Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Biểu diễn tham số của đường cong và phương trình cực Phần 1曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）と極（ごく）方程（ほうてい）式（しき） 第（だい）1部（ぶ）

Công thức公式

x = (1+\cos\theta)\cos\theta, y = (1+\cos\theta)\sin\theta
r = 1 + \cos\theta
S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta

Ví dụ例題

Cho phương trình cực \(r = 1 + \cos \theta\). Hãy tính giá trị của r tại \(\theta = 0\) và \(\theta = \pi / 2\).

極（ごく）方程（ほうてい）式（しき） \(r = 1 + \cos \theta\) が与（あた）えられている。\(\theta = 0\) および \(\theta = \pi / 2\) におけるrの値（あたい）を求（もと）めよ。

  1. Khi \(\theta = 0\), \(\cos (0) = 1\). Do đó r = 1 + 1 = 2.\(\theta = 0\) のとき、\(\cos (0) = 1\) です。したがって r = 1 + 1 = 2 となります。
  2. Khi \(\theta = \pi / 2\), \(\cos (\pi / 2) = 0\). Do đó r = 1 + 0 = 1.\(\theta = \pi / 2\) のとき、\(\cos (\pi / 2) = 0\) です。したがって r = 1 + 0 = 1 となります。
  3. Tọa độ cực tương ứng là (2, 0) và (1, \(\pi / 2\)).対応（たいおう）する極（ごく）座標（ざひょう）は (2, 0) および (1, \(\pi / 2\)) となります。
Vậy tại \(\theta = 0\) thì r = 2, và tại \(\theta = \pi / 2\) thì r = 1.したがって、\(\theta = 0\) では r = 2、\(\theta = \pi / 2\) では r = 1 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho phương trình cực \(r = 1 + \cos \theta\). Giá trị của r tại \(\theta = \pi\) là bao nhiêu?極（ごく）方程（ほうてい）式（しき） \(r = 1 + \cos \theta\) が与（あた）えられている。\(\theta = \pi\) における r の値（あたい）はいくらか。

2. Cho đường cong \(r = 1 + \cos \theta\). Tọa độ vuông góc x tại \(\theta = 0\) là bao nhiêu?曲線（きょくせん） \(r = 1 + \cos \theta\) において、\(\theta = 0\) のときの直交（ちょっこう）座標（ざひょう） x の値（あたい）はいくらか。

3. Biểu thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi r từ \(\theta = 0\) đến \(\theta = \pi\) được tính theo công thức nào?\(\theta = 0\) から \(\theta = \pi\) までの極（ごく）半径（はんけい）rによって囲（かこ）まれる図形（ずけい）の面積（めんせき）Sを表（あらわ）す式（しき）はどれか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.2 · MATH.16.3 · MATH.19.2 · MATH.20.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.2 · MATH.16.3 · MATH.19.2 · MATH.20.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu khái niệm cực, trục cực và hệ tọa độ cực.極（きょく）、始線（しせん）、および極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）の概念（がいねん）を理解（りかい）する。
  2. Chuyển đổi giữa biểu diễn tham số và phương trình cực.媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）と極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）の相互（そうご）変換（へんかん）を理解（りかい）する。
  3. Áp dụng công thức tích phân cực để tính diện tích hình phẳng.極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）の積分（せきぶん）公式（こうしき）を適用（てきよう）して面積（めんせき）を計算（けいさん）する。
Trực giác · イメージ

Mô tả điểm bằng khoảng cách và góc xoay距離（きょり）と回転（かいてん）角（かく）による点（てん）の表現（ひょうげん）

Thay vì dùng tọa độ vuông góc x và y, tọa độ cực mô tả vị trí của điểm dựa vào khoảng cách r đến gốc cực và góc xoay \(\theta\) so me với trục cực. Cách tiếp cận này rất phù hợp cho các đường cong tròn và đối xứng.

