Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Biểu diễn tham số của đường cong và phương trình cực Phần 2曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）と極（ごく）方程（ほうてい）式（しき） 第（だい）2部（ぶ）

Công thức公式

\frac{dx}{d\theta} = -\sin\theta(2\cos\theta+1)
\frac{dy}{d\theta} = (1+\cos\theta)(2\cos\theta-1)
x = a\cos\theta, y = b\sin\theta

Ví dụ例題

Cho đường elip có phương trình tham số x = a cos theta và y = b sin theta với a = 3, b = 2 và theta thuộc khoảng [0, pi/2]. Tìm điểm mà tại đó hoành độ x đạt giá trị lớn nhất.

a = 3, b = 2およびthetaが[0, pi/2]の範囲（はんい）にある楕円（だえん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ） x = a cos theta, y = b sin theta が与（あた）えられています。x座標（ざひょう）が最大（さいだい）値（ち）をとる点（てん）を求（もと）めなさい。

  1. Viết phương trình tham số cụ thể: x = 3 cos theta, y = 2 sin theta với theta thuộc [0, pi/2].具体（ぐたい）的（てき）な媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ） x = 3 cos theta, y = 2 sin theta (0 <= theta <= pi/2) を書き下（かきくだ）します。
  2. Xét sự biến thiên của x: trên [0, pi/2], hàm cos theta giảm từ 1 xuống 0, do đó x = 3 cos theta giảm từ 3 xuống 0.xの増減（ぞうげん）を調（しら）べます。[0, pi/2]においてcos thetaは1から0へ減少（げんしょう）するため、x = 3 cos thetaは3から0へ減少（げんしょう）します。
  3. Bảng biến thiên cho thấy x đạt giá trị lớn nhất bằng 3 tại theta = 0, ứng với điểm (3, 0).増減（ぞうげん）表（ひょう）より、xはtheta = 0のとき最大（さいだい）値（ち）3をとり、対応（たいおう）する点（てん）は(3, 0)となります。
Vậy điểm làm hoành độ x đạt giá trị lớn nhất là (3, 0) với giá trị lớn nhất bằng 3.したがって、x座標（ざひょう）が最大（さいだい）値（ち）をとる点（てん）は(3, 0)であり、その最大（さいだい）値（ち）は3です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho elip x = 4 cos theta, y = 3 sin theta với theta thuộc [0, 2pi]. Tiếp tuyến của elip song song với trục x tại những giá trị theta nào?楕円（だえん） x = 4 cos theta, y = 3 sin theta (0 <= theta <= 2pi) について、接線（せっせん）がx軸（じく）に平行（へいこう）になるthetaの値（あたい）はどれですか。

2. Cho công thức dy/dtheta = (1 + cos theta)(2 cos theta - 1). Trong khoảng (0, pi), giá trị theta nào làm dy/dtheta = 0?公式（こうしき） dy/dtheta = (1 + cos theta)(2 cos theta - 1) について、区間（くかん）(0, pi)内（うち）で dy/dtheta = 0 となるthetaの値（あたい）はどれですか。

3. Cho dx/dtheta = -sin theta (2 cos theta + 1). Trong khoảng (0, pi), giá trị theta làm dx/dtheta = 0 để tiếp tuyến song song với trục y là giá trị nào?dx/dtheta = -sin theta (2 cos theta + 1) について、区間（くかん）(0, pi)内（うち）で接線（せっせん）がy軸（じく）に平行（へいこう）となる (dx/dtheta = 0) thetaの値（あたい）はどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.2 · MATH.16.3 · MATH.19.2 · MATH.20.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.2 · MATH.16.3 · MATH.19.2 · MATH.20.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu cách khảo sát sự biến thiên của tọa độ x và y theo tham số theta thông qua bảng biến thiên.増減（ぞうげん）表（ひょう）を用（もち）いて、媒介（ばいかい）変数（へんすう）thetaに対（たい）するx座標（ざひょう）およびy座標（ざひょう）の増減（ぞうげん）を理解（りかい）する。
  2. Xác định điều kiện để tiếp tuyến của đường cong song song với trục x hoặc song song với trục y.曲線（きょくせん）の接線（せっせん）がx軸（じく）に平行（へいこう）またはy軸（じく）に平行（へいこう）になる条件（じょうけん）を特定（とくてい）する。
  3. Vận dụng biểu diễn tham số của elip để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.楕円（だえん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）を活用（かつよう）して、最大（さいだい）値（ち）および最小（さいしょう）値（ち）を求（もと）める。
Trực giác · イメージ

Sự thay đổi của điểm trên đường cong theo tham số媒介（ばいかい）変数（へんすう）に伴（ともな）う曲線（きょくせん）上（じょう）の点（てん）の動（うご）き

Khi tham số biến thiên, tọa độ điểm trên đường cong thay đổi đồng thời theo cả hai trục. Việc xét dấu đạo hàm dx/dtheta và dy/dtheta giúp ta vẽ bảng biến thiên và biết chính xác khi nào tiếp tuyến song song với trục x hay trục y.

