Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Ứng dụng vào giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác三角（さんかく）関数（かんすう）の最大（さいだい）・最小（さいしょう）への応用（おうよう）

Công thức公式

cos(\alpha-\beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta
cos 2x = 2cos^2 x - 1
sin x cos x = \frac{t^2 - 1}{2}
sin^2 x = \frac{1 - cos 2x}{2}

Ví dụ例題

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(y = \cos 2 x - 2 \cos x\).

式（しき） \(y = \cos 2 x - 2 \cos x\) の最大（さいだい）値（ち）と最小（さいしょう）値（ち）を求（もと）めます。

  1. Áp dụng công thức cos 2x = 2cos^2 x - 1 để viết lại y = 2cos^2 x - 2cos x - 1.公式（こうしき） cos 2x = 2cos^2 x - 1 を適用（てきよう）して y = 2cos^2 x - 2cos x - 1 と変形（へんけい）します。
  2. Đặt \(t = \cos x\) với miền giá trị -1 <= t <= 1, ta được hàm số bậc hai \(y = 2 t^{2} - 2 t - 1\).-1 <= t <= 1 の範囲（はんい）で \(t = \cos x\) と置換（ちかん）すると、2次（じ）関数（かんすう） \(y = 2 t^{2} - 2 t - 1\) が得（え）られます。
  3. Biến đổi thành \(y = 2 (t - 1 / 2)^{2} - 3 / 2\). Tại t = 1/2, y đạt giá trị nhỏ nhất bằng -3/2.\(y = 2 (t - 1 / 2)^{2} - 3 / 2\) と変形（へんけい）できます。t = 1/2 のとき、最小（さいしょう）値（ち） -3/2 をとります。
  4. Tại t = -1, \(y = 2 (-1)^{2} - 2 (-1) - 1 = 3\) là giá trị lớn nhất. Tại t = 1, y = -1.t = -1 のとき、最大（さいだい）値（ち） 3 をとります。t = 1 のとき y = -1 となります。
Vậy giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -3/2.したがって、最大（さいだい）値（ち）は 3、最小（さいしょう）値（ち）は -3/2 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Biểu thức \(\cos 2 x + 4 \cos x\) khi đặt \(t = \cos x\) (với -1 <= t <= 1) biến đổi thành hàm số bậc hai nào?\(t = \cos x\) (-1 <= t <= 1) と置換（ちかん）したとき、式（しき） \(\cos 2 x + 4 \cos x\) はどの2次（じ）関数（かんすう）に変形（へんけい）されますか。

2. Cho biểu thức \(y = \sin x \cos x\). Khi đặt \(t = \sin x + \cos x\), sử dụng công thức \(\sin x \cos x = (t^{2} - 1) / 2\), giá trị của y khi t = 1 bằng bao nhiêu?式（しき） \(y = \sin x \cos x\) において、\(t = \sin x + \cos x\) と置（お）き、公式（こうしき） \(\sin x \cos x = (t^{2} - 1) / 2\) を用（もち）いるとき、t = 1 での y の値（あたい）はいくらですか。

3. Sử dụng công thức sin^2 x = (1 - cos 2x)/2, khi cos 2x = -1, giá trị của sin^2 x bằng bao nhiêu?公式（こうしき） sin^2 x = (1 - cos 2x)/2 を用（もち）いるとき、cos 2x = -1 での sin^2 x の値（あたい）はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.11.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.11.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững phương pháp đặt ẩn phụ đưa biểu thức lượng giác về hàm số bậc hai.三角（さんかく）関数（かんすう）を置換（ちかん）して2次（じ）関数（かんすう）に帰着（きちゃく）させる方法（ほうほう）をマスターする。
  2. Vận dụng công thức góc nhân đôi và công thức góc chia đôi để đơn giản hóa biểu thức.2倍角（ばいかく）の公式（こうしき）と半角（はんかく）の公式（こうしき）を活用（かつよう）して式（しき）を簡素（かんそ）化（か）する。
Trực giác · イメージ

