Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Biểu diễn tham số của đường cong và phương trình cực Phần 3曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）と極（ごく）方程（ほうてい）式（しき） 第（だい）3部（ぶ）

Công thức公式

\frac{dS}{d\theta} = \frac{1}{2} r^2
r^2 = a^2 \cos 2\theta
S = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} r^2 d\theta = \frac{a^2}{2}

Ví dụ例題

Tính diện tích S của miền giới hạn bởi đường \(r^{2} = a^{2} \cos 2 \theta\) với a = 2 khi \(\theta\) chạy từ -\(\pi / 4\) đến \(\pi / 4\).

a = 2のとき、\(\theta\)が-\(\pi / 4\)から\(\pi / 4\)まで変化（へんか）する曲線（きょくせん） \(r^{2} = a^{2} \cos 2 \theta\) で囲（かこ）まれた領域（りょういき）の面積（めんせき）Sを求（もと）めなさい。

  1. Thay a = 2 vào công thức \(r^{2} = a^{2} \cos 2 \theta\), ta có \(r^{2} = 4 \cos 2 \theta\).a = 2 を公式（こうしき） \(r^{2} = a^{2} \cos 2 \theta\) に代入（だいにゅう）すると、\(r^{2} = 4 \cos 2 \theta\) となります。
  2. Sử dụng công thức diện tích S = 1/2 integral from -\(\pi / 4\) to \(\pi / 4\) of \(r^{2}\) dtheta = 1/2 integral from -\(\pi / 4\) to \(\pi / 4\) of \((4 \cos 2 \theta)\) dtheta.面積（めんせき）公式（こうしき） S = 1/2 integral from -\(\pi / 4\) to \(\pi / 4\) of \(r^{2}\) dtheta を用（もち）いると、S = 1/2 integral from -\(\pi / 4\) to \(\pi / 4\) of \((4 \cos 2 \theta)\) dtheta となります。
  3. Áp dụng công thức \(S = a^{2} / 2\) với a = 2, ta được \(S = 2^{2} / 2 = 2\).公式（こうしき） \(S = a^{2} / 2\) に a = 2 を適用（てきよう）すると、\(S = 2^{2} / 2 = 2\) が得（え）られます。
Vậy diện tích miền phẳng cần tìm là S = 2.したがって、求（もと）める平面（へいめん）領域（りょういき）の面積（めんせき）は S = 2 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho công thức dS/dtheta = 1/2 \(r^{2}\). Nếu r = 4 tại \(\theta = \pi / 6\), giá trị của dS/dtheta tại thời điểm đó là bao nhiêu?公式（こうしき） dS/dtheta = 1/2 \(r^{2}\) について、\(\theta = \pi / 6\) において r = 4 であるとき、その時点（じてん）での dS/dtheta の値（あたい）はいくらですか。

2. Với a = 6, diện tích S của một cánh đường \(r^{2} = a^{2} \cos 2 \theta\) tích phân từ -\(\pi / 4\) đến \(\pi / 4\) bằng bao nhiêu?a = 6 のとき、-\(\pi / 4\) から \(\pi / 4\) まで積分（せきぶん）した曲線（きょくせん） \(r^{2} = a^{2} \cos 2 \theta\) の片方（かたほう）のループの面積（めんせき）Sはいくらですか。

