Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Biểu diễn tham số của hypebol và tích phân xác định Phần 1双（そう）曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）と定（てい）積分（せきぶん） 第（だい）1部（ぶ）

Công thức公式

x = \frac{a}{2}(e^t+e^{-t}), y = \frac{b}{2}(e^t-e^{-t})
\left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1
I = \int_{0}^{3} \frac{dx}{\sqrt{x^2+16}}
J = \int_{0}^{3} \sqrt{x^2+16} dx

Ví dụ例題

Xét hypebol \((x / 4)^{2} - (y / 3)^{2} = 1\). Hãy kiểm tra mối liên hệ giữa x và y khi biểu diễn qua tham số t với a=4, b=3.

双（そう）曲線（きょくせん） \((x / 4)^{2} - (y / 3)^{2} = 1\) を考（かんが）えます。a=4, b=3として媒介（ばいかい）変数（へんすう）tで表（あらわ）したときのxとyの関係（かんけい）を確認（かくにん）しましょう。

  1. Thay a=4 và b=3 vào biểu diễn tham số: Ta có \(x = 2 (e^{t} + e^{-t})\) và \(y = (3 / 2) (e^{t} - e^{-t})\).a=4とb=3を媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）に代入（だいにゅう）：\(x = 2 (e^{t} + e^{-t})\) および \(y = (3 / 2) (e^{t} - e^{-t})\) となります。
  2. Tính \((x / 4)^{2}\) và \((y / 3)^{2}\): Ta có \((x / 4)^{2} = ((e^{t} + e^{-t}) / 2)^{2}\) và \((y / 3)^{2} = ((e^{t} - e^{-t}) / 2)^{2}\).\((x / 4)^{2}\) と \((y / 3)^{2}\) の計算（けいさん）：\((x / 4)^{2} = ((e^{t} + e^{-t}) / 2)^{2}\) および \((y / 3)^{2} = ((e^{t} - e^{-t}) / 2)^{2}\) となります。
  3. Lấy hiệu hai bình phương: Hiệu thu được là \(((e^{2 t} + 2 + e^{-2 t}) - (e^{2 t} - 2 + e^{-2 t})) / 4 = 4 / 4 = 1\).2つの平方（へいほう）の差（さ）を計算（けいさん）：差（さ）を計算（けいさん）すると \(((e^{2 t} + 2 + e^{-2 t}) - (e^{2 t} - 2 + e^{-2 t})) / 4 = 4 / 4 = 1\) となります。
Như vậy, biểu diễn tham số thỏa mãn phương trình chính quy của hypebol.したがって、この媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）は双（そう）曲線（きょくせん）の標準（ひょうじゅん）方程（ほうてい）式（しき）を満（み）たします。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hypebol \((x / 2)^{2} - (y / 5)^{2} = 1\). Theo công thức biểu diễn tham số với a=2, b=5, tọa độ y(t) được biểu diễn là gì?双（そう）曲線（きょくせん） \((x / 2)^{2} - (y / 5)^{2} = 1\) について、a=2, b=5としたときのy(t)の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）はどれですか。

2. Trong tích phân I = \(\int_{0}^{3}\) \(\frac{dx}{\sqrt{x^2+16}}\), giá trị của biểu thức trong căn tại x = 3 là bao nhiêu?定（てい）積分（せきぶん） I = \(\int_{0}^{3}\) \(\frac{dx}{\sqrt{x^2+16}}\) において、x = 3 のときの根号（こんごう）内（ない）の値（あたい）はいくらですか。

3. Cho phương trình hypebol \((x / a)^{2} - (y / b)^{2} = 1\). Nếu \(x = (a / 2) (e^{t} + e^{-t})\), giá trị của \((x / a)^{2}\) bằng biểu thức nào?双（そう）曲線（きょくせん）の方程（ほうてい）式（しき） \((x / a)^{2} - (y / b)^{2} = 1\) について、\(x = (a / 2) (e^{t} + e^{-t})\) のとき、\((x / a)^{2}\) の値（あたい）はどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.1 · MATH.16.2 · MATH.20.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.1 · MATH.16.2 · MATH.20.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu biểu diễn tham số của hypebol qua biến t.変数（へんすう）tを用（もち）いた双（そう）曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）を理解（りかい）する。
  2. Áp dụng tích phân đổi biến để tính các tích phân xác định chứa căn thức.置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）を適用（てきよう）して根号（こんごう）を含（ふく）む定（てい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về tham số hóa hypebol và tích phân双（そう）曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）と積分（せきぶん）の直感（ちょっかん）理解（りかい）

Việc tham số hóa hypebol giúp đưa các biểu thức chứa căn thức phức tạp về dạng hàm mũ đơn giản. Nhờ đó, phép tính tích phân xác định trở nên thuận tiện và chính xác hơn.

