Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Biểu diễn tham số và miền giá trị媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）と変域（へんいき）

Công thức公式

a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)
x=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)
y=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{3}{4}\pi\right)
x^2+y^2=2

Ví dụ例題

Cho tọa độ điểm M(x, y) phụ thuộc tham số \(\theta\) qua biểu thức \(x = \sqrt{2}\cdot \sin (\theta + \pi / 4)\) và \(y = \sqrt{2}\cdot \sin (\theta + 3\cdot \pi / 4)\). Hãy tìm giá trị lớn nhất của x và chứng minh \(x^{2} + y^{2} = 2\).

座標（ざひょう） M(x, y) が媒介（ばいかい）変数（へんすう） \(\theta\) を用（もち）いて \(x = \sqrt{2}\cdot \sin (\theta + \pi / 4)\)、\(y = \sqrt{2}\cdot \sin (\theta + 3\cdot \pi / 4)\) と表（あらわ）されるとき、x の最大（さいだい）値（ち）を求（もと）め、\(x^{2} + y^{2} = 2\) を証明（しょうめい）せよ。

  1. Do hàm \(\sin (\theta + \pi / 4)\) nhận giá trị trong đoạn [-1, 1], giá trị lớn nhất của \(\sin (\theta + \pi / 4)\) là 1.\(\sin (\theta + \pi / 4)\) の取（と）り得（え）る値（あたい）の範囲（はんい）は [-1, 1] なので、\(\sin (\theta + \pi / 4)\) の最大（さいだい）値（ち）は 1 です。
  2. Do đó, giá trị lớn nhất của \(x = \sqrt{2}\cdot 1 = \sqrt{2}\).したがって、x の最大（さいだい）値（ち）は \(\sqrt{2}\cdot 1 = \sqrt{2}\) となります。
  3. Khai triển x = sin(theta) + cos(theta) và y = cos(theta) - sin(theta), ta tính x^2 + y^2 = (sin(theta)+cos(theta))^2 + (cos(theta)-sin(theta))^2 = 2(sin^2(theta) + cos^2(theta)) = 2.x = sin(theta) + cos(theta) および y = cos(theta) - sin(theta) と展開（てんかい）し、x^2 + y^2 = (sin(theta)+cos(theta))^2 + (cos(theta)-sin(theta))^2 = 2(sin^2(theta) + cos^2(theta)) = 2 と計算（けいさん）できます。
Giá trị lớn nhất của x là \(\sqrt{2}\) và phương trình quỹ tích thỏa mãn \(x^{2} + y^{2} = 2\).x の最大（さいだい）値（ち）は \(\sqrt{2}\) であり、軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} + y^{2} = 2\) が成立（せいりつ）します。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho \(x = \sqrt{2}\cdot \sin (\theta + \pi / 4)\). Giá trị lớn nhất của x là bao nhiêu?\(x = \sqrt{2}\cdot \sin (\theta + \pi / 4)\) とするとき、x の最大（さいだい）値（ち）はいくらか。

2. Áp dụng công thức hợp nhất hàm lượng giác cho \(\sin (\theta) + \cos (\theta)\), ta thu được biểu thức nào sau đây?\(\sin (\theta) + \cos (\theta)\) に三角（さんかく）関数（かんすう）の合成（ごうせい）公式（こうしき）を適用（てきよう）すると、次（つぎ）のうちどれになるか。

3. Cho \(x = \sin (\theta) + \cos (\theta)\) và \(y = \cos (\theta) - \sin (\theta)\). Khử tham số \(\theta\) thu được phương trình nào?\(x = \sin (\theta) + \cos (\theta)\), \(y = \cos (\theta) - \sin (\theta)\) とするとき、媒介（ばいかい）変数（へんすう） \(\theta\) を消去（しょうきょ）して得（え）られる方程（ほうてい）式（しき）はどれか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững cách biểu diễn tọa độ x, y qua tham số góc \(\theta\).変数（へんすう） \(\theta\) を用（もち）いた x, y 座標（ざひょう）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）を理解（りかい）する。
  2. Áp dụng công thức hợp nhất hàm lượng giác để tìm miền giá trị.三角（さんかく）関数（かんすう）の合成（ごうせい）公式（こうしき）を適用（てきよう）して変域（へんいき）を求（もと）める。
  3. Nhận biết dạng đường tròn \(x^{2} + y^{2} = 2\) và các đường đặc biệt như đường thân khai, xích-loit.円（えん） \(x^{2} + y^{2} = 2\) や円（えん）の伸開（しんかい）線（せん）、サイクロイドなどの曲線（きょくせん）特徴（とくちょう）を把握（はあく）する。
Trực giác · イメージ

Hiểu trực quan về biểu diễn tham số và miền giá trị媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）と変域（へんいき）の直感（ちょっかん）的（てき）理解（りかい）

Thay vì biểu diễn trực tiếp y theo x, ta dùng tham số \(\theta\) để điều khiển cả x và y. Khi \(\theta\) thay đổi, điểm (x, y) di chuyển tạo thành đường cong với miền giá trị phụ thuộc vào biên của \(\theta\).

x と y を直接（ちょくせつ）結（むす）ぶのではなく、変数（へんすう） \(\theta\) を介（かい）して座標（ざひょう）を動（うご）かします。\(\theta\) の変化（へんか）に伴（ともな）い点（てん） (x, y) が描（えが）く軌跡（きせき）とその変域（へんいき）が決定（けってい）されます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 変域（へんいき）miền giá trị

    Tập hợp các giá trị mà x hoặc y có thể nhận được khi tham số biến thiên trong khoảng cho trước.