3. Khi chia nhỏ miền góc ở tâm để tính diện tích trong tọa độ cực, khái niệm nào đại diện cho tổng diện tích các hình quạt tròn vi phân trước khi lấy giới hạn tích phân?極（ごく）座標（ざひょう）で面積（めんせき）を計算（けいさん）するために中心（ちゅうしん）角（かく）領域（りょういき）を細分（さいぶん）化（か）するとき、積分（せきぶん）の極限（きょくげん）をとる前（まえ）の微小（びしょう）扇形（せんけい）面積（めんせき）の和（わ）を表（あらわ）す概念（がいねん）はどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.2 · MATH.16.3 · MATH.19.2 · MATH.20.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.2 · MATH.16.3 · MATH.19.2 · MATH.20.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu nguyên lý biểu diễn diện tích vi phân dS/dtheta = 1/2 \(r^{2}\) dựa trên hình quạt tròn vi phân.微小（びしょう）扇形（せんけい）に基（もと）づく微分（びぶん）面積（めんせき） dS/dtheta = 1/2 \(r^{2}\) の表現（ひょうげん）原理（げんり）を理解（りかい）する。
  2. Giải thích cách chia nhỏ góc ở tâm và dùng tổng Riemann để xấp xỉ diện tích với sai số tiến về 0.中心（ちゅうしん）角（かく）を細分（さいぶん）化（か）し、誤差（ごさ）が0に近（ちか）づくリーマン和（わ）を用（もち）いて面積（めんせき）を近似（きんじ）する方法（ほうほう）を説明（せつめい）する。
  3. Vận dụng tích phân để tính diện tích miền phẳng cho bởi phương trình \(r^{2} = a^{2} \cos 2 \theta\).定（てい）積分（せきぶん）を適用（てきよう）して方程（ほうてい）式（しき） \(r^{2} = a^{2} \cos 2 \theta\) で与（あた）えられる平面（へいめん）領域（りょういき）の面積（めんせき）を計算（けいさん）する。
Trực giác · イメージ

Ý tưởng chia nhỏ diện tích trong tọa độ cực極（ごく）座標（ざひょう）における面積（めんせき）分割（ぶんかつ）の考（かんが）え方（かた）

Trong tọa độ vuông góc ta chia diện tích thành các hình chữ nhật nhỏ, còn trong tọa độ cực ta chia thành các hình quạt tròn vi phân với góc ở tâm dtheta. Khi dtheta rất nhỏ, diện tích mỗi hình quạt tròn vi phân được tính xấp xỉ là 1/2 \(r^{2}\) dtheta và tổng Riemann của chúng cho diện tích chính xác.

直交（ちょっこう）座標（ざひょう）では面積（めんせき）を小（ちい）さな長（ちょう）方形（ほうけい）に分割（ぶんかつ）しますが、極（ごく）座標（ざひょう）では中心（ちゅうしん）角（かく）dthetaを持（も）つ微小（びしょう）扇形（せんけい）に分割（ぶんかつ）します。dthetaが非常（ひじょう）に小（ちい）さいとき、各（かく）微小（びしょう）扇形（せんけい）の面積（めんせき）は1/2 \(r^{2}\) dthetaと近似（きんじ）され、そのリーマン和（わ）が正確（せいかく）な面積（めんせき）を与（あた）えます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 扇形（せんけい）hình quạt tròn

    Hình phẳng giới hạn bởi hai bán kính và một cung tròn, là hình cơ sở để xây dựng công thức diện tích trong tọa độ cực.

    2つの半径（はんけい）と1つの弧（こ）で囲（かこ）まれた平面（へいめん）図形（ずけい）で、極（ごく）座標（ざひょう）における面積（めんせき）公式（こうしき）を構築（こうちく）する基礎（きそ）となります。

  • 中心（ちゅうしん）角（かく）góc ở tâm

    Góc dtheta ở đỉnh cực ứng với từng phân đoạn nhỏ khi chia vùng tính diện tích.

    面積（めんせき）計算（けいさん）領域（りょういき）を分割（ぶんかつ）する際（さい）の、極（きょく）における各（かく）小（しょう）区間（くかん）の角度（かくど）dthetaです。

  • 微小（びしょう）扇形（せんけい）hình quạt tròn vi phân

    Hình quạt vô cùng nhỏ có bán kính r và góc ở tâm dtheta, có diện tích là dS = 1/2 \(r^{2}\) dtheta.

    半径（はんけい）rおよび中心（ちゅうしん）角（かく）dthetaを持（も）つ微小（びしょう）な扇形（せんけい）で、その面積（めんせき）は dS = 1/2 \(r^{2}\) dtheta となります。

  • 誤差（ごさ）sai số

    Khoảng chênh lệch giữa diện tích thực tế và diện tích xấp xỉ bằng hình quạt tròn, tiến về 0 khi góc ở tâm tiến về 0.

