までの定積（ていせき）分（ぶん）は中間（ちゅうかん）点（てん） c を介（かい）した2つの定（てい）積分（せきぶん）の和（わ）に分割（ぶんかつ）できます。この規則（きそく）は積分（せきぶん）区間（くかん）を統合（とうごう）または細分（さいぶん）化（か）する際（さい）に非常（ひじょう）に有用（ゆうよう）です。

EJU 2026 · MATH.19.1 · MATH.20.1

Bài học cung cấp các tính chất cơ bản của tích phân xác định giúp đơn giản hóa việc tính toán. Việc nắm vững các quy tắc đổi cận, tách hệ số và nối cận tích phân là chìa khóa giải quyết bài toán nhanh chóng.

本課（ほんか）では計算（けいさん）を簡略（かんりゃく）化（か）するための定（てい）積分（せきぶん）の基本（きほん）性質（せいしつ）を学（まな）びます。積分（せきぶん）区間（くかん）の入れ替（いれか）え、定数（ていすう）倍（ばい）のくくり出（だ）し、区間（くかん）の結合（けつごう）規則（きそく）をマスターすることが迅速（じんそく）な問題（もんだい）解決（かいけつ）の鍵（かぎ）となります。

微分（びぶん）と積分（せきぶん） 第（だい）2部（ぶ）
定積分の公式積分定数