Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Đồ thị của các hàm số đa dạngいろいろな関数（かんすう）のグラフ

Công thức公式

y' = 2\cos x + 2\cos 2x
y'' = -2\sin x - 4\sin 2x
y^2 = x^2(1+x)
f'(x) = \sqrt{1+x} + \frac{x}{2\sqrt{1+x}} = \frac{3x+2}{2\sqrt{1+x}}

Ví dụ例題

Xét đạo hàm y' = \(2 \cos x + 2 \cos 2 x\) trên khoảng từ 0 đến \(\pi\). Hãy tìm các điểm tại đó y' = 0.

0から\(\pi\)の範囲（はんい）で導（どう）関数（かんすう） y' = \(2 \cos x + 2 \cos 2 x\) を考（かんが）える。y' = 0 となる点（てん）を求（もと）めよ。

  1. Biến đổi 2\(\cos\) 2x = 2(2\(\cos^2\) x - 1) = 4\(\cos^2\) x - 2.2\(\cos\) 2x = 2(2\(\cos^2\) x - 1) = 4\(\cos^2\) x - 2 と変形（へんけい）します。
  2. Phương trình trở thành 4\(\cos^2\) x + 2\(\cos\) x - 2 = 0, hay 2\(\cos^2\) x + \(\cos\) x - 1 = 0.方程（ほうてい）式（しき）は 4\(\cos^2\) x + 2\(\cos\) x - 2 = 0、すなわち 2\(\cos^2\) x + \(\cos\) x - 1 = 0 となります。
  3. Phân tích thành nhân tử thu được \((\cos x + 1) (2 \cos x - 1) = 0\).因数（いんすう）分解（ぶんかい）すると \((\cos x + 1) (2 \cos x - 1) = 0\) が得（え）られます。
  4. Trên khoảng (0, \(\pi\)), \(\cos x = 1 / 2\) dẫn đến \(x = \pi / 3\), còn \(\cos x = -1\) cho \(x = \pi\) ở biên.区間（くかん） (0, \(\pi\)) において \(\cos x = 1 / 2\) より \(x = \pi / 3\)、端点（たんてん）では \(\cos x = -1\) より \(x = \pi\) となります。
Vậy các giá trị x làm cho đạo hàm bằng 0 trên khoảng [0, \(\pi\)] là \(x = \pi / 3\) và \(x = \pi\).したがって、区間（くかん） [0, \(\pi\)] において導（どう）関数（かんすう）が0となるxの値（あたい）は \(x = \pi / 3\) および \(x = \pi\) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho đạo hàm y' = \(2 \cos x + 2 \cos 2 x\). Giá trị của y' tại x = 0 là bao nhiêu?導（どう）関数（かんすう） y' = \(2 \cos x + 2 \cos 2 x\) が与（あた）えられている。x = 0 における y' の値（あたい）はいくらか。

2. Cho đạo hàm cấp hai y'' = -\(2 \sin x - 4 \sin 2 x\). Giá trị của y'' tại \(x = \pi / 2\) là bao nhiêu?第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう） y'' = -\(2 \sin x - 4 \sin 2 x\) が与（あた）えられている。\(x = \pi / 2\) における y'' の値（あたい）はいくらか。

3. Cho phương trình f'\((x) = (3 x + 2) / (2 \sqrt{1 + x})\). Giá trị x nào làm cho f'(x) = 0?導（どう）関数（かんすう） f'\((x) = (3 x + 2) / (2 \sqrt{1 + x})\) において、f'(x) = 0 となるxの値（あたい）はどれか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.2 · MATH.19.1 · MATH.19.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.2 · MATH.19.1 · MATH.19.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Xác định đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai để xét tính lồi lõm và điểm uốn.第（だい）1次（じ）導（どう）関数（かんすう）と第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）を求（もと）め、凹凸（おうとつ）と変曲（へんきょく）点（てん）を判定（はんてい）する。
  2. Phân tích đường cong hàm ẩn và dạng biểu diễn bằng tham số.陰（いん）関数（かんすう）と媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）による曲線（きょくせん）を解析（かいせき）する。
  3. Khảo sát cực trị và vẽ bảng biến thiên chính xác.極値（きょくち）を調査（ちょうさ）し、正確（せいかく）な増減（ぞうげん）表（ひょう）を作成（さくせい）する。
Trực giác · イメージ

Hình dung sự thay đổi của đường cong qua đạo hàm導（どう）関数（かんすう）による曲線（きょくせん）の変化（へんか）の視覚（しかく）化（か）

Việc khảo sát đồ thị giống như việc quan sát hướng di chuyển và độ cong của một tuyến đường. Đạo hàm cho biết độ dốc, trong khi đạo hàm cấp hai biểu thị tính lồi lõm của đồ thị.