    実際（じっさい）の面積（めんせき）と扇形（せんけい）による近似（きんじ）面積（めんせき）との差（さ）であり、中心（ちゅうしん）角（かく）が0に近（ちか）づくにつれて0に収束（しゅうそく）します。

  • リーマン和（わ）tổng Riemann

    Tổng diện tích các hình quạt tròn vi phân khi chia nhỏ miền góc, giới hạn của tổng này chính là tích phân xác định.

    角度（かくど）領域（りょういき）を細分（さいぶん）化（か）した際（さい）の微小（びしょう）扇形（せんけい）の面積（めんせき）の和（わ）であり、その極限（きょくげん）が定（てい）積分（せきぶん）となります。

  • 法線（ほうせん）pháp tuyến

    Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến của đường cong tại điểm xét, dùng trong phân tích hình học đường cong.

    考察（こうさつ）点（てん）における曲線（きょくせん）の接線（せっせん）に垂直（すいちょく）な直線（ちょくせん）であり、曲線（きょくせん）の幾何（きか）学（がく）的（てき）解析（かいせき）に用（もち）いられます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：微小（びしょう）扇形（せんけい）の面積（めんせき）を設定（せってい）する

    Bước 1: Thiết lập diện tích hình quạt tròn vi phân

    Xét góc ở tâm nhỏ dtheta, diện tích hình quạt tròn vi phân được tính theo tốc độ biến thiên dS/dtheta = 1/2 \(r^{2}\).

    小（ちい）さな中心（ちゅうしん）角（かく）dthetaを考（かんが）え、微小（びしょう）扇形（せんけい）の面積（めんせき）を変化（へんか）率（りつ） dS/dtheta = 1/2 \(r^{2}\) に基（もと）づいて設定（せってい）します。

  2. 02
    ステップ2：リーマン和（わ）を作成（さくせい）し極限（きょくげん）をとる

    Bước 2: Lập tổng Riemann và lấy giới hạn

    Chia góc thành n phần nhỏ rồi tính tổng Riemann các diện tích vi phân. Khi số phần chia vô cùng lớn, sai số triệt tiêu và tổng trở thành tích phân.

    角度（かくど）をn個（こ）の小（しょう）区間（くかん）に分割（ぶんかつ）して微小（びしょう）面積（めんせき）のリーマン和（わ）を計算（けいさん）します。分割（ぶんかつ）数（すう）が無限（むげん）大（だい）になると誤差（ごさ）が消滅（しょうめつ）し、和（わ）は定（てい）積分（せきぶん）に移行（いこう）します。

  3. 03
    ステップ3：定（てい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）して面積（めんせき）を求（もと）める

    Bước 3: Tính tích phân xác định diện tích

    Thay \(r^{2}\) theo \(\theta\) vào biểu thức tích phân trên cận thích hợp. Thực hiện tính tích phân để thu được diện tích vùng phẳng cần tìm.

    適切（てきせつ）な積分（せきぶん）区間（くかん）で\(r^{2}\)を\(\theta\)の式（しき）に置き換（おきか）えて積分（せきぶん）を実行（じっこう）します。これにより求（もと）める平面（へいめん）領域（りょういき）の面積（めんせき）が得（え）られます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Sử dụng công thức diện tích tọa độ cực thiếu hệ số 1/2, tức viết S = integral of \(r^{2}\) dtheta.極（ごく）座標（ざひょう）の面積（めんせき）公式（こうしき）で係数（けいすう）1/2を忘（わす）れて S = integral of \(r^{2}\) dtheta と記述（きじゅつ）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Diện tích của hình quạt tròn vi phân cơ bản là 1/2 \(r^{2}\) dtheta, nên luôn phải có hệ số 1/2 trước tích phân.基本（きほん）となる微小（びしょう）扇形（せんけい）の面積（めんせき）は 1/2 \(r^{2}\) dtheta であるため、定（てい）積分（せきぶん）の前（まえ）には常（つね）に係数（けいすう）1/2が必要（ひつよう）です。

