Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Vi phân và tích phân Phần 1微分（びぶん）と積分（せきぶん） 第（だい）1部（ぶ）

Công thức公式

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C
\int k f(x) dx = k \int f(x) dx + C
\int \{f(x) \pm g(x)\} dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx + C

Ví dụ例題

(1) Dùng định nghĩa tính đạo hàm của f(x) = x^2. (2) Tính tích phân bất định \(\int\) (3x^2 + 2x) dx.

(1) 定義（ていぎ）に従（したが）って f(x) = x^2 の導（どう）関数（かんすう）を求（もと）めなさい。(2) 不定（ふてい）積分（せきぶん） \(\int\) (3x^2 + 2x) dx を計算（けいさん）しなさい。

  1. Với (1), lập tỉ số \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\) = \(\frac{(x+h)^2 - x^2}{h}\) = \(\frac{2xh + h^2}{h}\) = 2x + h.(1)について、変化（へんか）率（りつ）の式（しき） \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\) = \(\frac{(x+h)^2 - x^2}{h}\) = \(\frac{2xh + h^2}{h}\) = 2x + h を作（つく）ります。
  2. Cho h tiến về 0, ta được f'(x) = \(\lim_{h \to 0}\) (2x + h) = 2x.hを0に近（ちか）づけると、f'(x) = \(\lim_{h \to 0}\) (2x + h) = 2x となります。
  3. Với (2), tách tích phân \(\int\) (3x^2 + 2x) dx = 3 \(\int\) x^2 dx + 2 \(\int\) x dx = 3 \(\cdot\) \(\frac{x^3}{3}\) + 2 \(\cdot\) \(\frac{x^2}{2}\) + C = x^3 + x^2 + C.(2)について、項（こう）別（べつ）に積分（せきぶん）を行（おこな）うと \(\int\) (3x^2 + 2x) dx = 3 \(\int\) x^2 dx + 2 \(\int\) x dx = 3 \(\cdot\) \(\frac{x^3}{3}\) + 2 \(\cdot\) \(\frac{x^2}{2}\) + C = x^3 + x^2 + C となります。
Ta có f'(x) = 2x và tích phân bất định là \(x^{3} + x^{2} + C\).導（どう）関数（かんすう）は f'(x) = 2x であり、不定（ふてい）積分（せきぶん）は \(x^{3} + x^{2} + C\) となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hàm số f(x) = 3x. Tính f'(x) bằng định nghĩa đạo hàm.関数（かんすう） f(x) = 3x について、導（どう）関数（かんすう）の定義（ていぎ）を用（もち）いて f'(x) を求（もと）めなさい。

2. Tính tích phân bất định \(\int\) x^3 dx.不定（ふてい）積分（せきぶん） \(\int\) x^3 dx を計算（けいさん）しなさい。

3. Tính tích phân bất định \(\int\) (6x^2 + 4x) dx.不定（ふてい）積分（せきぶん） \(\int\) (6x^2 + 4x) dx を計算（けいさん）しなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.1 · MATH.20.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.1 · MATH.20.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu định nghĩa hàm số đạo hàm f'(x) qua giới hạn tỉ số số gia.変化（へんか）率（りつ）の極限（きょくげん）による導（どう）関数（かんすう）f'(x)の定義（ていぎ）を理解（りかい）する。
  2. Áp dụng thành thạo công thức tích phân bất định cho hàm lũy thừa \(x^{n}\).冪（べき）関数（かんすう）\(x^{n}\)の不定（ふてい）積分（せきぶん）公式（こうしき）を正確（せいかく）に適用（てきよう）できる。
  3. Vận dụng các tính chất hằng số và tổng hiệu để tính tích phân của hàm đa thức.定数（ていすう）倍（ばい）および和差（わさ）の性質（せいしつ）を用（もち）いて多項（たこう）関数（かんすう）の不定（ふてい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）する。
Trực giác · イメージ

Mối liên hệ ngược giữa đạo hàm và tích phân微分（びぶん）と積分（せきぶん）の逆（ぎゃく）関係（かんけい）の直感（ちょっかん）

Đạo hàm giúp ta tìm tốc độ thay đổi tức thời từ hàm số ban đầu, trong khi tích phân bất định thực hiện phép toán ngược lại để tìm lại hàm số ban đầu. Hai công thức nền tảng này giúp kết nối khái niệm vi phân và tích phân thành một thể thống nhất.

