Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Véc-tơ trong mặt phẳng và không gian Phần 2平面（へいめん）と空間（くうかん）のベクトル 第（だい）2部（ぶ）

Công thức公式

AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}
OP = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3
\cos\theta = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}

Ví dụ例題

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ \(\vec{a}\) = (1, 2, 2) và \(\vec{b}\) = (2, -1, k). Tìm giá trị của k để hai véc-tơ vuông góc với nhau.

Oxyz空間（くうかん）において、2つのベクトル\(\vec{a}\) = (1, 2, 2)と\(\vec{b}\) = (2, -1, k)が与（あた）えられています。2つのベクトルが垂直（すいちょく）になるようなkの値（あたい）を求（もと）めなさい。

  1. Áp dụng điều kiện vuông góc: hai véc-tơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = 0.垂直（すいちょく）条件（じょうけん）を適用（てきよう）します：2つのベクトルが垂直（すいちょく）であるための必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）は内積（ないせき）\(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = 0です。
  2. Tính tích vô hướng theo tọa độ: \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = 1*2 + 2*(-1) + 2*k = 2 - 2 + 2k = 2k.成分（せいぶん）による内積（ないせき）を計算（けいさん）します：\(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\) = 1*2 + 2*(-1) + 2*k = 2 - 2 + 2k = 2k。
  3. Cho 2k = 0, suy ra k = 0.2k = 0とおくと、k = 0が得（え）られます。
Giá trị k = 0 giúp hai véc-tơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) vuông góc với nhau.k = 0の値（あたい）により、2つのベクトル\(\vec{a}\)と\(\vec{b}\)は互（たが）いに垂直（すいちょく）になります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính độ dài đoạn thẳng OP từ gốc O(0, 0, 0) đến điểm P(2, 3, 6) trong không gian Oxyz.Oxyz空間（くうかん）において、原点（げんてん）O(0, 0, 0)から点（てん）P(2, 3, 6)までの線分（せんぶん）OPの長（なが）さを計算（けいさん）しなさい。

2. Cho hai véc-tơ không gian \(\vec{a}\) = (1, 2, 3) và \(\vec{b}\) = (4, -2, 1). Tính tích vô hướng \(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\).2つの空間（くうかん）ベクトル\(\vec{a}\) = (1, 2, 3)と\(\vec{b}\) = (4, -2, 1)が与（あた）えられています。内積（ないせき）\(\vec{a}\) \(\cdot\) \(\vec{b}\)を計算（けいさん）しなさい。

3. Cho hai véc-tơ \(\vec{a}\) = (2, 1, -1) và \(\vec{b}\) = (1, 0, x). Tìm x để hai véc-tơ vuông góc với nhau.2つのベクトル\(\vec{a}\) = (2, 1, -1)と\(\vec{b}\) = (1, 0, x)があります。2つのベクトルが垂直（すいちょく）になるようなxを求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.1 · MATH.14.2 · MATH.14.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.1 · MATH.14.2 · MATH.14.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Tính khoảng cách giữa hai điểm và độ dài véc-tơ trong không gian 3 chiều.3次元（じげん）空間（くうかん）における2点（てん）間（かん）の距離（きょり）とベクトルの長（なが）さを計算（けいさん）する。
  2. Tính tích vô hướng và góc giữa hai véc-tơ trong không gian.空間（くうかん）ベクトルの内積（ないせき）となす角（かく）を計算（けいさん）する。
  3. Sử dụng điều kiện tích vô hướng bằng 0 để kiểm tra tính vuông góc giữa hai véc-tơ.内積（ないせき）が0という条件（じょうけん）を用（もち）いて2つのベクトルの垂直（すいちょく）条件（じょうけん）を判定（はんてい）する。
Trực giác · イメージ

Mở rộng từ mặt phẳng ra không gian 3D平面（へいめん）から3D空間（くうかん）への拡張（かくちょう）

Thêm trục z giúp xác định chính xác các đối tượng trong không gian 3 chiều. Mọi công thức tính tích vô hướng và độ dài được bổ sung thành phần cao độ z.

z軸（じく）を追加（ついか）することで3次元（じげん）空間（くうかん）内（ない）のオブジェクトを正確（せいかく）に特定（とくてい）できます。内積（ないせき）や長（なが）さのすべての公式（こうしき）にz成分（せいぶん）が追加（ついか）されます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 重心（じゅうしん）Trọng tâm

    Trọng tâm của tam giác là điểm giao nhau của ba đường trung tuyến. Véc-tơ vị trí của trọng tâm bằng trung bình cộng các véc-tơ vị trí của ba đỉnh.