双（そう）曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）を利用（りよう）すると、複雑（ふくざつ）な根号（こんごう）を含（ふく）む式（しき）を簡単（かんたん）な指数（しすう）関数（かんすう）の形（かたち）に変換（へんかん）できます。これにより、定（てい）積分（せきぶん）の計算（けいさん）がより円滑（えんかつ）かつ正確（せいかく）に行（おこな）えます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 双（そう）曲線（きょくせん）hypebol

    Hypebol là đường cong gồm hai nhánh được xác định bởi phương trình chính quy dạng hiệu của hai bình phương.

    双（そう）曲線（きょくせん）は2乗（のり）の差（さ）の形（かたち）をした標準（ひょうじゅん）方程（ほうてい）式（しき）によって定義（ていぎ）される2つの枝（えだ）からなる曲線（きょくせん）です。

  • 媒介（ばいかい）変数（へんすう）tham số

    Tham số t là biến trung gian dùng để biểu diễn tọa độ x và y của điểm trên đường cong.

    媒介（ばいかい）変数（へんすう）tは曲線（きょくせん）上（じょう）の一（いち）点（てん）のx座標（ざひょう）とy座標（ざひょう）を表（あらわ）すための仲介（ちゅうかい）変数（へんすう）です。

  • 定（てい）積分（せきぶん）tích phân xác định

    Tích phân xác định tính diện tích hoặc giá trị tích lũy của hàm số trên một đoạn cho trước.

    定（てい）積分（せきぶん）は与（あた）えられた区間（くかん）における関数（かんすう）の面積（めんせき）や累積（るいせき）量（りょう）を計算（けいさん）した値（あたい）です。

  • 置換（ちかん）積分（せきぶん）tích phân đổi biến

    Phương pháp thay đổi biến số tích phân giúp đơn giản hóa biểu thức dưới dấu tích phân.

    被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）を簡単（かんたん）な形（かたち）に変換（へんかん）するために積分（せきぶん）変数（へんすう）を置き換（おきか）える手法（しゅほう）です。

  • 漸近（ぜんきん）線（せん）đường tiệm cận

    Đường tiệm cận là đường thẳng mà các nhánh của hypebol tiến lại gần khi điểm trên hypebol ra xa vô tận.

    漸近（ぜんきん）線（せん）は双（そう）曲線（きょくせん）の枝（えだ）が無限（むげん）遠（えん）に向（む）かう際（さい）に限（かぎ）りなく近（ちか）づく直線（ちょくせん）です。

  • 頂点（ちょうてん）đỉnh

    Đỉnh là giao điểm của hypebol với trục tọa độ tương ứng.

    頂点（ちょうてん）は双（そう）曲線（きょくせん）と対応（たいおう）する座標（ざひょう）軸（じく）との交点（こうてん）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：双（そう）曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）の記述（きじゅつ）

    Bước 1: Viết phương trình tham số của hypebol

    Sử dụng các hàm mũ để biểu diễn x và y qua tham số t. Phương pháp này giúp thỏa mãn phương trình chính quy của hypebol.

    指数（しすう）関数（かんすう）を用（もち）いてxとyを媒介（ばいかい）変数（へんすう）tで表（あらわ）します。この表示（ひょうじ）は双（そう）曲線（きょくせん）の標準（ひょうじゅん）方程（ほうてい）式（しき）を満（み）たします。

  2. 02
    ステップ2：置換（ちかん）積分（せきぶん）による根号（こんごう）の処理（しょり）

    Bước 2: Xử lý căn thức bằng tích phân đổi biến

    Đặt biến phụ phù hợp để triệt tiêu căn thức trong biểu thức dưới dấu tích phân. Điều này biến tích phân phức tạp thành tích phân hàm mũ.

    被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）内（ない）の根号（こんごう）を消去（しょうきょ）するために適切（てきせつ）な変数（へんすう）置換（ちかん）を行（おこな）います。これにより複雑（ふくざつ）な積分（せきぶん）が指数（しすう）関数（かんすう）の積分（せきぶん）に変換（へんかん）されます。

  3. 03
    ステップ3：積分（せきぶん）区間（くかん）の変更（へんこう）と定（てい）積分（せきぶん）の計算（けいさん）

    Bước 3: Đổi cận và tính tích phân xác định

    Chuyển đổi cận tích phân tương ứng với biến mới t. Sau đó lấy nguyên hàm và tính giá trị của tích phân xác định.