Chuyển đổi lượng giác về dạng bậc hai quen thuộc三角（さんかく）関数（かんすう）を馴染（なじ）みのある2次（じ）形式（けいしき）へ変換（へんかん）する

Khi gặp biểu thức lượng giác phức tạp, việc đặt ẩn phụ giúp chuyển bài toán về hàm số bậc hai trên một miền giá trị xác định. Nhờ đó, ta dễ dàng tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

複雑（ふくざつ）な三角（さんかく）関数（かんすう）が出現（しゅつげん）した際（さい）、置換（ちかん）を行（おこな）うことで定義（ていぎ）域（いき）上（じょう）の2次（じ）関数（かんすう）の問題（もんだい）に帰着（きちゃく）できます。これにより、式（しき）の最大（さいだい）値（ち）と最小（さいしょう）値（ち）を容易（ようい）に求（もと）めることが可能（かのう）になります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 最大（さいだい）値（ち）giá trị lớn nhất

    Giá trị lớn nhất của hàm số trên miền xác định cho trước.

    与（あた）えられた定義（ていぎ）域（いき）における関数（かんすう）の最大（さいだい）の値（あたい）です。

  • 最小（さいしょう）値（ち）giá trị nhỏ nhất

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền xác định cho trước.

    与（あた）えられた定義（ていぎ）域（いき）における関数（かんすう）の最小（さいしょう）の値（あたい）です。

  • 2次（じ）関数（かんすう）hàm số bậc hai

    Hàm số có dạng bậc hai đối với biến số, thường dùng sau khi đặt ẩn phụ.

    変数（へんすう）に対（たい）する2次（つぎ）の関数（かんすう）であり、置換（ちかん）後（ご）によく利用（りよう）されます。

  • 置換（ちかん）đặt ẩn phụ

    Phương pháp đặt biến phụ để đơn giản hóa biểu thức lượng giác phức tạp.

    複雑（ふくざつ）な三角（さんかく）関数（かんすう）を簡素（かんそ）化（か）するために新（あたら）しい変数（へんすう）を導入（どうにゅう）する手法（しゅほう）です。

  • 半角（はんかく）の公式（こうしき）công thức góc chia đôi

    Công thức biến đổi bình phương lượng giác về góc gấp đôi để hạ bậc biểu thức.

    次数（じすう）を下（さ）げるために2乗（のり）の三角（さんかく）関数（かんすう）を2倍角（ばいかく）に変換（へんかん）する公式（こうしき）です。

  • 2倍角（ばいかく）の公式（こうしき）công thức góc nhân đôi

    Công thức biểu diễn hàm số lượng giác của góc 2x qua góc x.

    角（かく）2xの三角（さんかく）関数（かんすう）を角（かど）xで表（あらわ）すための公式（こうしき）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：置換（ちかん）と変域（へんいき）の決定（けってい）

    Bước 1: Đặt ẩn phụ và xác định miền giá trị

    Đặt ẩn phụ thích hợp như \(t = \cos x\) hoặc \(t = \sin x + \cos x\). Sau đó xác định chính xác tập giá trị của t.

    \(t = \cos x\) や \(t = \sin x + \cos x\) などの適当（てきとう）な置換（ちかん）を行（おこな）います。その後（あと）、tのとり得（え）る値（あたい）の範囲（はんい）を正確（せいかく）に決定（けってい）します。

  2. 02
    ステップ2：2次（じ）関数（かんすう）への変形（へんけい）

    Bước 2: Biến đổi về hàm số bậc hai

    Sử dụng các công thức lượng giác để biểu diễn biểu thức ban đầu theo ẩn phụ t dưới dạng hàm số bậc hai.