    三角形（さんかくけい）の重心（じゅうしん）は3本（ほん）の中線（ちゅうせん）の交点（こうてん）です。重心（じゅうしん）の位置（いち）ベクトルは3つの頂点（ちょうてん）の位置（いち）ベクトルの算術（さんじゅつ）平均（へいきん）に等（ひと）しくなります。

  • 空間（くうかん）の座標（ざひょう）Tọa độ trong không gian

    Hệ tọa độ không gian gồm ba trục vuông góc x, y, z đôi một tại gốc O. Mỗi điểm trong không gian được xác định bởi một bộ ba số (x, y, z).

    空間（くうかん）座標（ざひょう）系（けい）は原点（げんてん）Oで互（たが）いに直交（ちょっこう）する3つの軸（じく）x, y, zで構成（こうせい）されます。空間（くうかん）内（ない）の各点（かくてん）は3つの数（かず）の組（くみ）(x, y, z)によって決定（けってい）されます。

  • 空間（くうかん）ベクトルの内積（ないせき）Tích vô hướng của véc-tơ không gian

    Tích vô hướng của hai véc-tơ không gian \(\vec{a}\)=(a1,a2,a3) và \(\vec{b}\)=(b1,b2,b3) bằng tổng a1*b1 + a2*b2 + a3*b3. Kết quả thu được là một số thực.

    空間（くうかん）ベクトル\(\vec{a}\)=(a1,a2,a3)と\(\vec{b}\)=(b1,b2,b3)の内積（ないせき）は和（わ）a1*b1 + a2*b2 + a3*b3に等（ひと）しいです。得（え）られる結果（けっか）は実数（じっすう）です。

  • 垂直（すいちょく）条件（じょうけん）Điều kiện vuông góc

    Hai véc-tơ khác véc-tơ 0 vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0. Trong không gian, điều này tương đương tổng tích các tọa độ bằng 0.

    零（れい）ベクトルでない2つのベクトルは、それらの内積（ないせき）が0である場合（ばあい）に限（かぎ）り互（たが）いに垂直（すいちょく）です。空間（くうかん）では成分（せいぶん）の積（せき）の和（わ）が0であることに相当（そうとう）します。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    空間（くうかん）座標（ざひょう）とベクトルの設定（せってい）

    Xác định tọa độ và véc-tơ không gian

    Viết tọa độ ba thành phần (x, y, z) cho các điểm và véc-tơ trong không gian. Kiểm tra kỹ thứ tự các trục hoành, tung và cao độ.

    空間（くうかん）内（ない）の点（てん）とベクトルについて3つの成分（せいぶん）(x, y, z)を記述（きじゅつ）します。x軸（じく）、y軸（じく）、z軸（じく）の順序（じゅんじょ）を注意（ちゅうい）深（ふか）く確認（かくにん）します。

  2. 02
    長（なが）さと距離（きょり）の計算（けいさん）

    Tính độ dài và khoảng cách

    Áp dụng công thức căn bậc hai tổng bình phương các hiệu tọa độ để tính độ dài đoạn AB hoặc véc-tơ. Đảm bảo tính toán chính xác bình phương từng thành phần.

    成分（せいぶん）の差（さ）の自乗（じじょう）和（わ）の平方（へいほう）根（ね）の公式（こうしき）を適用（てきよう）して、線分（せんぶん）ABまたはベクトルの長（なが）さを計算（けいさん）します。各（かく）成分（せいぶん）の二（に）乗（じょう）を正確（せいかく）に計算（けいさん）します。

  3. 03
    垂直（すいちょく）条件（じょうけん）の判定（はんてい）

    Xét điều kiện vuông góc

    Tính tích vô hướng a1*b1 + a2*b2 + a3*b3 và cho kết quả bằng 0. Từ đó giải phương trình để tìm tham số chưa biết.

