Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Biểu diễn dùng góc θ làm tham số角（かく）θを媒介（ばいかい）変数（へんすう）とする表示（ひょうじ）

Công thức公式

x=r\cos\theta, y=r\sin\theta
x=a\cos\theta, y=b\sin\theta
x=\frac{a}{\cos\theta}, y=b\tan\theta
x=a\tan\theta, y=\frac{b}{\cos\theta}

Ví dụ例題

Viết biểu diễn tham số theo góc \(\theta\) cho elip có phương trình \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\), sau đó tìm tọa độ của điểm trên elip tương ứng với góc \(\theta = \frac{\pi}{3}\).

楕円（だえん） \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\) の角（かく） \(\theta\) による媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）を求（もと）め、\(\theta = \frac{\pi}{3}\) に対応（たいおう）する楕円（だえん）上（じょう）の点（てん）の座標（ざひょう）を計算（けいさん）せよ。

  1. Từ phương trình elip \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\), ta có \(a^2 = 9 \implies a = 3\) và \(b^2 = 4 \implies b = 2\).楕円（だえん）の方程（ほうてい）式（しき） \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\) より、\(a^2 = 9 \implies a = 3\) および \(b^2 = 4 \implies b = 2\) を得（え）ます。
  2. Biểu diễn tham số góc của elip là \(x = 3\cos\theta\) và \(y = 2\sin\theta\).角（かく） \(\theta\) を用（もち）いた媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）は \(x = 3\cos\theta\)、\(y = 2\sin\theta\) となります。
  3. Thay \(\theta = \frac{\pi}{3}\) vào: \(x = 3\cos\frac{\pi}{3} = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) và \(y = 2\sin\frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\).\(\theta = \frac{\pi}{3}\) を代入（だいにゅう）すると、\(x = 3\cos\frac{\pi}{3} = \frac{3}{2}\)、\(y = 2\sin\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}\) となります。
Biểu diễn tham số là \(x = 3\cos\theta, y = 2\sin\theta\) và điểm cần tìm là \(\left(\frac{3}{2}, \sqrt{3}\right)\).媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）は \(x = 3\cos\theta, y = 2\sin\theta\) であり、求（もと）める点（てん）の座標（ざひょう）は \(\left(\frac{3}{2}, \sqrt{3}\right)\) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Biểu diễn tham số theo góc \(\theta\) của đường tròn \(x^2 + y^2 = 16\) là gì?円（えん） \(x^2 + y^2 = 16\) の角（かく） \(\theta\) による媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）として正（ただ）しいものはどれか。

2. Cho đường elip có biểu diễn tham số \(x = 5\cos\theta, y = 3\sin\theta\). Phương trình chính tắc của elip này là gì?媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）が \(x = 5\cos\theta, y = 3\sin\theta\) で表（あらわ）される楕円（だえん）の標準（ひょうじゅん）形（けい）の方程（ほうてい）式（しき）はどれか。

3. Biểu diễn tham số của hyperbol \(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1\) theo góc \(\theta\) là gì?双（そう）曲線（きょくせん） \(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1\) の角（かく） \(\theta\) による媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）はどれか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.1 · MATH.16.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.1 · MATH.16.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững cách biểu diễn tham số góc \(\theta\) cho đường tròn, elip và hyperbol.円（えん）、楕円（だえん）、双（そう）曲線（きょくせん）の角（かく） \(\theta\) による媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）を理解（りかい）する。
  2. Sử dụng thành thạo các công thức tham số để xác định tọa độ điểm trên các đường conic.媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）を用（もち）いて二（に）次（じ）曲線（きょくせん）上（じょう）の点（てん）座標（ざひょう）を正確（せいかく）に表（あらわ）す技能（ぎのう）を身（み）につける。
  3. Vận dụng phép tịnh tiến và biến đổi góc để xử lý các dạng đường conic dịch chuyển.平行（へいこう）移動（いどう）や角度（かくど）の変形（へんけい）を伴（ともな）う二（に）次（じ）曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）を適切（てきせつ）に処理（しょり）する。
Trực giác · イメージ

Chuyển chuyển động tròn và elip về góc quay \(\theta\)回転（かいてん）角（かく） \(\theta\) による円（えん）運動（うんどう）と楕円（だえん）の直感（ちょっかん）的（てき）理解（りかい）

Thay vì mô tả quan hệ đại số giữa \(x\) và \(y\), ta có thể tưởng tượng một điểm chuyển động trên đường cong với vị trí được xác định bởi góc quay \(\theta\). Nhờ các hàm lượng giác như \(\cos\theta\) và \(\sin\theta\), tọa độ \(x\) và \(y\) được tách riêng thành hai hàm độc lập theo \(\theta\).