媒介（ばいかい）変数（へんすう）が変化（へんか）すると、曲線（きょくせん）上（じょう）の点（てん）の座標（ざひょう）は両（りょう）軸（じく）方向（ほうこう）に同時（どうじ）に変化（へんか）します。導（どう）関数（かんすう）dx/dthetaおよびdy/dthetaの符号（ふごう）を調（しら）べることで、増減（ぞうげん）表（ひょう）を作成（さくせい）し、接線（せっせん）がx軸（じく）またはy軸（じく）に平行（へいこう）になる瞬間（しゅんかん）を正確（せいかく）に把握（はあく）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 楕円（だえん）elip

    Đường cong hình bầu dục có phương trình tham số dạng x = a cos theta và y = b sin theta. Ta có thể xác định các điểm đặc biệt trên elip nhờ sự biến thiên của theta.

    媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）x = a cos theta, y = b sin thetaで表（あらわ）される楕円（だえん）状（じょう）の曲線（きょくせん）です。thetaの変化（へんか）を通（つう）じて楕円（だえん）上（じょう）の特別（とくべつ）な点（てん）を特定（とくてい）できます。

  • 最大（さいだい）値（ち）giá trị lớn nhất

    Giá trị lớn nhất của hoành độ hoặc tung độ thu được bằng cách khảo sát bảng biến thiên trên miền xác định của tham số.

    媒介（ばいかい）変数（へんすう）の定義（ていぎ）域（いき）で増減（ぞうげん）表（ひょう）を調（しら）べることにより得（え）られる、x座標（ざひょう）またはy座標（ざひょう）の最大（さいだい）の値（あたい）です。

  • 最小（さいしょう）値（ち）giá trị nhỏ nhất

    Giá trị nhỏ nhất của hoành độ hoặc tung độ thu được khi điểm đạt tới cực tiểu theo tham số.

    媒介（ばいかい）変数（へんすう）に伴（ともな）い点（てん）が極小（きょくしょう）に至（いた）るときに得（え）られる、x座標（ざひょう）またはy座標（ざひょう）の最小（さいしょう）の値（あたい）です。

  • 増減（ぞうげん）表（ひょう）bảng biến thiên

    Bảng tổng hợp dấu của dx/dtheta và dy/dtheta để theo dõi chiều biến thiên của hoành độ và tung độ.

    dx/dthetaおよびdy/dthetaの符号（ふごう）をまとめ、x座標（ざひょう）とy座標（ざひょう）の増減（ぞうげん）の向（む）きを記録（きろく）する表（おもて）です。

  • x軸（じく）に平行（へいこう）song song với trục x

    Tiếp tuyến song song với trục x xảy ra tại điểm có dy/dtheta = 0 và dx/dtheta khác 0.

    dy/dtheta = 0かつdx/dtheta != 0となる点（てん）において、接線（せっせん）がx軸（じく）に平行（へいこう）となります。

  • y軸（じく）に平行（へいこう）song song với trục y

    Tiếp tuyến song song với trục y xảy ra tại điểm có dx/dtheta = 0 và dy/dtheta khác 0.

    dx/dtheta = 0かつdy/dtheta != 0となる点（てん）において、接線（せっせん）がy軸（じく）に平行（へいこう）となります。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：媒介（ばいかい）変数（へんすう）に関（かん）する導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）する

    Bước 1: Tính các đạo hàm theo tham số

    Tính dx/dtheta và dy/dtheta từ phương trình tham số đã cho. Việc này giúp xác định tốc độ thay đổi của x và y theo theta.

    与（あた）えられた媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）からdx/dthetaおよびdy/dthetaを計算（けいさん）します。これによりthetaに対（たい）するxとyの変化（へんか）率（りつ）を特定（とくてい）します。

  2. 02
    ステップ2：導（どう）関数（かんすう）が0となる方程（ほうてい）式（しき）を解（と）く

    Bước 2: Giải phương trình đạo hàm bằng 0

    Tìm các giá trị của theta làm cho dx/dtheta = 0 hoặc dy/dtheta = 0. Đây là vị trí tiếp tuyến song song với trục y hoặc trục x.

    dx/dtheta = 0またはdy/dtheta = 0となるthetaの値（あたい）を求（もと）めます。これらは接線（せっせん）がy軸（じく）またはx軸（じく）に平行（へいこう）になる位置（いち）です。

  3. 03
    ステップ3：増減（ぞうげん）表（ひょう）を作成（さくせい）し極値（きょくち）を特定（とくてい）する

    Bước 3: Lập bảng biến thiên và xác định cực trị

    Xét dấu của hai đạo hàm trên khoảng của theta để lập bảng biến thiên. Từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x và y.

