Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Xác định phương trình đường từ biểu diễn tham số円（えん）・楕円（だえん）・双（そう）曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）の決定（けってい）

Công thức公式

\sin^2\theta+\cos^2\theta=1
1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}
(x-1)^2+(y+3)^2=4
\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y+2)^2}{9}=1

Ví dụ例題

Xác định phương trình hình học của đường cong cho bởi biểu diễn tham số: \(x = 1 + 2\cos\theta\), \(y = -2 + 3\sin\theta\).

媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ） \(x = 1 + 2\cos\theta, y = -2 + 3\sin\theta\) で表（あらわ）される曲線（きょくせん）の直交（ちょっこう）座標（ざひょう）系（けい）における方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）めよ。

  1. Rút \(\cos\theta\) và \(\sin\theta\) từ hệ phương trình: \(\cos\theta = \frac{x-1}{2}\) và \(\sin\theta = \frac{y+2}{3}\).方程（ほうてい）式（しき）から \(\cos\theta\) と \(\sin\theta\) を孤立（こりつ）させると、\(\cos\theta = \frac{x-1}{2}\)、\(\sin\theta = \frac{y+2}{3}\) となります。
  2. Áp dụng hằng đẳng thức lượng giác \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\), ta có: \(\left(\frac{x-1}{2}\right)^2 + \left(\frac{y+2}{3}\right)^2 = 1\).恒等（こうとう）式（しき） \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) に代入（だいにゅう）すると、\(\left(\frac{x-1}{2}\right)^2 + \left(\frac{y+2}{3}\right)^2 = 1\) となります。
  3. Biến đổi về dạng chính tắc: \(\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1\).標準（ひょうじゅん）形（けい）に整理（せいり）すると、\(\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1\) となります。
Đây là phương trình elip tâm \((1, -2)\) có dạng \(\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1\).これは中心（ちゅうしん） \((1, -2)\) の楕円（だえん）であり、方程（ほうてい）式（しき）は \(\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1\) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Khử tham số \(\theta\) từ hệ \(x = 1 + 2\cos\theta, y = -3 + 2\sin\theta\) ta được phương trình nào?媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ） \(x = 1 + 2\cos\theta, y = -3 + 2\sin\theta\) から \(\theta\) を消去（しょうきょ）して得（え）られる方程（ほうてい）式（しき）はどれか。

2. Biết \(x = 1 + 2\cos\theta\) và \(y = -2 + 3\sin\theta\). Khử \(\theta\) thu được phương trình elip nào?\(x = 1 + 2\cos\theta\)、\(y = -2 + 3\sin\theta\) から \(\theta\) を消去（しょうきょ）して得（え）られる楕円（だえん）の方程（ほうてい）式（しき）はどれか。

3. Để khử tham số \(\theta\) từ biểu diễn tham số chứa \(\tan\theta\) và \(\frac{1}{\cos\theta}\), ta dùng hằng đẳng thức nào?\(\tan\theta\) と \(\frac{1}{\cos\theta}\) を含（ふく）む媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）から \(\theta\) を消去（しょうきょ）する際（さい）に用（もち）いる恒等（こうとう）式（しき）はどれか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.1 · MATH.16.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.1 · MATH.16.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững kỹ thuật khử tham số \(\theta\) hoặc \(t\) để chuyển biểu diễn tham số về phương trình Đề-các.媒介（ばいかい）変数（へんすう） \(\theta\) や \(t\) を消去（しょうきょ）して直交（ちょっこう）座標（ざひょう）系（けい）の方程（ほうてい）式（しき）を導（みちび）く解法（かいほう）をマスターする。
  2. Sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác chuẩn để xác định chính xác phương trình đường tròn, elip, hyperbol.三角（さんかく）関数（かんすう）の基本（きほん）公式（こうしき）を活用（かつよう）し、円（えん）・楕円（だえん）・双（そう）曲線（きょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）を正確（せいかく）に特定（とくてい）する。
  3. Xác định tập hợp điểm và chú ý đến điều kiện giới hạn hoặc điểm bị loại khi khử tham số phân thức.分数（ぶんすう）式（しき）による媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）において、除外（じょがい）点（てん）や変域（へんいき）の制限（せいげん）に注意（ちゅうい）して軌跡（きせき）を決定（けってい）する。
Trực giác · イメージ

Khử tham số trung gian để tìm mối liên hệ trực tiếp giữa x và y媒介（ばいかい）変数（へんすう）の消去（しょうきょ）による \(x\) と \(y\) の直接（ちょくせつ）的（てき）関係（かんけい）の導出（どうしゅつ）

Biểu diễn tham số cho ta tọa độ \(x\) và \(y\) độc lập theo một tham số trung gian. Để đưa về dạng hình học quen thuộc trong mặt phẳng tọa độ, ta dùng các mối liên hệ sẵn có của tham số (như \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)) nhằm triệt tiêu tham số đó và thu được quan hệ trực tiếp giữa \(x\) và \(y\).

媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）は \(x\) と \(y\) を第（だい）3の変数（へんすう）を介（かい）して表（あらわ）したものですが、幾何（きか）学（がく）的（てき）な全貌（ぜんぼう）を把握（はあく）するためにはその変数（へんすう）を消去（しょうきょ）する必要（ひつよう）があります。\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) などの恒等（こうとう）式（しき）を利用（りよう）して媒介（ばいかい）変数（へんすう）を消（け）し、\(x\) と \(y\) の直接（ちょくせつ）の方程（ほうてい）式（しき）を導（みちび）きます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 媒介（ばいかい）変数（へんすう）tham số

    Tham số là biến trung gian (như \(\theta\) hoặc \(t\)) kết nối tọa độ \(x\) và \(y\). Việc loại bỏ tham số giúp ta tìm được phương trình mô tả toàn bộ đường cong.

    \(x\) 座標（ざひょう）と \(y\) 座標（ざひょう）を結（むす）びつける仲介（ちゅうかい）変数（へんすう）（\(\theta\) や \(t\) など）のことです。これを消去（しょうきょ）することで \(x, y\) の方程（ほうてい）式（しき）が得（え）られます。

  • 円（えん）đường tròn

    Phương trình đường tròn thu được sau khi khử tham số lượng giác qua công thức \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) với các hệ số của \(\cos\theta\) và \(\sin\theta\) bằng nhau.

    \(\cos\theta\) と \(\sin\theta\) の係数（けいすう）の絶対（ぜったい）値（ち）が等（ひと）しい場合（ばあい）、\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) を用（もち）いて消去（しょうきょ）すると円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）が得（え）られます。

  • 楕円（だえん）elip

    Phương trình elip thu được khi khử tham số \(\theta\) dạng \(x = a\cos\theta, y = b\sin\theta\) (với \(a \neq b\)) thông qua công thức \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\).

    係数（けいすう） \(a \neq b\) である \(x = a\cos\theta, y = b\sin\theta\) から \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) を用（もち）いて \(\theta\) を消去（しょうきょ）すると楕円（だえん）の方程（ほうてい）式（しき）となります。

  • 双（そう）曲線（きょくせん）hyperbol

    Phương trình hyperbol thu được khi khử tham số lượng giác chứa \(\frac{1}{\cos\theta}\) và \(\tan\theta\) bằng hằng đẳng thức \(1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}\).

    \(\frac{1}{\cos\theta}\) と \(\tan\theta\) を含（ふく）む媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）から、恒等（こうとう）式（しき） \(1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}\) を用（もち）いて消去（しょうきょ）すると双（そう）曲線（きょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）が得（え）られます。

  • 分数（ぶんすう）式（しき）biểu thức phân thức

    Biểu thức phân thức theo tham số \(t\) cũng có thể biểu diễn các đường conic. Khi khử \(t\), cần chú ý kiểm tra các điểm bị loại do điều kiện xác định của phân thức.

    媒介（ばいかい）変数（へんすう） \(t\) の分（ぶん）数式（すうしき）による表示（ひょうじ）からも二（に）次（じ）曲線（きょくせん）を誘導（ゆうどう）できます。\(t\) を消去（しょうきょ）する際（さい）は、定義（ていぎ）域（いき）や除外（じょがい）される点（てん）に注意（ちゅうい）が必要（ひつよう）です。

  • 媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）biểu diễn tham số

    Dạng biểu diễn tham số cung cấp thông tin về tọa độ điểm trên đường cong theo một biến độc lập. Quá trình khử tham số biến đổi dạng này về phương trình Đề-các tương đương.

    曲線（きょくせん）上（じょう）の点（てん）の座標（ざひょう）を媒介（ばいかい）変数（へんすう）で表（あらわ）した形式（けいしき）です。消去（しょうきょ）操作（そうさ）によって直交（ちょっこう）座標（ざひょう）系（けい）における等価（とうか）な方程（ほうてい）式（しき）へと変換（へんかん）します。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：三角（さんかく）関数（かんすう）または媒介（ばいかい）変数（へんすう）の孤立（こりつ）化（か）

    Bước 1: Rút các hàm lượng giác hoặc tham số về một phía

    Biến đổi hệ phương trình để đưa các đại lượng chứa tham số như \(\cos\theta, \sin\theta\) hoặc \(\tan\theta, \frac{1}{\cos\theta}\) về một bên của đẳng thức.

    与（あた）えられた連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき）を変形（へんけい）し、\(\cos\theta, \sin\theta\) や \(\tan\theta, \frac{1}{\cos\theta}\) などの項（こう）を式（しき）の片辺（かたほとり）に孤立（こりつ）させます。

  2. 02
    ステップ2：適切（てきせつ）な三角（さんかく）関数（かんすう）の恒等（こうとう）式（しき）の適用（てきよう）

    Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức lượng giác phù hợp

    Sử dụng hằng đẳng thức \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) hoặc \(1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}\) để triệt tiêu góc \(\theta\).

