Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Biểu diễn tham số của đường astroid (hình sao)星芒（せいぼう）形（けい）（アステロイド）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）

Công thức公式

x=a\cos^3\theta, y=a\sin^3\theta
x=\frac{a}{4}(3\cos\theta+\cos 3\theta), y=\frac{a}{4}(3\sin\theta-\sin 3\theta)
x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}

Ví dụ例題

Cho đường astroid có bán kính a = 4. Hãy xác định tọa độ tham số x, y theo \(\cos (3\cdot \theta)\) và \(\sin (3\cdot \theta)\), sau đó tính giá trị của \(x^{2 / 3} + y^{2 / 3}\).

定数（ていすう） a = 4 のアステロイドについて、\(\cos (3\cdot \theta)\) と \(\sin (3\cdot \theta)\) を用（もち）いた x, y の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）を求（もと）め、\(x^{2 / 3} + y^{2 / 3}\) の値（あたい）を計算（けいさん）せよ。

  1. Thay a = 4 vào công thức \(x = (a / 4)\cdot (3\cdot \cos (\theta) + \cos (3\cdot \theta))\), ta được \(x = 3\cdot \cos (\theta) + \cos (3\cdot \theta)\).a = 4 を公式（こうしき） \(x = (a / 4)\cdot (3\cdot \cos (\theta) + \cos (3\cdot \theta))\) に代入（だいにゅう）すると、\(x = 3\cdot \cos (\theta) + \cos (3\cdot \theta)\) となります。
  2. Tương tự, thay a = 4 vào \(y = (a / 4)\cdot (3\cdot \sin (\theta) - \sin (3\cdot \theta))\), ta được \(y = 3\cdot \sin (\theta) - \sin (3\cdot \theta)\).同様（どうよう）に a = 4 を \(y = (a / 4)\cdot (3\cdot \sin (\theta) - \sin (3\cdot \theta))\) に代入（だいにゅう）すると、\(y = 3\cdot \sin (\theta) - \sin (3\cdot \theta)\) となります。
  3. Sử dụng dạng lũy thừa x = 4*cos^3(theta) và y = 4*sin^3(theta), ta tính x^(2/3) + y^(2/3) = (4*cos^3(theta))^(2/3) + (4*sin^3(theta))^(2/3) = 4^(2/3)*(cos^2(theta) + sin^2(theta)) = 4^(2/3).3乗（じょう）表示（ひょうじ） x = 4*cos^3(theta)、y = 4*sin^3(theta) を用（もち）いると、x^(2/3) + y^(2/3) = (4*cos^3(theta))^(2/3) + (4*sin^3(theta))^(2/3) = 4^(2/3)*(cos^2(theta) + sin^2(theta)) = 4^(2/3) となります。
Tọa độ tham số là \(x = 3\cdot \cos (\theta) + \cos (3\cdot \theta)\), \(y = 3\cdot \sin (\theta) - \sin (3\cdot \theta)\) và \(x^{2 / 3} + y^{2 / 3} = 4^{2 / 3}\).媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）は \(x = 3\cdot \cos (\theta) + \cos (3\cdot \theta)\)、\(y = 3\cdot \sin (\theta) - \sin (3\cdot \theta)\) であり、\(x^{2 / 3} + y^{2 / 3} = 4^{2 / 3}\) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Đường astroid x = a*cos^3(theta), y = a*sin^3(theta) có thể biểu diễn qua góc 3*theta như thế nào?アステロイド x = a*cos^3(theta), y = a*sin^3(theta) を 3*theta を用（もち）いて表（あらわ）した式（しき）はどれか。

2. Phương trình Đề-các nào sau đây là phương trình của đường astroid?次（つぎ）の直交（ちょっこう）座標（ざひょう）方程（ほうてい）式（しき）のうち、アステロイドを表（あらわ）すものはどれか。

3. Với theta = pi/4 và a = 1, tọa độ điểm (x, y) trên đường astroid x = cos^3(theta), y = sin^3(theta) là bao nhiêu?theta = pi/4 かつ a = 1 のとき、アステロイド x = cos^3(theta), y = sin^3(theta) 上（うえ）の点（てん） (x, y) の座標（ざひょう）はどれか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu định nghĩa và dạng hình học của đường astroid (hình sao).星芒（せいぼう）形（けい）（アステロイド）の定義（ていぎ）と図形（ずけい）的（てき）特徴（とくちょう）を理解（りかい）する。
  2. Vận dụng công thức góc nhân ba để chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn tham số của astroid.3倍角（ばいかく）の公式（こうしき）を利用（りよう）してアステロイドの媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）相互（そうご）の変換（へんかん）を行（おこな）う。
  3. Khử tham số \(\theta\) để thu được phương trình đại số \(x^{2 / 3} + y^{2 / 3} = a^{2 / 3}\).媒介（ばいかい）変数（へんすう） \(\theta\) を消去（しょうきょ）し、方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2 / 3} + y^{2 / 3} = a^{2 / 3}\) を導出（どうしゅつ）する。
Trực giác · イメージ