    新（あたら）しい変数（へんすう）tに対応（たいおう）させて積分（せきぶん）区間（くかん）を変更（へんこう）します。その後（あと）、原子（げんし）関数（かんすう）を求（もと）めて定（てい）積分（せきぶん）の値（あたい）を計算（けいさん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên đổi cận tích phân khi thực hiện tích phân đổi biến.置換（ちかん）積分（せきぶん）を行（おこな）う際（さい）に積分（せきぶん）区間（くかん）の変更（へんこう）を忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn tính cận mới cho biến t tương ứng với các giá trị cận cũ của x trước khi lấy tích phân.積分（せきぶん）を計算（けいさん）する前（まえ）に、旧（きゅう）変数（へんすう）xの端点（たんてん）に対応（たいおう）する新（しん）変数（へんすう）tの値（あたい）を必（かなら）ず算出（さんしゅつ）してください。

Nhầm dấu giữa công thức tham số của hypebol và đường tròn.双（そう）曲線（きょくせん）と円（えん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）の符号（ふごう）を混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Hypebol dùng hiệu giữa \(e^{t}\) và \(e^{-t}\) cho y, trong khi đường tròn dùng các hàm lượng giác.双（そう）曲線（きょくせん）のy成分（せいぶん）は\(e^{t}\)と\(e^{-t}\)の差（さ）を用（もち）いる点（てん）に注意（ちゅうい）し、円（えん）の三角（さんかく）関数（かんすう）表示（ひょうじ）と区別（くべつ）しましょう。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Biểu diễn tham số hypebol dùng hàm mũ giúp thỏa mãn \((x / a)^{2} - (y / b)^{2} = 1\).指数（しすう）関数（かんすう）を用（もち）いた双（そう）曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）は \((x / a)^{2} - (y / b)^{2} = 1\) を満（み）たします。
  • Tích phân đổi biến là công thức hiệu quả để giải các tích phân dạng căn thức \(x^{2} + a^{2}\).置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）は \(x^{2} + a^{2}\) の根号（こんごう）を含（ふく）む定（てい）積分（せきぶん）を解（と）く有効（ゆうこう）な手法（しゅほう）です。
  • Khi tính tích phân xác định, bắt buộc phải chú ý đổi cận theo biến mới.定（てい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）する際（さい）は、新（あたら）しい変数（へんすう）に応（おう）じて積分（せきぶん）区間（くかん）を変更（へんこう）することが必須（ひっす）です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

x = \frac{a}{2}(e^t+e^{-t}), y = \frac{b}{2}(e^t-e^{-t})

Công thức biểu diễn tọa độ x và y của hypebol theo tham số t.

双（そう）曲線（きょくせん）のx座標（ざひょう）とy座標（ざひょう）を媒介（ばいかい）変数（へんすう）tで表（あらわ）す公式（こうしき）です。

\left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1

Phương trình chính quy của hypebol trong hệ tọa độ Descartes.

デカルト座標（ざひょう）系（けい）における双（そう）曲線（きょくせん）の標準（ひょうじゅん）方程（ほうてい）式（しき）です。

I = \int_{0}^{3} \frac{dx}{\sqrt{x^2+16}}

Tích phân xác định của hàm phân thức chứa căn ở mẫu số.

分母（ぶんぼ）に根号（こんごう）を含（ふく）む分（ぶん）式（しき）関数（かんすう）の定積（ていせき）分（ぶん）です。

J = \int_{0}^{3} \sqrt{x^2+16} dx

Tích phân xác định của hàm chứa căn thức bậc hai.

2次（じ）根号（こんごう）を含（ふく）む関数（かんすう）の定積（ていせき）分（ぶん）です。

EJU 2026 · MATH.16.1 · MATH.16.2 · MATH.20.1

Bài học giúp bạn nắm vững cách biểu diễn tham số của hypebol và ứng dụng phép đổi biến trong tích phân xác định. Qua đó, bạn sẽ dễ dàng tính toán các tích phân chứa căn thức dạng đặc biệt.

本課（ほんか）では双（そう）曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）と定（てい）積分（せきぶん）における置換（ちかん）積分（せきぶん）の活用（かつよう）法（ほう）を学（まな）びます。これにより、特殊（とくしゅ）な根号（こんごう）を含（ふく）む定（てい）積分（せきぶん）を効率（こうりつ）的（てき）に計算（けいさん）できるようになります。

双（そう）曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）と定（てい）積分（せきぶん） 第（だい）1部（ぶ）
双曲線媒介変数定積分置換積分