Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Quỹ tích đỉnh của parabol và biểu diễn tham số放物（ほうぶつ）線（せん）の頂点（ちょうてん）の軌跡（きせき）と媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）

Công thức公式

y=a(x-p)^2+q
y=\frac{1}{2}x-3
y=-3x^2+6x
x=r\cos\theta, y=r\sin\theta

Ví dụ例題

Cho họ parabol có phương trình y=(x-t)^2+\(\frac{1}{2}\)t-3 phụ thuộc vào tham số t. Tìm quỹ tích đỉnh của họ parabol này khi t thay đổi.

媒介（ばいかい）変数（へんすう） t に依存（いぞん）する放物（ほうぶつ）線（せん）群（ぐん） y=(x-t)^2+\(\frac{1}{2}\)t-3 が与（あた）えられています。t が変化（へんか）するとき、この放物（ほうぶつ）線（せん）群（ぐん）の頂点（ちょうてん）の軌跡（きせき）を求（もと）めなさい。

  1. So sánh phương trình y=(x-t)^2+\(\frac{1}{2}\)t-3 với dạng chuẩn y=a(x-p)^2+q, ta xác định được tọa độ đỉnh là (x, y) = (t, \(\frac{1}{2}\)t-3).方程（ほうてい）式（しき） y=(x-t)^2+\(\frac{1}{2}\)t-3 を標準（ひょうじゅん）形（けい） y=a(x-p)^2+q と比較（ひかく）すると、頂点（ちょうてん）座標（ざひょう）は (x, y) = (t, \(\frac{1}{2}\)t-3) と特定（とくてい）できます。
  2. Ta có hệ phương trình tham số của đỉnh là x = t và y = \(\frac{1}{2}\)t - 3.頂点（ちょうてん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）による方程（ほうてい）式（しき）系（けい）は x = t および y = \(\frac{1}{2}\)t - 3 となります。
  3. Thay t = x vào phương trình của y, ta khử được tham số t và thu được phương trình quỹ tích y=\(\frac{1}{2}\)x-3.t = x を y の方程（ほうてい）式（しき）に代入（だいにゅう）すると、媒介（ばいかい）変数（へんすう） t が消去（しょうきょ）され、軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき） y=\(\frac{1}{2}\)x-3 が得（え）られます。
Vậy quỹ tích đỉnh của parabol khi tham số t thay đổi là đường thẳng y=\(\frac{1}{2}\)x-3.したがって、媒介（ばいかい）変数（へんすう） t が変化（へんか）するときの放物（ほうぶつ）線（せん）の頂点（ちょうてん）の軌跡（きせき）は直線（ちょくせん） y=\(\frac{1}{2}\)x-3 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tọa độ đỉnh của parabol \(y = -3 x^{2} + 6 x\) là điểm nào sau đây?放物（ほうぶつ）線（せん） \(y = -3 x^{2} + 6 x\) の頂点（ちょうてん）の座標（ざひょう）は次（つぎ）のうちどれですか。

2. Nếu đường tròn bán kính r=2 được biểu diễn tham số bởi \(x = 2 \cos \theta\), \(y = 2 \sin \theta\) thì giá trị của \(x^{2} + y^{2}\) bằng bao nhiêu?半径（はんけい） r=2 の円（えん）が \(x = 2 \cos \theta\), \(y = 2 \sin \theta\) で媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）されているとき、\(x^{2} + y^{2}\) の値（あたい）はいくらですか。

3. Cho đỉnh parabol có tọa độ (x, y) phụ thuộc tham số t là x = 2t và y = t - 3. Phương trình quỹ tích của đỉnh là đường thẳng nào?放物（ほうぶつ）線（せん）の頂点（ちょうてん）座標（ざひょう） (x, y) が媒介（ばいかい）変数（へんすう） t を用（もち）いて x = 2t, y = t - 3 と表（あらわ）されるとき、頂点（ちょうてん）の軌跡（きせき）を表（あらわ）す直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）はどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.1 · MATH.16.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.1 · MATH.16.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Xác định tọa độ đỉnh của parabol từ dạng chuẩn \(y = a (x - p)^{2} + q\) theo tham số.標準（ひょうじゅん）形（けい） \(y = a (x - p)^{2} + q\) から媒介（ばいかい）変数（へんすう）を用（もち）いた放物（ほうぶつ）線（せん）の頂点（ちょうてん）座標（ざひょう）を特定（とくてい）できる。
  2. Khử tham số giữa tọa độ đỉnh x và y để tìm phương trình đường quỹ tích.頂点（ちょうてん）座標（ざひょう） x と y の間（あいだ）から媒介（ばいかい）変数（へんすう）を消去（しょうきょ）し、軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）められる。
  3. Hiểu biểu diễn tham số lượng giác \(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\) cho đường tròn.円（えん）の三角（さんかく）関数（かんすう）による媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ） \(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\) を理解（りかい）できる。
Trực giác · イメージ