直交（ちょっこう）座標（ざひょう）x, yの代（か）わりに、極（ごく）座標（ざひょう）では極（きょく）からの距離（きょり）rと始線（しせん）からの回転（かいてん）角（かく）\(\theta\)を用（もち）いて点（てん）の位置（いち）を表（あらわ）します。この方法（ほうほう）は円（えん）運動（うんどう）や対称（たいしょう）な曲線（きょくせん）の記述（きじゅつ）に非常（ひじょう）に適（てき）しています。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）phương trình cực

    Phương trình cực biểu diễn mối quan hệ giữa bán kính r và góc cực \(\theta\).

    極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）は、極（ごく）半径（はんけい）rと偏角（へんかく）\(\theta\)の間（あいだ）の関係（かんけい）を表（あらわ）す方程（ほうてい）式（しき）です。

  • 極（ごく）座標（ざひょう）tọa độ cực

    Tọa độ cực xác định vị trí điểm bằng cặp số (r, \(\theta\)) trên mặt phẳng.

    極（ごく）座標（ざひょう）は、平面（へいめん）上（じょう）の点（てん）の位置（いち）を(r, \(\theta\))の組（くみ）で特定（とくてい）します。

  • 極（きょく）cực

    Cực là gốc tọa độ trong hệ tọa độ cực, làm mốc đo khoảng cách r.

    極（きょく）とは、極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）における原点（げんてん）であり、距離（きょり）rの基準（きじゅん）点（てん）となります。

  • 始線（しせん）trục cực

    Trục cực là tia mốc cố định xuất phát từ cực để đo góc cực \(\theta\).

    始線（しせん）とは、極（きょく）から伸（の）びる固定（こてい）された半（はん）直線（ちょくせん）であり、偏角（へんかく）\(\theta\)の基準（きじゅん）となります。

  • 半（はん）直線（ちょくせん）nửa đường thẳng

    Nửa đường thẳng xuất phát từ cực ứng với một góc cực \(\theta\) cố định.

    半（はん）直線（ちょくせん）は、特定（とくてい）の偏角（へんかく）\(\theta\)に対応（たいおう）して極（きょく）から伸（の）びる直線（ちょくせん）です。

  • 接線（せっせん）tiếp tuyến

    Tiếp tuyến của đường cong cực mô tả hướng chuyển động tức thời tại mỗi điểm.

    極（ごく）曲線（きょくせん）の接線（せっせん）は、各点（かくてん）における瞬間（しゅんかん）の進行（しんこう）方向（ほうこう）を示（しめ）します。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：極（ごく）座標（ざひょう）を特定（とくてい）する

    Bước 1: Xác định tọa độ cực

    Biểu diễn vị trí của điểm thông qua khoảng cách r từ cực và góc \(\theta\) so với trục cực. Lưu ý điều kiện của r và \(\theta\).

    極（きょく）からの距離（きょり）rと始線（しせん）からの角（かく）\(\theta\)を用（もち）いて点（てん）の位置（いち）を表（あらわ）します。rと\(\theta\)の範囲（はんい）に注意（ちゅうい）します。

  2. 02
    ステップ2：極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）を設定（せってい）する

    Bước 2: Thiết lập phương trình cực

    Biến đổi mối quan hệ giữa các tọa độ để thu được phương trình dạng \(r = f(\theta)\). Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản.

    座標（ざひょう）間（かん）の関係（かんけい）を変形（へんけい）して \(r = f(\theta)\) の形（かたち）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）を得（え）ます。基本（きほん）的（てき）な三角（さんかく）関数（かんすう）公式（こうしき）を利用（りよう）します。

  3. 03
    ステップ3：媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）に変換（へんかん）する

    Bước 3: Chuyển sang dạng tham số

    Sử dụng quan hệ \(x = r \cos \theta\) và \(y = r \sin \theta\) để đưa đường cong về dạng tham số theo \(\theta\). Điều này hỗ trợ việc tính tiếp tuyến.

    \(x = r \cos \theta\) および \(y = r \sin \theta\) の関係（かんけい）を用（もち）いて、曲線（きょくせん）を\(\theta\)に関（かん）する媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）に変換（へんかん）します。これは接線（せっせん）の計算（けいさん）に役立（やくだ）ちます。

  4. 04
    ステップ4：図形（ずけい）の面積（めんせき）を計算（けいさん）する

    Bước 4: Tính diện tích hình phẳng

    Áp dụng công thức tích phân phân vùng cực để tính diện tích quét bởi bán kính r. Tính tích phân từ góc \(\alpha\) đến góc \(\beta\).