    媒介（ばいかい）変数（へんすう）が特定（とくてい）の範囲（はんい）を動（うご）くときに x や y が取（と）り得（え）る値（あたい）の範囲（はんい）のことです。

  • 媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）biểu diễn tham số

    Phương pháp biểu diễn tọa độ x và y theo một biến trung gian \(\theta\).

    座標（ざひょう） x と y を共通（きょうつう）の変数（へんすう） \(\theta\) を用（もち）いて表（あらわ）す形式（けいしき）のことです。

  • 三角（さんかく）関数（かんすう）の合成（ごうせい）hợp nhất hàm lượng giác

    Phép biến đổi biểu thức dạng \(a\cdot \sin (\theta) + b\cdot \cos (\theta)\) về dạng tích của bán kính và hàm sin.

    \(a\cdot \sin (\theta) + b\cdot \cos (\theta)\) の形（かたち）の式（しき）を一（ひと）つの正弦（せいげん）関数（かんすう）にまとめる変形（へんけい）のことです。

  • 円（えん）の伸開（しんかい）線（せん）đường thân khai của đường tròn

    Quỹ tích của đầu một sợi dây khi được dỡ dần ra khỏi một đường tròn cố định.

    円（えん）に巻き付（まきつ）けた糸（いと）を緊張（きんちょう）させて解（と）くときに糸（いと）の端点（たんてん）が描（えが）く軌跡（きせき）です。

  • インボリュートđường thân khai (involute)

    Tên tiếng Anh của đường thân khai, một đường cong tạo bởi việc gỡ dây khỏi đường tròn.

    円（えん）の伸開（しんかい）線（せん）の別名（べつめい）であり、幾何（きか）学（がく）的（てき）な曲線（きょくせん）の一種（いっしゅ）です。

  • サイクロイドxich-loit (cycloid)

    Quỹ tích của một điểm trên đường tròn khi đường tròn đó lăn không trượt trên một đường thẳng.

    円（えん）が直線（ちょくせん）上（うえ）がすべることなく回転（かいてん）するとき、円周（えんしゅう）上（じょう）の定点（ていてん）が描（えが）く軌跡（きせき）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）の確認（かくにん）

    Bước 1: Nhận diện biểu diễn tham số

    Xác định các biểu thức của x và y theo tham số \(\theta\). Kiểm tra mối liên hệ giữa các hàm lượng giác.

    変数（へんすう） \(\theta\) による x と y の表式（ひょうしき）を確認（かくにん）します。三角（さんかく）関数（かんすう）の関係（かんけい）性（せい）を把握（はあく）します。

  2. 02
    ステップ2: 三角（さんかく）関数（かんすう）の合成（ごうせい）の適用（てきよう）

    Bước 2: Sử dụng công thức hợp nhất hàm lượng giác

    Biến đổi biểu thức tuyến tính của \(\sin (\theta)\) và \(\cos (\theta)\) về dạng single sin bằng công thức \(a\cdot \sin (\theta) + b\cdot \cos (\theta) = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\cdot \sin (\theta + \alpha)\). Xác định biên độ \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\).

    \(a\cdot \sin (\theta) + b\cdot \cos (\theta) = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\cdot \sin (\theta + \alpha)\) を用（もち）いて単一（たんいつ）の正弦（せいげん）関数（かんすう）に合成（ごうせい）します。振幅（しんぷく） \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) を求（もと）めます。

  3. 03
    ステップ3: 変域（へんいき）の決定（けってい）

    Bước 3: Xác định miền giá trị

    Dựa vào khoảng giá trị của hàm sin từ -1 đến 1 để suy ra miền giá trị của x và y. Chú ý điều kiện giới hạn của \(\theta\) nếu có.

    正弦（せいげん）関数（かんすう）のとり得（え）る値（あたい）の範囲（はんい） -1 から 1 に基（もと）づき、x や y の変域（へんいき）を算出（さんしゅつ）します。\(\theta\) の範囲（はんい）制限（せいげん）に注意（ちゅうい）します。

  4. 04
    ステップ4: 媒介（ばいかい）変数（へんすう）の消去（しょうきょ）による軌跡（きせき）の導出（どうしゅつ）

    Bước 4: Khử tham số để tìm phương trình quỹ tích

    Tính \(x^{2} + y^{2}\) để khử tham số \(\theta\). Kết quả thu được phương trình đường tròn \(x^{2} + y^{2} = 2\).