微分（びぶん）は元（もと）の関数（かんすう）から瞬間（しゅんかん）変化（へんか）率（りつ）を求（もと）める操作（そうさ）であり、不定（ふてい）積分（せきぶん）はその逆（ぎゃく）操作（そうさ）として元（もと）の関数（かんすう）を復元（ふくげん）します。これら2つの基本（きほん）公式（こうしき）により、微分（びぶん）と積分（せきぶん）が表裏（ひょうり）一体（いったい）のものとして結（むす）びつきます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 導（どう）関数（かんすう）Hàm số đạo hàm

    Hàm số biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của hàm f(x) tại mỗi điểm x. Được xác định thông qua giới hạn của tỉ số biến thiên khi h tiến về 0.

    各点（かくてん）xにおける関数（かんすう）f(x)の瞬間（しゅんかん）的（てき）な変化（へんか）率（りつ）を表（あらわ）す関数（かんすう）です。hを0に近（ちか）づけたときの平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）の極限（きょくげん）として定義（ていぎ）されます。

  • 不定（ふてい）積分（せきぶん）の公式（こうしき）Công thức tích phân bất định

    Các công thức tính họ tất cả các nguyên hàm của một hàm số. Bao gồm công thức tính tích phân cho hàm lũy thừa và tính chất tuyến tính của tích phân.

    関数（かんすう）のすべての原子（げんし）関数（かんすう）を求（もと）めるための公式（こうしき）の総称（そうしょう）です。冪（べき）関数（かんすう）の積分（せきぶん）公式（こうしき）や積分（せきぶん）の線形（せんけい）性（せい）が含（ふく）まれます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    極限（きょくげん）による導（どう）関数（かんすう）定義（ていぎ）の理解（りかい）

    Hiểu định nghĩa đạo hàm bằng giới hạn

    Áp dụng công thức f'(x) = \(\lim_{h \to 0}\) \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\) để tính đạo hàm từ định nghĩa. Việc này giúp nắm rõ bản chất của tỉ số biến thiên khi h tiến về 0.

    公式（こうしき） f'(x) = \(\lim_{h \to 0}\) \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\) を適用（てきよう）し、定義（ていぎ）に基（もと）づいて導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）します。これにより、hが0に近（ちか）づくときの平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）の本質（ほんしつ）を理解（りかい）できます。

  2. 02
    冪（べき）関数（かんすう）の不定（ふてい）積分（せきぶん）の計算（けいさん）

    Tính tích phân bất định của hàm lũy thừa

    Sử dụng công thức \(\int\) x^n dx = \(\frac{1}{n+1}\) x^{n+1} + C để nâng số mũ thêm 1 và chia cho số mũ mới. Đừng quên thêm hằng số tích phân C vào kết quả.

    公式（こうしき） \(\int\) x^n dx = \(\frac{1}{n+1}\) x^{n+1} + C を用（もち）い、指数（しすう）を1増（ふ）やして新（あたら）しい指数（しすう）で割（わ）ります。計算（けいさん）結果（けっか）には必（かなら）ず積分（せきぶん）定数（ていすう）Cを付与（ふよ）します。

  3. 03
    定数（ていすう）倍（ばい）の積分（せきぶん）性質（せいしつ）の利用（りよう）

    Đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân

    Áp dụng \(\int\) k f(x) dx = k \(\int\) f(x) dx + C để giữ nguyên hệ số k và chỉ tính tích phân của f(x). Quy tắc này giúp đơn giản hóa việc tính toán các hạng tử có hệ số.

    \(\int\) k f(x) dx = k \(\int\) f(x) dx + C を適用（てきよう）し、係数（けいすう）kを維持（いじ）したままf(x)の積分（せきぶん）のみを計算（けいさん）します。このルールにより係数（けいすう）付（つ）きの項（こう）の計算（けいさん）が簡略（かんりゃく）化（か）されます。

  4. 04
    和差（わさ）の項（こう）別（べつ）積分（せきぶん）の実行（じっこう）

    Tính tích phân từng hạng tử của tổng hiệu

    Áp dụng \(\int\) \{f(x) \(\pm\) g(x)\} dx = \(\int\) f(x) dx \(\pm\) \(\int\) g(x) dx + C để tính tích phân từng đa thức thành phần rồi cộng lại. Kết quả cuối cùng hợp nhất các hằng số tích phân thành một hằng số C duy nhất.