\(x\) と \(y\) の代数（だいすう）的（てき）な関係（かんけい）の代（か）わりに、回転（かいてん）角（かく） \(\theta\) に依存（いぞん）して動（うご）く点（てん）として図形（ずけい）を捉（とら）えます。三角（さんかく）関数（かんすう） \(\cos\theta\) や \(\sin\theta\) を使（つか）うことで、\(x\) 座標（ざひょう）と \(y\) 座標（ざひょう）を \(\theta\) の独立（どくりつ）した関数（かんすう）として簡潔（かんけつ）に分離（ぶんり）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）biểu diễn tham số

    Biểu diễn tham số là cách biểu diễn tọa độ \(x\) và \(y\) của điểm trên đường cong thông qua một biến trung gian gọi là tham số. Trong bài học này, tham số được chọn là góc \(\theta\).

    媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）とは、曲線（きょくせん）上（じょう）の点（てん）の座標（ざひょう） \(x, y\) を第（だい）3の変数（へんすう）（媒介（ばいかい）変数（へんすう））を用（もち）いて表（あらわ）す方法（ほうほう）です。本節（ほんせつ）では角度（かくど） \(\theta\) を媒介（ばいかい）変数（へんすう）として使用（しよう）します。

  • 円（えん）đường tròn

    Đường tròn bán kính \(r\) tâm tại gốc tọa độ có biểu diễn tham số là \(x = r\cos\theta\) và \(y = r\sin\theta\). Góc \(\theta\) chạy trong khoảng từ \(0\) đến \(2\pi\).

    原点（げんてん）を中心（ちゅうしん）とする半径（はんけい） \(r\) の円（えん）は、\(x = r\cos\theta\)、\(y = r\sin\theta\) と媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）されます。ここで \(\theta\) は回転（かいてん）角（かく）を表（あらわ）します。

  • 楕円（だえん）elip

    Đường elip chuẩn vị có dạng tham số \(x = a\cos\theta\) và \(y = b\sin\theta\). Biểu diễn này giúp quy việc tính toán tọa độ elip về các giá trị lượng giác của góc \(\theta\).

    標準（ひょうじゅん）形（けい）の楕円（だえん）は \(x = a\cos\theta\)、\(y = b\sin\theta\) と媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）されます。この表示（ひょうじ）により楕円（だえん）上（じょう）の点（てん）を角度（かくど） \(\theta\) で一義（いちぎ）的（てき）に指定（してい）できます。

  • 双（そう）曲線（きょくせん）hyperbol

    Đường hyperbol có thể biểu diễn qua tham số góc \(\theta\) bằng cách dùng các hàm lượng giác như \(\frac{a}{\cos\theta}\) và \(b\tan\theta\). Tùy thuộc vào dạng trục tiêu điểm, vị trí của các hàm lượng giác sẽ thay đổi tương ứng.

    双（そう）曲線（きょくせん）は \(\frac{a}{\cos\theta}\) や \(b\tan\theta\) を用（もち）いて媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）されます。焦点（しょうてん）の軸（じく）方向（ほうこう）に応（おう）じて \(x\) と \(y\) の式（しき）における項（こう）の位置（いち）が入れ替（いれか）わります。

  • 平行（へいこう）移動（いどう）phép tịnh tiến

    Khi tịnh tiến tâm của đường cong, ta chỉ cần cộng thêm khoảng dịch chuyển tương ứng vào các biểu thức tham số của \(x\) và \(y\).

    図形（ずけい）の中心（ちゅうしん）を平行（へいこう）移動（いどう）する場合（ばあい）、元（もと）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）の \(x\) 式（しき）と \(y\) 式（しき）にそれぞれ移動（いどう）量（りょう）を加算（かさん）します。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：二（に）次（じ）曲線（きょくせん）の種類（しゅるい）と半（はん）軸（じく）長（ちょう）（半径（はんけい））の特定（とくてい）

    Bước 1: Xác định loại đường conic và các thông số bán trục

    Nhận dạng xem đường cong là đường tròn, elip hay hyperbol để chọn dạng biểu diễn tham số phù hợp. Xác định các bán kính \(r\) hoặc bán trục \(a, b\) từ phương trình ban đầu.

    与（あた）えられた方程（ほうてい）式（しき）から円（えん）、楕円（だえん）、双（そう）曲線（きょくせん）のいずれであるかを識別（しきべつ）し、適切（てきせつ）な媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）の型（かた）を選択（せんたく）します。半径（はんけい） \(r\) や半（はん）軸（じく）長（ちょう） \(a, b\) の値（あたい）を読み取（よみと）ります。

  2. 02
    ステップ2：角（かく） \(\theta\) を用（もち）いた媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）の立（りっ）式（しき）

    Bước 2: Viết biểu diễn tham số theo góc \(\theta\)

    Áp dụng công thức tương ứng cho \(x\) và \(y\) dựa trên góc tham số \(\theta\). Đối với đường tròn là \(x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\), đối với elip là \(x=a\cos\theta, y=b\sin\theta\).