    恒等（こうとう）式（しき） \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) または \(1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}\) を用（もち）いて角（かく） \(\theta\) を完全（かんぜん）に消去（しょうきょ）します。

  3. 03
    ステップ3：整理（せいり）と標準（ひょうじゅん）方程（ほうてい）式（しき）の決定（けってい）

    Bước 3: Rút gọn và xác định phương trình chính tắc

    Thay thế các biểu thức theo \(x\) và \(y\) vào hằng đẳng thức, thu gọn để được phương trình đường tròn, elip hoặc hyperbol.

    \(x\) と \(y\) の式（しき）を恒等（こうとう）式（しき）に代入（だいにゅう）して整理（せいり）し、円（えん）・楕円（だえん）・双（そう）曲線（きょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）を特定（とくてい）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên bình phương các mẫu số ở bán trục khi đưa về phương trình chính tắc sau khi áp dụng \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\).\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) を適用（てきよう）した後（あと）、分母（ぶんぼ）の半（はん）軸（じく）長（ちょう）を 2 乗（の）し忘（わす）れる誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi bình phương \(\frac{x-1}{2}\) và \(\frac{y+2}{3}\), phải tính ra các mẫu số là \(4\) và \(9\) tương ứng.\(\frac{x-1}{2}\) や \(\frac{y+2}{3}\) を 2 乗（のり）する際（さい）は、分母（ぶんぼ）をそれぞれ \(4\) および \(9\) に正（ただ）しく計算（けいさん）します。

Sử dụng nhầm đẳng thức \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) cho hệ tham số chứa \(\tan\theta\) và \(\frac{1}{\cos\theta}\).\(\tan\theta\) や \(\frac{1}{\cos\theta}\) を含（ふく）む媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）に対（たい）して、誤（あやま）って \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) を使（つか）ってしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Đối với hệ tham số chứa \(\tan\theta\) và \(\frac{1}{\cos\theta}\), bắt buộc phải dùng hằng đẳng thức \(1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}\) để khử tham số.\(\tan\theta\) と \(\frac{1}{\cos\theta}\) を含（ふく）む表示（ひょうじ）では、必（かなら）ず \(1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}\) を用（もち）いて消去（しょうきょ）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Dùng công thức \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) để khử tham số \(\theta\) của đường tròn và elip.円（えん）と楕円（だえん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう） \(\theta\) の消去（しょうきょ）には \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) を用（もち）いる。
  • Dùng công thức \(1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}\) để khử tham số \(\theta\) của hyperbol.双（そう）曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう） \(\theta\) の消去（しょうきょ）には \(1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}\) を用（もち）いる。
  • Khi tịnh tiến tâm về \((h, k)\), phương trình nhận được có dạng \((x-h)\) và \((y-k)\) tương ứng.中心（ちゅうしん）が \((h, k)\) へ平行（へいこう）移動（いどう）した形（かたち）の方程（ほうてい）式（しき）では、\(x\) と \(y\) はそれぞれ \((x-h)\)、\((y-k)\) に置き換（おきか）わる。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

Hằng đẳng thức lượng giác cơ bản dùng để khử tham số góc \(\theta\) đối với đường tròn và elip.

円（えん）や楕円（だえん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう） \(\theta\) を消去（しょうきょ）するための基本（きほん）的（てき）な三角（さんかく）関数（かんすう）の恒等（こうとう）式（しき）。

1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}

Hằng đẳng thức lượng giác dùng để khử tham số góc \(\theta\) đối với hyperbol.

双（そう）曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう） \(\theta\) を消去（しょうきょ）するための三角（さんかく）関数（かんすう）の恒等（こうとう）式（しき）。

(x-1)^2+(y+3)^2=4

Phương trình đường tròn tâm \((1, -3)\) bán kính \(2\) thu được sau khi khử tham số.

媒介（ばいかい）変数（へんすう）消去（しょうきょ）により得（え）られる中心（ちゅうしん） \((1, -3)\)、半径（はんけい） \(2\) の円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）。

\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y+2)^2}{9}=1

Phương trình elip tâm \((1, -2)\) thu được sau khi khử tham số.

媒介（ばいかい）変数（へんすう）消去（しょうきょ）により得（え）られる中心（ちゅうしん） \((1, -2)\) の楕円（だえん）の方程（ほうてい）式（しき）。

EJU 2026 · MATH.16.1 · MATH.16.2

Từ biểu diễn tham số của một đường cong, ta có thể khử tham số để xác định phương trình đường tròn, elip hoặc hyperbol trong tọa độ Đề-các. Bài học này hướng dẫn các phương pháp khử tham số bằng hằng đẳng thức lượng giác và phép biến đổi đại số.

媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）から媒介（ばいかい）変数（へんすう）を消去（しょうきょ）して、直交（ちょっこう）座標（ざひょう）系（けい）における円（えん）・楕円（だえん）・双（そう）曲線（きょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）を決定（けってい）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。三角（さんかく）関数（かんすう）の相互（そうご）関係（かんけい）式（しき）や代数（だいすう）的（てき）な変形（へんけい）を用（もち）いて媒介（ばいかい）変数（へんすう）を消去（しょうきょ）する手順（てじゅん）をマスターします。

円（えん）・楕円（だえん）・双（そう）曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）の決定（けってい）
媒介変数円楕円双曲線