    三角（さんかく）関数（かんすう）の公式（こうしき）を用（もち）いて、元（もと）の式（しき）を置換（ちかん）変数（へんすう）tの2次（じ）関数（かんすう）として表（あらわ）します。

  3. 03
    ステップ3：最大（さいだい）値（ち）と最小（さいしょう）値（ち）の導出（どうしゅつ）

    Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

    Khảo sát hàm số bậc hai trên miền giá trị của t để tìm đỉnh và các giá trị biên. Từ đó kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

    tの変域（へんいき）上（じょう）で2次（じ）関数（かんすう）を解析（かいせき）し、頂点（ちょうてん）や端点（たんてん）を調（しら）べます。それにより最大（さいだい）値（ち）と最小（さいしょう）値（ち）を決定（けってい）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên xác định điều kiện miền giá trị của ẩn phụ t sau khi đặt.置換（ちかん）変数（へんすう）tの変域（へんいき）条件（じょうけん）の確認（かくにん）を忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn chú ý điều kiện của t, ví dụ như -\(1 \le \cos x \le 1\), để không lấy các giá trị nằm ngoài miền xác định.-\(1 \le \cos x \le 1\) などのtの範囲（はんい）を常（つね）に意識（いしき）し、定義（ていぎ）域外（いきがい）の値（あたい）をとらないようにします。

Áp dụng sai công thức góc nhân đôi \(\cos 2 x\) dẫn đến sai dấu hoặc sai hệ số.\(\cos 2 x\) の2倍角（ばいかく）の公式（こうしき）の適用（てきよう）を誤（あやま）り、符号（ふごう）や係数（けいすう）を間違（まちが）えること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Kiểm tra kỹ công thức cos 2x = 2cos^2 x - 1 trước khi thế vào biểu thức bậc hai.2次式（じしき）に代入（だいにゅう）する前（まえ）に cos 2x = 2cos^2 x - 1 の公式（こうしき）を正確（せいかく）に確認（かくにん）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Đặt ẩn phụ giúp biến đổi biểu thức lượng giác về hàm số bậc hai quen thuộc.置換（ちかん）により三角（さんかく）関数（かんすう）を馴染（なじ）みのある2次（じ）関数（かんすう）へ変換（へんかん）します。
  • Luôn kiểm tra miền xác định của ẩn phụ t trước khi tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.最大（さいだい）値（ち）・最小（さいしょう）値（ち）を求（もと）める前（まえ）に、必（かなら）ず置換（ちかん）変数（へんすう）tの定義（ていぎ）域（いき）を確認（かくにん）します。
  • Sử dụng chính xác các công thức góc nhân đôi và góc chia đôi để hạ bậc biểu thức.次数（じすう）を下（さ）げるために2倍角（ばいかく）や半角（はんかく）の公式（こうしき）を正確（せいかく）に使用（しよう）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

cos(\alpha-\beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta

Công thức cộng cho cosin của hiệu hai góc.

2つの角（かど）の差（さ）に対（たい）するコサインの加法（かほう）定理（ていり）です。

cos 2x = 2cos^2 x - 1

Công thức góc nhân đôi của cosin biểu diễn theo \(\cos x\).

\(\cos x\) を用（もち）いて表（あらわ）したコサインの2倍角（ばいかく）の公式（こうしき）です。

sin x cos x = \frac{t^2 - 1}{2}

Biểu diễn tích \(\sin x \cos x\) khi đặt \(t = \sin x + \cos x\).

\(t = \sin x + \cos x\) と置換（ちかん）した際（さい）の \(\sin x \cos x\) の積（せき）の表現（ひょうげん）です。

sin^2 x = \frac{1 - cos 2x}{2}

Công thức góc chia đôi giúp hạ bậc sin^2 x về cos 2x.

sin^2 x の次数（じすう）を cos 2x に下（さ）げる半角（はんかく）の公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.11.1

Bài học giúp bạn ứng dụng biến đổi góc và đặt ẩn phụ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác.

本課（ほんか）では、角（かど）の変形（へんけい）と置換（ちかん）を利用（りよう）して三角（さんかく）関数（かんすう）の最大（さいだい）値（ち）と最小（さいしょう）値（ち）を求（もと）める方法（ほうほう）を学（まな）びます。

三角（さんかく）関数（かんすう）の最大（さいだい）・最小（さいしょう）への応用（おうよう）
最大値最小値2次関数置換