Hiểu trực giác về sự di chuyển của đỉnh parabol放物（ほうぶつ）線（せん）の頂点（ちょうてん）の移動（いどう）に関（かん）する直感（ちょっかん）的（てき）理解（りかい）

Khi một tham số trong phương trình parabol thay đổi, toàn bộ đường parabol sẽ dịch chuyển trên mặt phẳng tọa độ. Tọa độ đỉnh của parabol thay đổi phụ thuộc vào tham số đó, và tập hợp tất cả các vị trí của đỉnh sẽ tạo thành một đường cong hoặc đường thẳng gọi là quỹ tích của đỉnh.

放物（ほうぶつ）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）に含（ふく）まれる媒介（ばいかい）変数（へんすう）が変化（へんか）すると、放物（ほうぶつ）線（せん）全体（ぜんたい）が座標（ざひょう）平面（へいめん）上（じょう）を移動（いどう）します。頂点（ちょうてん）の座標（ざひょう）もその媒介（ばいかい）変数（へんすう）に応（おう）じて変化（へんか）し、頂点（ちょうてん）が描（えが）くすべての位置（いち）の集合（しゅうごう）は軌跡（きせき）と呼（よ）ばれる1つの曲線（きょくせん）や直線（ちょくせん）を作り出（つくりだ）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 頂点（ちょうてん）đỉnh

    Điểm cực trị của parabol, nơi đường cong đổi chiều biến thiên. Đối với parabol \(y = a (x - p)^{2} + q\), tọa độ đỉnh chính là (p, q).

    放物（ほうぶつ）線（せん）の極値（きょくち）をとる点（てん）であり、曲線（きょくせん）の増減（ぞうげん）が入れ替（いれか）わる場所（ばしょ）です。放物（ほうぶつ）線（せん） \(y = a (x - p)^{2} + q\) の頂点（ちょうてん）座標（ざひょう）は (p, q) となります。

  • 軌跡（きせき）quỹ tích

    Tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng thỏa mãn điều kiện tọa độ phụ thuộc vào tham số. Quỹ tích đỉnh parabol biểu diễn đường đi của đỉnh khi tham số thay đổi.

    媒介（ばいかい）変数（へんすう）に依存（いぞん）する座標（ざひょう）条件（じょうけん）を満（み）たす平面（へいめん）上（じょう）のすべての点（てん）の集合（しゅうごう）です。放物（ほうぶつ）線（せん）の頂点（ちょうてん）の軌跡（きせき）は、媒介（ばいかい）変数（へんすう）が動（うご）くときの頂点（ちょうてん）の移動（いどう）経路（けいろ）を表（あらわ）します。

  • 放物（ほうぶつ）線（せん）parabol

    Đường cong bậc hai có phương trình dạng \(y = a (x - p)^{2} + q\). Hình dạng và vị trí của parabol phụ thuộc vào hệ số a và tọa độ đỉnh (p, q).

    方程（ほうてい）式（しき） \(y = a (x - p)^{2} + q\) で表（あらわ）される2次（じ）曲線（きょくせん）です。放物（ほうぶつ）線（せん）の形状（けいじょう）と位置（いち）は係数（けいすう） a と頂点（ちょうてん） (p, q) に依存（いぞん）します。

  • 媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）biểu diễn tham số

    Cách biểu diễn tọa độ x và y của các điểm trên đường cong thông qua một biến trung gian gọi là tham số. Ví dụ đường tròn bán kính r được biểu diễn bằng \(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\).

    曲線（きょくせん）上（じょう）のある点（てん）の x 座標（ざひょう）と y 座標（ざひょう）を、媒介（ばいかい）変数（へんすう）と呼（よ）ばれる第（だい）三（さん）の変数（へんすう）を用（もち）いて表（あらわ）す方法（ほうほう）です。例（たと）えば半径（はんけい） r の円（えん）は \(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\) で表示（ひょうじ）されます。

  • 円（えん）đường tròn

    Tập hợp các điểm cách đều một tâm cố định khoảng bằng bán kính r. Đường tròn có biểu diễn tham số lượng giác đơn giản \(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\).

    定点（ていてん）から半径（はんけい） r だけ離（はな）れた点（てん）の集合（しゅうごう）です。円（えん）は \(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\) という簡単（かんたん）な三角（さんかく）関数（かんすう）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）を持（も）ちます。

  • 楕円（だえん）elip

    Đường cong bậc hai có thể thu được bằng cách co giãn đường tròn theo các trục tọa độ. Biểu diễn tham số của elip có mối liên hệ chặt chẽ với biểu diễn tham số của đường tròn.