グラフの調査（ちょうさ）は、道路（どうろ）の進行（しんこう）方向（ほうこう）と曲（ま）がり具合（ぐあい）を観察（かんさつ）することに似（に）ています。導（どう）関数（かんすう）は傾（かたむ）きを示（しめ）し、第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）はグラフの凹凸（おうとつ）を表（あらわ）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 凹凸（おうとつ）tính lồi lõm

    Tính lồi lõm của đồ thị mô tả hình dạng cong lên hay cong xuống dựa vào dấu của đạo hàm cấp hai.

    グラフの凹凸（おうとつ）は、第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）の符号（ふごう）に基（もと）づいて上（あ）がりに凸（とつ）か下（さ）がりに凸（とつ）かを表（あらわ）します。

  • 変曲（へんきょく）点（てん）điểm uốn

    Điểm uốn là điểm mà tại đó đồ thị thay đổi tính lồi lõm và đạo hàm cấp hai đổi dấu.

    変曲（へんきょく）点（てん）とは、グラフの凹凸（おうとつ）が入れ替（いれか）わり、第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）の符号（ふごう）が変（か）わる点（てん）のことです。

  • 極値（きょくち）cực trị

    Cực trị gồm cực đại và cực tiểu, nơi đạo hàm đổi dấu khi đi qua điểm đó.

    極値（きょくち）には極大（きょくだい）と極小（きょくしょう）があり、その点（てん）を通過（つうか）するときに導（どう）関数（かんすう）の符号（ふごう）が変化（へんか）します。

  • 陰（いん）関数（かんすう）hàm ẩn

    Hàm ẩn là dạng phương trình liên hệ trực tiếp giữa hai biến x và y mà không tách biệt hẳn y theo x.

    陰（いん）関数（かんすう）とは、yをxで直接（ちょくせつ）表（あらわ）さず、xとyの関係（かんけい）式（しき）として定義（ていぎ）される関数（かんすう）のことです。

  • 重複（ちょうふく）点（てん）điểm kép

    Điểm kép là điểm trên đường cong mà tại đó đường cong tự cắt chính nó hoặc tiếp xúc với chính nó.

    重複（ちょうふく）点（てん）とは、曲線（きょくせん）が自身（じしん）と交差（こうさ）するか、または自身（じしん）に接（せっ）する点（てん）のことです。

  • 媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）biểu diễn bằng tham số

    Biểu diễn bằng tham số giúp biểu diễn tọa độ x và y theo một biến trung gian độc lập.

    媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）は、座標（ざひょう）xとyを独立（どくりつ）した媒介（ばいかい）変数（へんすう）を用（もち）いて表（あらわ）す方法（ほうほう）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）する

    Bước 1: Tính các đạo hàm

    Tính đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của hàm số đã cho. Việc này giúp xác định các điểm dừng và độ cong.

    与（あた）えられた関数（かんすう）の第（だい）1次（つぎ）および第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）します。これにより停留（ていりゅう）点（てん）と曲（ま）がり具合（ぐあい）が定（さだ）まります。

  2. 02
    ステップ2：特別（とくべつ）な点（てん）を求（もと）める

    Bước 2: Tìm điểm đặc biệt

    Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị và điểm uốn. Lập danh sách các giá trị x tương ứng.

    導（どう）関数（かんすう）が0となる方程（ほうてい）式（しき）を解（と）き、極値（きょくち）や変曲（へんきょく）点（てん）を求（もと）めます。対応（たいおう）するxの値（あたい）をリストアップします。

  3. 03
    ステップ3：増減（ぞうげん）表（ひょう）を作成（さくせい）する

    Bước 3: Lập bảng biến thiên

    Xác định dấu của đạo hàm trên từng khoảng để lập bảng biến thiên. Xét chiều biến thiên và tính lồi lõm của đồ thị.

    各（かく）区間（くかん）での導（どう）関数（かんすう）の符号（ふごう）を判定（はんてい）し、増減（ぞうげん）表（ひょう）を作成（さくせい）します。関数（かんすう）の増減（ぞうげん）と凹凸（おうとつ）の向（む）きを考察（こうさつ）します。

  4. 04
    ステップ4：グラフを描画（びょうが）する

    Bước 4: Phác họa đồ thị

    Vẽ các điểm cực trị, điểm uốn và các đường tiệm cận nếu có. Nối các điểm bằng đường cong mịn phù hợp.