Hình ảnh trực quan của đường astroid (hình sao)星芒（せいぼう）形（けい）（アステロイド）の直感（ちょっかん）的（てき）イメージ

Đường astroid có hình dạng giống như một ngôi sao bốn cánh đối xứng. Tọa độ các điểm trên đường cong được mô tả bằng lũy thừa bậc ba của sin và cos hoặc qua các góc nhân ba.

アステロイドは4つのくびれを持（も）つ星（ほし）のような対称（たいしょう）形（けい）を描（えが）きます。曲線（きょくせん）上（じょう）の点（てん）座標（ざひょう）は sin や cos の3乗（のり）、または3倍角（ばいかく）を用（もち）いて表現（ひょうげん）されます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 星芒（せいぼう）形（けい）hình sao

    Tên gọi hình học của đường cong có 4 đỉnh nhọn đối xứng giống hình ngôi sao.

    4つの尖点を持（も）つ星（ほし）のような形状（けいじょう）をした幾何（きか）学（がく）的（てき）曲線（きょくせん）の称呼（しょうこ）です。

  • アステロイドđường astroid

    Thuật ngữ phiên âm quốc tế của đường hình sao, tạo bởi đường tròn nhỏ lăn bên trong đường tròn lớn.

    星芒（せいぼう）形（けい）の英名（えいめい）（Astroid）であり、小円（しょうえん）が大円（だいえん）の内側（うちがわ）を転（ころ）がるときに描（えが）かれる曲線（きょくせん）です。

  • 媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）biểu diễn tham số

    Cách viết tọa độ x và y theo tham số góc theta dạng x = a*cos^3(theta) và y = a*sin^3(theta).

    角（かく） theta を用（もち）いて x = a*cos^3(theta)、y = a*sin^3(theta) と座標（ざひょう）を表（あらわ）す方法（ほうほう）です。

  • 3倍角（ばいかく）の公式（こうしき）công thức góc nhân ba

    Công thức lượng giác biểu diễn \(\cos (3\cdot \theta)\) và \(\sin (3\cdot \theta)\) theo \(\cos (\theta)\) và \(\sin (\theta)\).

    \(\cos (3\cdot \theta)\) や \(\sin (3\cdot \theta)\) を \(\cos (\theta)\) や \(\sin (\theta)\) を用（もち）いて表（あらわ）す三角（さんかく）関数（かんすう）の公式（こうしき）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 3乗（じょう）形式（けいしき）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）

    Bước 1: Biểu diễn tham số dạng lũy thừa bậc ba

    Viết phương trình tham số cơ bản của đường astroid dưới dạng x = a*cos^3(theta) và y = a*sin^3(theta).

    アステロイドの基本（きほん）形（けい）である x = a*cos^3(theta)、y = a*sin^3(theta) の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）を確認（かくにん）します。

  2. 02
    ステップ2: 3倍角（ばいかく）の公式（こうしき）による変形（へんけい）

    Bước 2: Biến đổi qua công thức góc nhân ba

    Sử dụng 4*cos^3(theta) = 3*cos(theta) + cos(3*theta) và 4*sin^3(theta) = 3*sin(theta) - sin(3*theta) để đưa về dạng tổng lượng giác.

    4*cos^3(theta) = 3*cos(theta) + cos(3*theta) および 4*sin^3(theta) = 3*sin(theta) - sin(3*theta) を用（もち）いて和（わ）の形（かたち）に変形（へんけい）します。

  3. 03
    ステップ3: 3倍角（ばいかく）表示（ひょうじ）の整理（せいり）

    Bước 3: Rút gọn biểu thức góc nhân ba

    Thay vào ta được \(x = (a / 4)\cdot (3\cdot \cos (\theta) + \cos (3\cdot \theta))\) và \(y = (a / 4)\cdot (3\cdot \sin (\theta) - \sin (3\cdot \theta))\).

    代入（だいにゅう）により \(x = (a / 4)\cdot (3\cdot \cos (\theta) + \cos (3\cdot \theta))\) および \(y = (a / 4)\cdot (3\cdot \sin (\theta) - \sin (3\cdot \theta))\) を得（え）ます。

  4. 04
    ステップ4: 媒介（ばいかい）変数（へんすう）の消去（しょうきょ）

    Bước 4: Khử tham số đưa về phương trình đại số

    Lấy lũy thừa bậc 2/3 hai vế ta có x^(2/3) = a^(2/3)*cos^2(theta) và y^(2/3) = a^(2/3)*sin^2(theta), cộng lại thu được x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3).