    選択（せんたく）した型（かた）に従（したが）い、角（かく） \(\theta\) を用（もち）いて \(x\) と \(y\) の式（しき）を書き下（かきくだ）します。円（えん）の場合（ばあい）は \(x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\)、楕円（だえん）の場合（ばあい）は \(x=a\cos\theta, y=b\sin\theta\) となります。

  3. 03
    ステップ3：中心（ちゅうしん）移動（いどう）に伴（ともな）う平行（へいこう）移動（いどう）の補正（ほせい）

    Bước 3: Điều chỉnh phép tịnh tiến nếu tâm không ở gốc tọa độ

    Nếu tâm đường cong ở \((h, k)\), cộng thêm \(h\) vào biểu thức của \(x\) và \(k\) vào biểu thức của \(y\). Kết quả thu được là biểu diễn tham số hoàn chỉnh của đường cong tịnh tiến.

    中心（ちゅうしん）が \((h, k)\) に移動（いどう）している場合（ばあい）は、\(x\) の式（しき）に \(h\) を、\(y\) の式（しき）に \(k\) を加算（かさん）します。これにより平行（へいこう）移動（いどう）後（ご）の完全（かんぜん）な媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）が得（え）られます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn giữa \(a\cos\theta\) và \(b\cos\theta\) khi lập biểu diễn tham số cho elip có bán trục \(a \neq b\).長軸（ちょうじく）・短軸（たんじく）の長（なが）さが異（こと）なる楕円（だえん）で、\(x\) と \(y\) の係数（けいすう） \(a, b\) を逆（ぎゃく）にしてしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn chú ý gắn hệ số \(a\) (đi kèm với \(x^2/a^2\)) cho \(x = a\cos\theta\) và hệ số \(b\) (đi kèm với \(y^2/b^2\)) cho \(y = b\sin\theta\).\(x^2/a^2\) の \(a\) を \(x = a\cos\theta\) に、\(y^2/b^2\) の \(b\) を \(y = b\sin\theta\) に正（ただ）しく対応（たいおう）させます。

Áp dụng sai công thức tham số góc cho hyperbol có dạng -\(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 thành \(x = \frac{a}{\cos\theta}, y = b\tan\theta\).焦点（しょうてん）がy軸（じく）上（じょう）にある双（そう）曲線（きょくせん） -\(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 に対（たい）し、誤（あやま）って \(x = \frac{a}{\cos\theta}, y = b\tan\theta\) を適用（てきよう）してしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi dấu dương thuộc về \(y^2\), công thức tham số đúng phải là \(x = a\tan\theta\) và \(y = \frac{b}{\cos\theta}\).\(y^2\) の項（こう）が正（せい）の記号（きごう）を持（も）つ場合（ばあい）、正（ただ）しい媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）は \(x = a\tan\theta\)、\(y = \frac{b}{\cos\theta}\) となります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Đường tròn bán kính \(r\) có biểu diễn tham số là \(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta\).半径（はんけい） \(r\) の円（えん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）は \(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta\) である。
  • Elip \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) tương ứng với biểu diễn tham số \(x = a\cos\theta, y = b\sin\theta\).楕円（だえん） \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）は \(x = a\cos\theta, y = b\sin\theta\) である。
  • Hyperbol \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) được biểu diễn qua góc \(\theta\) là \(x = \frac{a}{\cos\theta}, y = b\tan\theta\).双（そう）曲線（きょくせん） \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）は \(x = \frac{a}{\cos\theta}, y = b\tan\theta\) である。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

x=r\cos\theta, y=r\sin\theta

Biểu diễn tham số của đường tròn tâm tại gốc tọa độ bán kính \(r\).

原点（げんてん）中心（ちゅうしん）、半径（はんけい） \(r\) の円（えん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）。

x=a\cos\theta, y=b\sin\theta

Biểu diễn tham số của elip \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\).

楕円（だえん） \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）。

x=\frac{a}{\cos\theta}, y=b\tan\theta

Biểu diễn tham số của hyperbol \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\).

双（そう）曲線（きょくせん） \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）。

x=a\tan\theta, y=\frac{b}{\cos\theta}

Biểu diễn tham số của hyperbol -\(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1.

双（そう）曲線（きょくせん） -\(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）。

EJU 2026 · MATH.16.1 · MATH.16.2

Biểu diễn đường tròn, elip và hyperbol qua tham số góc \(\theta\) giúp mô tả tọa độ điểm một cách linh hoạt. Phương pháp này đơn giản hóa nhiều bài toán bằng cách chuyển quan hệ giữa \(x\) và \(y\) về góc \(\theta\).

角（かく） \(\theta\) を媒介（ばいかい）変数（へんすう）として円（えん）、楕円（だえん）、双（そう）曲線（きょくせん）を視覚（しかく）的（てき）かつ代数（だいすう）的（てき）に表（あらわ）す方法（ほうほう）を学（まな）びます。この表現（ひょうげん）により、\(x\) と \(y\) の関係（かんけい）を角度（かくど） \(\theta\) の関数（かんすう）として簡潔（かんけつ）に扱（あつか）うことができます。

角（かく）θを媒介（ばいかい）変数（へんすう）とする表示（ひょうじ）
媒介変数表示円楕円双曲線