    極値（きょくち）、変曲（へんきょく）点（てん）、および漸近（ぜんきん）線（せん）が存在（そんざい）する場合（ばあい）はそれらを描（えが）きます。それらを滑（なめ）らかな曲線（きょくせん）で結（むす）びます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Bỏ qua việc thử nghiệm dấu của đạo hàm cấp hai khi tìm điểm uốn.変曲（へんきょく）点（てん）を求（もと）める際（さい）に第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）の符号（ふごう）変化（へんか）の確認（かくにん）を怠（おこた）ること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Đạo hàm cấp hai bằng 0 chưa đủ, bắt buộc đạo hàm cấp hai phải đổi dấu qua điểm đó.第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）が0であるだけでは不（ふ）十分（じゅうぶん）で、その前後（ぜんご）で符号（ふごう）が変化（へんか）することを確認（かくにん）する必要（ひつよう）があります。

Nhầm lẫn giữa điểm cực trị và điểm uốn khi lập bảng biến thiên.増減（ぞうげん）表（ひょう）を作成（さくせい）する際（さい）に極値（きょくち）と変曲（へんきょく）点（てん）を混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Cực trị liên quan đến sự đổi dấu của y', còn điểm uốn liên quan đến sự đổi dấu của y''.極値（きょくち）はy'の符号（ふごう）変化（へんか）に、変曲（へんきょく）点（てん）はy''の符号（ふごう）変化（へんか）に対応（たいおう）することを明確（めいかく）に区別（くべつ）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Đạo hàm cấp một y' cho biết chiều biến thiên và các điểm cực trị của đồ thị.第（だい）1次（じ）導（どう）関数（かんすう）y'はグラフの増減（ぞうげん）と極値（きょくち）を決定（けってい）します。
  • Đạo hàm cấp hai y'' xác định tính lồi lõm và các điểm uốn của đường cong.第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）y''は曲線（きょくせん）の凹凸（おうとつ）と変曲（へんきょく）点（てん）を特定（とくてい）します。
  • Biểu diễn hàm ẩn và tham số giúp khảo sát các đường cong phức tạp hơn.陰（いん）関数（かんすう）や媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）により、より複雑（ふくざつ）な曲線（きょくせん）を解析（かいせき）できます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

y' = 2\cos x + 2\cos 2x

Đạo hàm cấp một biểu thị tốc độ thay đổi và độ dốc của tiếp tuyến.

第（だい）1次（じ）導（どう）関数（かんすう）は変化（へんか）率（りつ）と接線（せっせん）の傾（かたむ）きを表（あらわ）します。

y'' = -2\sin x - 4\sin 2x

Đạo hàm cấp hai dùng để xét tính lồi lõm và xác định điểm uốn.

第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）は凹凸（おうとつ）の判定（はんてい）と変曲（へんきょく）点（てん）の特定（とくてい）に用（もち）いられます。

y^2 = x^2(1+x)

Phương trình hàm ẩn mô tả đường cong có điểm kép tại gốc tọa độ.

原点（げんてん）に重複（ちょうふく）点（てん）を持（も）つ曲線（きょくせん）を表（あらわ）す陰（いん）方程（ほうてい）式（しき）です。

f'(x) = \sqrt{1+x} + \frac{x}{2\sqrt{1+x}} = \frac{3x+2}{2\sqrt{1+x}}

Đạo hàm của hàm căn thức kết hợp tích giúp tìm điểm cực trị.

積（せき）と根号（こんごう）を含（ふく）む関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）であり、極値（きょくち）を求（もと）める際（さい）に利用（りよう）します。

EJU 2026 · MATH.16.2 · MATH.19.1 · MATH.19.2

Bài học giúp bạn nắm vững cách khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số đa dạng trong toán học. Bạn sẽ học cách xác định đạo hàm, cực trị và hình dạng đồ thị một cách hệ thống.

この課（か）では、いろいろな関数（かんすう）のグラフの調（しら）べる方法（ほうほう）と描（えが）き方（かた）をマスターします。導（どう）関数（かんすう）、極値（きょくち）、グラフの形状（けいじょう）を体系（たいけい）的（てき）に決定（けってい）する手順（てじゅん）を学（まな）びます。

いろいろな関数（かんすう）のグラフ
凹凸変曲点極値陰関数