    \(\int\) \{f(x) \(\pm\) g(x)\} dx = \(\int\) f(x) dx \(\pm\) \(\int\) g(x) dx + C を用（もち）いて各項（かくこう）を個別（こべつ）に積分（せきぶん）し、それらを合算（がっさん）します。最終（さいしゅう）的（てき）な積分（せきぶん）定数（ていすう）は1つのCにまとめます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên viết hằng số tích phân C khi tính tích phân bất định.不定（ふてい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）する際（さい）に積分（せきぶん）定数（ていすう）Cを書（か）き忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tích phân bất định biểu diễn họ tất cả các nguyên hàm nên bắt buộc phải có + C ở kết quả cuối cùng.不定（ふてい）積分（せきぶん）はすべての原子（げんし）関数（かんすう）の集合（しゅうごう）を表（あらわ）すため、最終（さいしゅう）結果（けっか）には必（かなら）ず + C を含（ふく）める必要（ひつよう）があります。

Quên chia cho số mũ mới (n+1) mà chỉ tăng số mũ khi áp dụng công thức tích phân lũy thừa.冪（べき）関数（かんすう）の積分（せきぶん）公式（こうしき）を適用（てきよう）する際（さい）、指数（しすう）を増（ふ）やすだけで新（あたら）しい指数（しすう）(n+1)で割（わ）り忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Công thức chuẩn đòi hỏi nhân với hệ số \(\frac{1}{n+1}\) tương ứng với số mũ mới x^{n+1}.正（ただ）しい公式（こうしき）では、新（あたら）しい指数（しすう） x^{n+1} に合（あ）わせて係数（けいすう） \(\frac{1}{n+1}\) を掛（か）ける必要（ひつよう）があります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Đạo hàm f'(x) biểu thị tốc độ thay đổi tức thời và được định nghĩa bằng giới hạn tỉ số số gia khi h tiến về 0.導（どう）関数（かんすう）f'(x)は瞬間（しゅんかん）変化（へんか）率（りつ）を表（あらわ）し、hが0に近（ちか）づくときの平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）の極限（きょくげん）として定義（ていぎ）されます。
  • Công thức tích phân lũy thừa tăng số mũ thêm 1 và chia cho số mũ mới, kết hợp với hằng số tích phân C.冪（べき）関数（かんすう）の積分（せきぶん）公式（こうしき）は指数（しすう）を1増（ふ）やして新（あたら）しい指数（しすう）で割（わ）り、積分（せきぶん）定数（ていすう）Cを加（くわ）えます。
  • Tích phân bất định có tính chất tuyến tính, cho phép đưa hằng số ra ngoài và tính tích phân từng hạng tử của tổng hiệu.不定（ふてい）積分（せきぶん）は線形（せんけい）性（せい）を持（も）ち、定数（ていすう）倍（ばい）を前（まえ）に出（だ）し、和（わ）や差（さ）の各項（かくこう）を個別（こべつ）に積分（せきぶん）することができます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Định nghĩa hàm số đạo hàm f'(x) thông qua giới hạn tỉ số số gia khi h tiến dần về 0.

hを0に近（ちか）づけたときの平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）の極限（きょくげん）による導（どう）関数（かんすう）f'(x)の定義（ていぎ）式（しき）です。

\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C

Công thức tích phân bất định của hàm lũy thừa bậc n với C là hằng số tích phân.

冪（べき）関数（かんすう）\(x^{n}\)の不定（ふてい）積分（せきぶん）を求（もと）めための公式（こうしき）であり、Cは積分（せきぶん）定数（ていすう）を表（あらわ）します。

\int k f(x) dx = k \int f(x) dx + C

Tính chất đưa hằng số k ra ngoài dấu tích phân bất định.

不定（ふてい）積分（せきぶん）において定数（ていすう）倍（ばい）kを積分（せきぶん）の外（そと）に出（だ）すことができる性質（せいしつ）を示（しめ）します。

\int \{f(x) \pm g(x)\} dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx + C

Tính chất tích phân bất định của một tổng hoặc hiệu hai hàm số bằng tổng hoặc hiệu các tích phân.

2つの関数（かんすう）の和（わ）および差（さ）の不定（ふてい）積分（せきぶん）は、それぞれの不定（ふてい）積分（せきぶん）の和（わ）および差（さ）に等（ひと）しいという性質（せいしつ）です。

EJU 2026 · MATH.19.1 · MATH.20.1

Bài học này giúp bạn hiểu định nghĩa hàm số đạo hàm và nắm vững các công thức tích phân bất định cơ bản. Việc thành thạo các công thức này là chìa khóa để giải quyết bài toán vi tích phân trong kỳ thi EJU.

この課（か）では、導（どう）関数（かんすう）の定義（ていぎ）を理解（りかい）し、基本（きほん）的（てき）な不定（ふてい）積分（せきぶん）の公式（こうしき）を習得（しゅうとく）します。これらの公式（こうしき）を自在（じざい）に使（つか）いこなすことが、EJUの微分（びぶん）積分（せきぶん）問題（もんだい）を攻略（こうりゃく）する鍵（かぎ）となります。

微分（びぶん）と積分（せきぶん） 第（だい）1部（ぶ）
導関数不定積分の公式