    扇形（せんけい）要素（ようそ）の積分（せきぶん）公式（こうしき）を適用（てきよう）して、極（ごく）半径（はんけい）rが描（えが）く図形（ずけい）の面積（めんせき）を計算（けいさん）します。角（かく）\(\alpha\)から\(\beta\)まで積分（せきぶん）を実行（じっこう）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn công thức diện tích hệ tọa độ cực với tích phân theo x và y.極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）の面積（めんせき）公式（こうしき）を直交（ちょっこう）座標（ざひょう）系（けい）のx, y積分（せきぶん）と混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Diện tích trong tọa độ cực có hệ số 1/2 và lấy tích phân của \(r^{2}\) theo \(d \theta\).極（ごく）座標（ざひょう）での面積（めんせき）は1/2の係数（けいすう）を持（も）ち、\(r^{2}\)を\(d \theta\)で積分（せきぶん）することを忘（わす）れないようにします。

Quên chuyển đổi r thành biểu thức của \(\theta\) trước khi tính tích phân diện tích.面積（めんせき）積分（せきぶん）を計算（けいさん）する前（まえ）にrを\(\theta\)の式（しき）に置き換（おきか）えるのを忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Phải thay \(r = f(\theta)\) vào \(r^{2}\) trước khi thực hiện lấy tích phân.積分（せきぶん）を実行（じっこう）する前（まえ）に、必（かなら）ず \(r = f(\theta)\) を \(r^{2}\) に代入（だいにゅう）して\(\theta\)の式（しき）にします。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Tọa độ cực mô tả điểm dựa trên bán kính r và góc cực \(\theta\).極（ごく）座標（ざひょう）は極（ごく）半径（はんけい）rと偏角（へんかく）\(\theta\)によって点（てん）を表現（ひょうげん）します。
  • Phương trình cực \(r = f(\theta)\) có thể chuyển sang dạng biểu diễn tham số \(x (\theta)\), \(y (\theta)\).極（ごく）方程（ほうてい）式（しき） \(r = f(\theta)\) は媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ） \(x (\theta)\), \(y (\theta)\) に変換（へんかん）できます。
  • Diện tích hình phẳng trong tọa độ cực được tính bằng công thức tích phân với \(r^{2}\).極（ごく）座標（ざひょう）における図形（ずけい）の面積（めんせき）は\(r^{2}\)を用（もち）いた積分（せきぶん）公式（こうしき）によって求（もと）められます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

x = (1+\cos\theta)\cos\theta, y = (1+\cos\theta)\sin\theta

Biểu diễn tham số của đường hình tim (cardioid) theo góc \(\theta\).

偏角（へんかく）\(\theta\)を用（もち）いたカージオイド曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）です。

r = 1 + \cos\theta

Phương trình cực cơ bản của đường cardioid với bán kính thay đổi theo \(\theta\).

偏角（へんかく）\(\theta\)とともに半径（はんけい）が変化（へんか）するカージオイドの基本（きほん）極（きょく）方程（ほうてい）式（しき）です。

S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta

Công thức tích phân để tính diện tích miền phẳng trong hệ tọa độ cực.

極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）において平面（へいめん）図形（ずけい）の面積（めんせき）を求（もと）めるための積分（せきぶん）公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.16.2 · MATH.16.3 · MATH.19.2 · MATH.20.2

Bài học hướng dẫn cách biểu diễn đường cong bằng tọa độ cực và phương trình cực. Bạn sẽ học cách tính diện tích hình phẳng quét bởi bán kính góc cực.

この課（か）では、極（ごく）座標（ざひょう）と極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）を用（もち）いた曲線（きょくせん）の表（あらわ）し方（かた）を学（まな）びます。極（ごく）半径（はんけい）が描（えが）く図形（ずけい）の面積（めんせき）を求（もと）める方法（ほうほう）を習得（しゅうとく）します。

曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）と極（ごく）方程（ほうてい）式（しき） 第（だい）1部（ぶ）
極方程式極座標極始線