    円（えん）を座標（ざひょう）軸（じく）方向（ほうこう）に拡大（かくだい）・縮小（しゅくしょう）することで得（え）られる2次（じ）曲線（きょくせん）です。楕円（だえん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）は円（えん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）と密接（みっせつ）に関連（かんれん）しています。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：放物（ほうぶつ）線（せん）を標準（ひょうじゅん）形（けい） \(y = a (x - p)^{2} + q\) に変形（へんけい）する

    Bước 1: Biến đổi parabol về dạng chuẩn \(y = a (x - p)^{2} + q\)

    Biến đổi phương trình parabol về dạng đỉnh để xác định tọa độ đỉnh (x, y) phụ thuộc vào tham số p và q. Chẳng hạn với \(y = -3 x^{2} + 6 x\), ta đưa về \(y = -3 (x - 1)^{2} + 3\) để tìm đỉnh (1, 3).

    放物（ほうぶつ）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）を頂点（ちょうてん）形（けい）に変形（へんけい）し、媒介（ばいかい）変数（へんすう） p, q に依存（いぞん）する頂点（ちょうてん）座標（ざひょう） (x, y) を特定（とくてい）します。例（たと）えば \(y = -3 x^{2} + 6 x\) の場合（ばあい）、\(y = -3 (x - 1)^{2} + 3\) と変形（へんけい）して頂点（ちょうてん） (1, 3) を求（もと）めます。

  2. 02
    ステップ2：頂点（ちょうてん）座標（ざひょう）を表（あらわ）す連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき）の立案（りつあん）

    Bước 2: Thiết lập hệ phương trình biểu diễn tọa độ đỉnh

    Đặt x bằng hoành độ đỉnh và y bằng tung độ đỉnh theo tham số t. Viết hệ x = f(t) và y = g(t).

    頂点（ちょうてん）の x 座標（ざひょう）を x、y 座標（ざひょう）を y とおき、媒介（ばいかい）変数（へんすう） t を用（もち）いて表（あらわ）します。連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき） x = f(t), y = g(t) を作成（さくせい）します。

  3. 03
    ステップ3：媒介（ばいかい）変数（へんすう）を消去（しょうきょ）して軌跡（きせき）方程（ほうてい）式（しき）を導出（どうしゅつ）する

    Bước 3: Khử tham số để tìm phương trình quỹ tích

    Rút t từ phương trình của x rồi thế vào phương trình của y để thu được mối quan hệ trực tiếp giữa x và y. Ví dụ thế t vào ta thu được phương trình đường thẳng y=\(\frac{1}{2}\)x-3.

    x の方程（ほうてい）式（しき）から t を解（と）き、y の方程（ほうてい）式（しき）に代入（だいにゅう）して x と y の直接（ちょくせつ）の関係（かんけい）式（しき）を導（みちび）きます。例（たと）えば代入（だいにゅう）により直線（ちょくせん）の式（しき） y=\(\frac{1}{2}\)x-3 が得（え）られます。

  4. 04
    ステップ4：円（えん）の三角（さんかく）関数（かんすう）による媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）の活用（かつよう）

    Bước 4: Sử dụng biểu diễn tham số lượng giác cho đường tròn

    Đối với đường tròn bán kính r, áp dụng biểu diễn tham số \(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\). Khi đó bình phương hai thế rồi cộng lại sẽ triệt tiêu góc \(\theta\).

    半径（はんけい） r の円（えん）に対（たい）して、媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ） \(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\) を適用（てきよう）します。両辺（りょうへん）を2乗（の）して加（くわ）えることで角（かく） \(\theta\) を消去（しょうきょ）できます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm hoành độ đỉnh x = p với hệ số tự do khi chưa đưa parabol về dạng \(y = a (x - p)^{2} + q\).放物（ほうぶつ）線（せん）を \(y = a (x - p)^{2} + q\) の形（かたち）に変形（へんけい）する前（まえ）に、頂点（ちょうてん）の x 座標（ざひょう） x = p を定数（ていすう）項（こう）と混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn phải hoàn thành bình phương để đưa phương trình về dạng chuẩn \(y = a (x - p)^{2} + q\) trước khi đọc tọa độ đỉnh (p, q).頂点（ちょうてん）座標（ざひょう） (p, q) を読み取（よみと）る前（まえ）に、必（かなら）ず平方（へいほう）完成（かんせい）を行（おこな）って標準（ひょうじゅん）形（けい） \(y = a (x - p)^{2} + q\) に変形（へんけい）しなければなりません。