    \(x^{2} + y^{2}\) を計算（けいさん）して変数（へんすう） \(\theta\) を消去（しょうきょ）します。円（えん）の方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} + y^{2} = 2\) が導（みちび）かれます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn biên độ khi hợp nhất hàm lượng giác, cho rằng giá trị lớn nhất của \(x = \sin (\theta) + \cos (\theta)\) là 2.三角（さんかく）関数（かんすう）の合成（ごうせい）において振幅（しんぷく）を見誤（みあやま）り、\(x = \sin (\theta) + \cos (\theta)\) の最大（さいだい）値（ち）を 2 と誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Cần dùng công thức hợp nhất: \(\sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\), do đó giá trị lớn nhất chính xác là \(\sqrt{2}\).合成（ごうせい）公式（こうしき）により \(\sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\) となるため、正確（せいかく）な最大（さいだい）値（ち）は \(\sqrt{2}\) です。

Quên kiểm tra miền biến thiên của tham số \(\theta\) dẫn đến xác định sai miền giá trị của x và y.媒介（ばいかい）変数（へんすう） \(\theta\) の変域（へんいき）確認（かくにん）を怠（おこた）り、x や y の変域（へんいき）を誤（あやま）って設定（せってい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn kiểm tra điều kiện góc \(\theta\) (ví dụ từ 0 đến \(\pi\) hay 0 đến \(2\cdot \pi\)) trước khi kết luận miền giá trị.変域（へんいき）を結論（けつろん）付（つ）ける前（まえ）に、角（かく） \(\theta\) の範囲（はんい）条件（じょうけん）（0から\(\pi\)か、0から\(2\cdot \pi\)かなど）を必（かなら）ず確認（かくにん）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Biểu diễn tham số dùng biến góc \(\theta\) để xác định tọa độ các điểm trên đường cong.媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）は角（かく） \(\theta\) を用（もち）いて曲線（きょくせん）上（じょう）の点（てん）座標（ざひょう）を決定（けってい）します。
  • Hợp nhất hàm lượng giác \(a\cdot \sin (\theta) + b\cdot \cos (\theta) = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\cdot \sin (\theta + \alpha)\) giúp xác định chính xác miền giá trị.三角（さんかく）関数（かんすう）の合成（ごうせい） \(a\cdot \sin (\theta) + b\cdot \cos (\theta) = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\cdot \sin (\theta + \alpha)\) により正確（せいかく）な変域（へんいき）が求（もと）まります。
  • Khử tham số \(\theta\) bằng cách tính tổng bình phương \(x^{2} + y^{2}\) để đưa về phương trình đường tròn \(x^{2} + y^{2} = 2\).2乗（のり）の和（わ） \(x^{2} + y^{2}\) を計算（けいさん）して \(\theta\) を消去（しょうきょ）し、円（えん）の方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} + y^{2} = 2\) に帰着（きちゃく）させます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)

Công thức hợp nhất hai hàm lượng giác sin và cos cùng góc thành một hàm \(\sin\) duy nhất.

同（おな）じ角（かく）の sin と cos の一（いち）次（じ）結合（けつごう）を一（ひと）つの sin にまとめる合成（ごうせい）公式（こうしき）です。

x=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)

Biểu diễn tham số của x sau khi hợp nhất \(\sin (\theta) + \cos (\theta)\).

\(\sin (\theta) + \cos (\theta)\) を合成（ごうせい）して得（え）られる x の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）です。

y=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{3}{4}\pi\right)

Biểu diễn tham số của y sau khi hợp nhất \(\cos (\theta) - \sin (\theta)\).

\(\cos (\theta) - \sin (\theta)\) を合成（ごうせい）して得（え）られる y の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）です。

x^2+y^2=2

Phương trình đường tròn bán kính \(\sqrt{2}\) thu được sau khi khử tham số \(\theta\).

媒介（ばいかい）変数（へんすう） \(\theta\) を消去（しょうきょ）して得（え）られる半径（はんけい） \(\sqrt{2}\) の円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）です。

EJU 2026 · MATH.16.2

Biểu diễn tham số giúp xác định tọa độ các điểm trên đường cong thông qua biến trung gian. Việc xác định miền giá trị dựa vào hợp nhất hàm lượng giác là kỹ năng quan trọng trong bài thi EJU.

媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）は変数（へんすう）を用（もち）いて曲線（きょくせん）上（じょう）の座標（ざひょう）を表（あらわ）す方法（ほうほう）です。三角（さんかく）関数（かんすう）の合成（ごうせい）を利用（りよう）して変域（へんいき）を求（もと）める手法（しゅほう）を学（まな）びます。

媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）と変域（へんいき）
変域媒介変数表示三角関数の合成円の伸開線