    thetaの区間（くかん）で2つの導（どう）関数（かんすう）の符号（ふごう）を調（しら）べて増減（ぞうげん）表（ひょう）を作成（さくせい）します。そこからxとyの最大（さいだい）値（ち）および最小（さいしょう）値（ち）を求（もと）めます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn điều kiện tiếp tuyến song song với trục x là dx/dtheta = 0 thay vì dy/dtheta = 0.接線（せっせん）がx軸（じく）に平行（へいこう）になる条件（じょうけん）をdy/dtheta = 0ではなくdx/dtheta = 0と誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tiếp tuyến song song với trục x có hệ số góc bằng 0, tức dy/dx = (dy/dtheta)/(dx/dtheta) = 0 nên cần dy/dtheta = 0.x軸（じく）に平行（へいこう）な接線（せっせん）は傾（かたむ）きが0、つまりdy/dx = (dy/dtheta)/(dx/dtheta) = 0となるため、dy/dtheta = 0が必要（ひつよう）です。

Bỏ qua việc kiểm tra mẫu số dx/dtheta khác 0 khi dy/dtheta = 0.dy/dtheta = 0のときに分母（ぶんぼ）dx/dtheta != 0の確認（かくにん）を怠（おこた）ること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nếu cả dx/dtheta = 0 và dy/dtheta = 0 tại cùng một điểm, tiếp tuyến có thể không tồn tại hoặc là điểm kỳ dị.同（おな）じ点（てん）でdx/dtheta = 0かつdy/dtheta = 0となる場合（ばあい）、接線（せっせん）が存在（そんざい）しないか特異（とくい）点（てん）となる可能（かのう）性（せい）があるため慎重（しんちょう）な議論（ぎろん）が必要（ひつよう）です。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Tiếp tuyến song song với trục x khi dy/dtheta = 0 và dx/dtheta khác 0; song song với trục y khi dx/dtheta = 0 và dy/dtheta khác 0.接線（せっせん）はdy/dtheta = 0かつdx/dtheta != 0でx軸（じく）に平行（へいこう）、dx/dtheta = 0かつdy/dtheta != 0でy軸（じく）に平行（へいこう）になります。
  • Bảng biến thiên giúp theo dõi sự thay đổi đồng thời của x và y để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.増減（ぞうげん）表（ひょう）はxとyの同時（どうじ）変化（へんか）を観察（かんさつ）し、最大（さいだい）値（ち）および最小（さいしょう）値（ち）を求（もと）めるのに役立（やくだ）ちます。
  • Phương trình tham số x = a cos theta, y = b sin theta biểu diễn elip một cách thuận tiện trong khảo sát hình học.媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）x = a cos theta, y = b sin thetaは幾何（きか）学（がく）的（てき）考察（こうさつ）において楕円（だえん）を便利（べんり）に表現（ひょうげん）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\frac{dx}{d\theta} = -\sin\theta(2\cos\theta+1)

Công thức đạo hàm của hoành độ x theo tham số theta trong bài toán khảo sát đường cong.

曲線（きょくせん）考察（こうさつ）問題（もんだい）における媒介（ばいかい）変数（へんすう）thetaに関（かん）するx座標（ざひょう）の導（どう）関数（かんすう）公式（こうしき）です。

\frac{dy}{d\theta} = (1+\cos\theta)(2\cos\theta-1)

Công thức đạo hàm của tung độ y theo tham số theta để xét sự biến thiên của y.

y座標（ざひょう）の増減（ぞうげん）を調（しら）べるための媒介（ばいかい）変数（へんすう）thetaに関（かん）するy座標（ざひょう）の導（どう）関数（かんすう）公式（こうしき）です。

x = a\cos\theta, y = b\sin\theta

Phương trình tham số chuẩn của đường elip với bán trục a và b.

半（はん）軸（じく）aおよびbを持（も）つ楕円（だえん）の標準（ひょうじゅん）的（てき）な媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）です。

EJU 2026 · MATH.16.2 · MATH.16.3 · MATH.19.2 · MATH.20.2

Bài học này giúp bạn nắm vững cách phân tích đạo hàm và bảng biến thiên của đường cong cho bởi tham số để xác định cực trị và các điểm tiếp tuyến song song với trục tọa độ. Bạn sẽ áp dụng các công thức đạo hàm theo tham số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tọa độ.

本課（ほんか）では、媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）された曲線（きょくせん）の導（どう）関数（かんすう）と増減（ぞうげん）表（ひょう）を分析（ぶんせき）し、極値（きょくち）や座標（ざひょう）軸（じく）に平行（へいこう）な接線（せっせん）を持（も）つ点（てん）を特定（とくてい）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。媒介（ばいかい）変数（へんすう）に関（かん）する導（どう）関数（かんすう）公式（こうしき）を適用（てきよう）して、座標（ざひょう）の最大（さいだい）値（ち）や最小（さいしょう）値（ち）を求（もと）めます。

曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）と極（ごく）方程（ほうてい）式（しき） 第（だい）2部（ぶ）
楕円最大値最小値増減表