Quên kiểm tra phạm vi giá trị của tham số t khi khử tham số để tìm quỹ tích.軌跡（きせき）を求（もと）めるために媒介（ばいかい）変数（へんすう）を消去（しょうきょ）する際（さい）、媒介（ばいかい）変数（へんすう） t のとり得（え）る値（あたい）の範囲（はんい）の確認（かくにん）を忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nếu tham số t bị giới hạn bởi tập xác định, quỹ tích thu được có thể chỉ là một đoạn thẳng hoặc một tia chứ không phải toàn bộ đường thẳng.媒介（ばいかい）変数（へんすう） t に定義（ていぎ）域（いき）の制限（せいげん）がある場合（ばあい）、得（え）られる軌跡（きせき）は直線（ちょくせん）全体（ぜんたい）ではなく線分（せんぶん）や半（はん）直線（ちょくせん）になることがあります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Để xác định đỉnh parabol, đưa phương trình về dạng chuẩn \(y = a (x - p)^{2} + q\) để thu được tọa độ đỉnh (p, q).放物（ほうぶつ）線（せん）の頂点（ちょうてん）を特定（とくてい）するには、方程（ほうてい）式（しき）を標準（ひょうじゅん）形（けい） \(y = a (x - p)^{2} + q\) に変形（へんけい）して頂点（ちょうてん）座標（ざひょう） (p, q) を求（もと）めます。
  • Quỹ tích đỉnh thu được bằng cách lập hệ phương trình tham số cho x, y và khử tham số giữa chúng.頂点（ちょうてん）の軌跡（きせき）は、x, y の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）による連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき）を作成（さくせい）し、それらの間（あいだ）から媒介（ばいかい）変数（へんすう）を消去（しょうきょ）することで得（え）られます。
  • Đường tròn bán kính r có biểu diễn tham số \(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\), thỏa mãn \(x^{2} + y^{2} = r^{2}\) khi triệt tiêu \(\theta\).半径（はんけい） r の円（えん）は媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ） \(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\) を持（も）ち、\(\theta\) を消去（しょうきょ）すると \(x^{2} + y^{2} = r^{2}\) を満（み）たします。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

y=a(x-p)^2+q

Dạng chuẩn của parabol với tọa độ đỉnh là (p, q) và hệ số a quyết định bề lõm.

頂点（ちょうてん）座標（ざひょう）が (p, q) で、係数（けいすう） a が開（ひら）きの向（む）きを決（き）める放物（ほうぶつ）線（せん）の標準（ひょうじゅん）形（けい）です。

y=\frac{1}{2}x-3

Phương trình đường thẳng thể hiện quỹ tích của đỉnh parabol sau khi đã khử tham số.

媒介（ばいかい）変数（へんすう）を消去（しょうきょ）した後（あと）に得（え）られる、放物（ほうぶつ）線（せん）の頂点（ちょうてん）の軌跡（きせき）を表（あらわ）す直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）です。

y=-3x^2+6x

Phương trình parabol cụ thể có thể biến đổi thành \(y = -3 (x - 1)^{2} + 3\) với đỉnh tại (1, 3).

頂点（ちょうてん）が (1, 3) である \(y = -3 (x - 1)^{2} + 3\) に変形（へんけい）できる具体（ぐたい）的（てき）な放物（ほうぶつ）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）です。

x=r\cos\theta, y=r\sin\theta

Biểu diễn tham số lượng giác của đường tròn bán kính r với góc tham số \(\theta\).

パラメータ角（かく） \(\theta\) を用（もち）いた、半径（はんけい） r の円（えん）の三角（さんかく）関数（かんすう）による媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）です。

EJU 2026 · MATH.16.1 · MATH.16.2

Bài học này hướng dẫn cách tìm quỹ tích đỉnh của parabol khi tham số thay đổi và sử dụng biểu diễn tham số cho các đường cong. Bạn sẽ học cách khử tham số để thu được phương trình quỹ tích dạng chuẩn.

本課（ほんか）では媒介（ばいかい）変数（へんすう）が変化（へんか）するときの放物（ほうぶつ）線（せん）の頂点（ちょうてん）の軌跡（きせき）の求（もと）め方（かた）と、曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）を学習（がくしゅう）します。媒介（ばいかい）変数（へんすう）を消去（しょうきょ）して標準（ひょうじゅん）形（けい）の軌跡（きせき）方程（ほうてい）式（しき）を導出（どうしゅつ）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。

放物（ほうぶつ）線（せん）の頂点（ちょうてん）の軌跡（きせき）と媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）
頂点軌跡放物線媒介変数表示