Coi diện tích hình quạt tròn vi phân là một hình tam giác phẳng mà quên rằng r phụ thuộc vào \(\theta\).微小（びしょう）扇形（せんけい）の面積（めんせき）を単（たん）なる平面（へいめん）三角形（さんかくけい）とみなし、rが\(\theta\)に依存（いぞん）することを忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Mặc dù xấp xỉ bằng 1/2 \(r^{2}\) dtheta, r vẫn là hàm theo \(\theta\) nên phải thực hiện tích phân chính xác trên toàn khoảng.1/2 \(r^{2}\) dtheta で近似（きんじ）されますが、rは\(\theta\)の関数（かんすう）であるため、区間（くかん）全体（ぜんたい）で正確（せいかく）な積分（せきぶん）を行（おこな）う必要（ひつよう）があります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Vi phân diện tích trong tọa độ cực được cho bởi dS/dtheta = 1/2 \(r^{2}\) dựa trên hình quạt tròn vi phân.極（ごく）座標（ざひょう）における微小（びしょう）面積（めんせき）は、微小（びしょう）扇形（せんけい）に基（もと）づいて dS/dtheta = 1/2 \(r^{2}\) で与（あた）えられます。
  • Quá trình lấy giới hạn của tổng Riemann các hình quạt tròn vi phân triệt tiêu sai số và tạo nên tích phân tính diện tích.微小（びしょう）扇形（せんけい）のリーマン和（わ）の極限（きょくげん）をとる過程（かてい）により誤差（ごさ）が消滅（しょうめつ）し、面積（めんせき）を求（もと）める定（てい）積分（せきぶん）が形成（けいせい）されます。
  • Diện tích một cánh của đường \(r^{2} = a^{2} \cos 2 \theta\) trên [-\(\pi / 4\), \(\pi / 4\)] có kết quả bằng \(a^{2} / 2\).区間（くかん）[-\(\pi / 4\), \(\pi / 4\)]における曲線（きょくせん） \(r^{2} = a^{2} \cos 2 \theta\) の片方（かたほう）のループの面積（めんせき）は \(a^{2} / 2\) となります。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\frac{dS}{d\theta} = \frac{1}{2} r^2

Tốc độ thay đổi diện tích theo góc ở tâm \(\theta\) trong tọa độ cực.

極（ごく）座標（ざひょう）における中心（ちゅうしん）角（かく）\(\theta\)に対（たい）する面積（めんせき）の変化（へんか）率（りつ）です。

r^2 = a^2 \cos 2\theta

Phương trình đường cong trong tọa độ cực dạng \(r^{2}\) theo \(\cos 2 \theta\).

\(\cos 2 \theta\)による\(r^{2}\)の形（かたち）をした極（ごく）座標（ざひょう）における曲線（きょくせん）方程（ほうてい）式（しき）です。

S = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} r^2 d\theta = \frac{a^2}{2}

Công thức tính diện tích một cánh của đường cong \(r^{2} = a^{2} \cos 2 \theta\) trên khoảng từ -\(\pi / 4\) đến \(\pi / 4\).

-\(\pi / 4\)から\(\pi / 4\)までの区間（くかん）における曲線（きょくせん） \(r^{2} = a^{2} \cos 2 \theta\) の片方（かたほう）のループの面積（めんせき）を求（もと）める計算（けいさん）式（しき）です。

EJU 2026 · MATH.16.2 · MATH.16.3 · MATH.19.2 · MATH.20.2

Bài học này hướng dẫn tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi đường cong trong tọa độ cực bằng cách chia nhỏ thành các hình quạt tròn vi phân. Thông qua tổng Riemann và tích phân xác định, sai số được triệt tiêu để thu được công thức diện tích chính xác.

本課（ほんか）では、極（ごく）座標（ざひょう）における曲線（きょくせん）上（じょう）によって囲（かこ）まれた領域（りょういき）の面積（めんせき）を、微小（びしょう）扇形（せんけい）に分割（ぶんかつ）して計算（けいさん）する方法（ほうほう）を指導（しどう）します。リーマン和（わ）と定（てい）積分（せきぶん）を通（つう）じて誤差（ごさ）を減（へ）らし、正確（せいかく）な面積（めんせき）公式（こうしき）を導出（どうしゅつ）します。

曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）と極（ごく）方程（ほうてい）式（しき） 第（だい）3部（ぶ）
扇形中心角微小扇形誤差