    内積（ないせき）a1*b1 + a2*b2 + a3*b3を計算（けいさん）し、その結果（けっか）を0と置（お）きます。そこから方程（ほうてい）式（しき）を解（と）いて未知（みち）のパラメータを求（もと）めます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên thành phần z khi tính tích vô hướng hoặc độ dài véc-tơ không gian, áp dụng nhầm công thức 2 chiều.空間（くうかん）ベクトルの内積（ないせき）や長（なが）さを計算（けいさん）する際（さい）にz成分（せいぶん）を忘（わす）れ、誤（あやま）って2次元（じげん）の公式（こうしき）を適用（てきよう）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn ghi nhớ véc-tơ không gian có 3 tọa độ (x, y, z) và phải cộng đủ cả a3*b3 hay \(z^{2}\).空間（くうかん）ベクトルには3つの座標（ざひょう）(x, y, z)があり、a3*b3や\(z^{2}\)もすべて加算（かさん）する必要（ひつよう）があることを常（つね）に覚（おぼ）えておきます。

Cho rằng hai véc-tơ vuông góc khi tích vô hướng bằng 1 thay vì bằng 0.内積（ないせき）が0ではなく1のときに2つのベクトルが垂直（すいちょく）であると誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Điều kiện vuông góc đúng là tích vô hướng bằng 0 vì cos(90 deg) = 0.cos(90度（ど）) = 0であるため、正（ただ）しい垂直（すいちょく）条件（じょうけん）は内積（ないせき）が0であることです。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Khoảng cách và độ dài véc-tơ không gian được tính bằng căn bậc hai tổng bình phương các hiệu tọa độ 3 chiều.空間（くうかん）ベクトルの距離（きょり）と長（なが）さは、3次元（じげん）の成分（せいぶん）の差（さ）の自乗（じじょう）和（わ）の平方（へいほう）根（ね）によって計算（けいさん）されます。
  • Tích vô hướng của véc-tơ không gian là tổng các tích tọa độ a1*b1 + a2*b2 + a3*b3.空間（くうかん）ベクトルの内積（ないせき）は成分（せいぶん）の積（せき）の和（わ）a1*b1 + a2*b2 + a3*b3です。
  • Hai véc-tơ không gian vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.2つの空間（くうかん）ベクトルは内積（ないせき）が0である場合（ばあい）に限（かぎ）り互（たが）いに垂直（すいちょく）です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}

Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A(x1, y1, z1) và B(x2, y2, z2) trong không gian 3D. Đây là mở rộng của định lý Pytago sang không gian 3 chiều.

3D空間（くうかん）における2点（てん）A(x1, y1, z1)とB(x2, y2, z2)の間（あいだ）の距離（きょり）を計算（けいさん）する公式（こうしき）です。これは3次元（じげん）空間（くうかん）へのピタゴラスの定理（ていり）の拡張（かくちょう）です。

OP = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

Công thức tính độ dài của véc-tơ vị trí OP từ gốc tọa độ O(0,0,0) đến điểm P(x,y,z). Độ dài bằng căn bậc hai tổng bình phương các tọa độ.

原点（げんてん）O(0,0,0)から点（てん）P(x,y,z)への位置（いち）ベクトルOPの長（なが）さを計算（けいさん）する公式（こうしき）です。長（なが）さは成分（せいぶん）の自乗（じじょう）和（わ）の平方（へいほう）根（ね）に等（ひと）しいです。

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

Công thức tính tích vô hướng của hai véc-tơ không gian từ tọa độ các thành phần. Bằng tổng các tích tương ứng của ba tọa độ x, y, z.

各（かく）成分（せいぶん）の座標（ざひょう）から2つの空間（くうかん）ベクトルの内積（ないせき）を計算（けいさん）する公式（こうしき）です。x, y, zの3つの座標（ざひょう）の対応（たいおう）する積（せき）の和（わ）に等（ひと）しいです。

\cos\theta = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}

Công thức xác định cosin của góc \(\theta\) giữa hai véc-tơ không gian thông qua tọa độ. Tử số là tích vô hướng, mẫu số là tích hai độ dài.

成分（せいぶん）を通（つう）じて2つの空間（くうかん）ベクトルのなす角（かく）\(\theta\)の余弦（よげん）を決定（けってい）する公式（こうしき）です。分子（ぶんし）は内積（ないせき）、分母（ぶんぼ）は2つの長（なが）さの積（せき）です。

EJU 2026 · MATH.14.1 · MATH.14.2 · MATH.14.3

Tọa độ không gian mở rộng khái niệm véc-tơ lên 3 chiều với các trục x, y, z. Tích vô hướng không gian là công cụ quan trọng để xác định độ dài và điều kiện vuông góc.

空間（くうかん）座標（ざひょう）はベクトル概念（がいねん）をx、y、z軸（じく）の3次元（じげん）に拡張（かくちょう）します。空間（くうかん）ベクトルの内積（ないせき）は長（なが）さと垂直（すいちょく）条件（じょうけん）を決定（けってい）するための重要（じゅうよう）なツールです。

平面（へいめん）と空間（くうかん）のベクトル 第（だい）2部（ぶ）
重心空間の座標空間ベクトルの内積垂直条件