    両辺（りょうへん）を 2/3 乗（のり）すると x^(2/3) = a^(2/3)*cos^2(theta)、y^(2/3) = a^(2/3)*sin^2(theta) となり、和（わ）をとると x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3) となります。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn dấu trừ thành dấu cộng trong biểu thức của y: viết sai thành \(y = (a / 4)\cdot (3\cdot \sin (\theta) + \sin (3\cdot \theta))\).y の式（しき）において符号（ふごう）を誤（あやま）り、\(y = (a / 4)\cdot (3\cdot \sin (\theta) + \sin (3\cdot \theta))\) とプラスにしてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nhớ rằng công thức 4*sin^3(theta) = 3*sin(theta) - sin(3*theta), do đó dấu trước sin(3*theta) phải là dấu trừ.4*sin^3(theta) = 3*sin(theta) - sin(3*theta) であるため、sin(3*theta) の前（まえ）の符号（ふごう）はマイナスであることを確認（かくにん）します。

Khử tham số sai bằng cách cộng trực tiếp \(x^{2} + y^{2}\) thay vì dùng lũy thừa 2/3.2/3 乗（のり）の代（か）わりに単純（たんじゅん）に \(x^{2} + y^{2}\) を計算（けいさん）して媒介（ばいかい）変数（へんすう）消去（しょうきょ）を失敗（しっぱい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Vì x = a*cos^3(theta) nên phải lấy lũy thừa 2/3 để triệt tiêu số mũ 3 thành cos^2(theta), từ đó áp dụng sin^2 + cos^2 = 1.x = a*cos^3(theta) であるため、2/3 乗（の）して 3 乗（のり）を消去（しょうきょ）して cos^2(theta) を作（つく）り、sin^2 + cos^2 = 1 を適用（てきよう）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Đường astroid có hai dạng biểu diễn tham số: dạng lũy thừa cos^3, sin^3 và dạng góc nhân ba.アステロイドは3乗（じょう）形式（けいしき）（cos^3, sin^3）と3倍角（ばいかく）形式（けいしき）の2つの媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）を持（も）ちます。
  • Công thức góc nhân ba giúp chuyển đổi linh hoạt giữa hai dạng biểu diễn tham số.3倍角（ばいかく）の公式（こうしき）を利用（りよう）することで、2つの媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）を相互（そうご）に変換（へんかん）できます。
  • Lấy lũy thừa 2/3 hai vế giúp khử tham số \(\theta\) thu được phương trình \(x^{2 / 3} + y^{2 / 3} = a^{2 / 3}\).両辺（りょうへん）を 2/3 乗（のり）することで媒介（ばいかい）変数（へんすう） \(\theta\) を消去（しょうきょ）し、\(x^{2 / 3} + y^{2 / 3} = a^{2 / 3}\) を導（みちび）きます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

x=a\cos^3\theta, y=a\sin^3\theta

Biểu diễn tham số tiêu chuẩn của đường astroid qua lũy thừa bậc ba.

3乗（のり）を用（もち）いたアステロイドの標準（ひょうじゅん）的（てき）な媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）です。

x=\frac{a}{4}(3\cos\theta+\cos 3\theta), y=\frac{a}{4}(3\sin\theta-\sin 3\theta)

Biểu diễn tham số của đường astroid thu được từ công thức góc nhân ba.

3倍角（ばいかく）の公式（こうしき）を用（もち）いて書き換（かきか）えたアステロイドの媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）です。

x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}

Phương trình đại số của đường astroid trong tọa độ Đề-các sau khi khử tham số.

媒介（ばいかい）変数（へんすう） \(\theta\) を消去（しょうきょ）して得（え）られるアステロイドの直交（ちょっこう）座標（ざひょう）方程（ほうてい）式（しき）です。

EJU 2026 · MATH.16.2

Đường astroid (hình sao) là đường cong đặc biệt có biểu diễn tham số gắn liền với công thức góc nhân ba. Việc nắm vững các dạng biểu diễn của astroid giúp giải nhanh các bài toán hình học tham số trong kỳ thi EJU.

星芒（せいぼう）形（けい）（アステロイド）は3倍角（ばいかく）の公式（こうしき）と密接（みっせつ）に関連（かんれん）する媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）を持（も）つ特別（とくべつ）な曲線（きょくせん）です。アステロイドの各（かく）表示（ひょうじ）形式（けいしき）の理解（りかい）はEJU試験（しけん）で役立（やくだ）ちます。

星芒（せいぼう）形（けい）（アステロイド）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）
星芒形アステロイド媒介変数表示3倍角の公式