Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Biểu diễn tham số của quỹ tích và diện tích bao quanh Phần 2軌跡（きせき）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）と囲（かこ）む面積（めんせき） 第（だい）2部（ぶ）

Công thức公式

\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3
x+yi = \left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)(X+Yi)
y = \frac{\sqrt{2}}{2}x^2 + x + \frac{\sqrt{2}}{2}
y = x + \sqrt{2}

Ví dụ例題

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)x^2 + x + \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) và đường thẳng y = x + \(\sqrt{2}\).

放物（ほうぶつ）線（せん） y = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)x^2 + x + \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) と直線（ちょくせん） y = x + \(\sqrt{2}\) で囲（かこ）まれた図形（ずけい）の面積（めんせき）を求（もと）めなさい。

  1. Cho hai phương trình bằng nhau: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)x^2 + x + \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) = x + \(\sqrt{2}\), ta được \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)(x^2 - 1) = 0.2つの式（しき）をひとしく置（お）きます：\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)x^2 + x + \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) = x + \(\sqrt{2}\) より、\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)(x^2 - 1) = 0 となります。
  2. Giải phương trình ta thu được hai hoành độ giao điểm là \(\alpha = -1\) và \(\beta = 1\).方程（ほうてい）式（しき）を解（と）くと、2つの交点（こうてん）のx座標（ざひょう） \(\alpha = -1\) および \(\beta = 1\) が得（え）られます。
  3. Áp dụng công thức tích phân: Diện tích S = -\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\int_{-1}^{1}\) (x+1)(x-1) dx = -\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\cdot\) \(\left( -\frac{1}{6} (1 - (-1))^3 \right)\) = \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\).定（てい）積分（せきぶん）公式（こうしき）を適用（てきよう）します：面積（めんせき） S = -\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\int_{-1}^{1}\) (x+1)(x-1) dx = -\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\cdot\) \(\left( -\frac{1}{6} (1 - (-1))^3 \right)\) = \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)。
Diện tích phần hình phẳng bị giới hạn là \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\).囲（かこ）まれた図形（ずけい）の面積（めんせき）は \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Hoành độ giao điểm của parabol y = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)x^2 + x + \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) và đường thẳng y = x + \(\sqrt{2}\) là những giá trị nào?放物（ほうぶつ）線（せん） y = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)x^2 + x + \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) と直線（ちょくせん） y = x + \(\sqrt{2}\) の交点（こうてん）のx座標（ざひょう）はどれですか。

2. Giá trị của tích phân \(\int_{-1}^{1}\) (x+1)(x-1) dx bằng bao nhiêu khi sử dụng công thức tích phân?定（てい）積分（せきぶん）公式（こうしき）を使用（しよう）すると、\(\int_{-1}^{1}\) (x+1)(x-1) dx の値（あたい）はいくらになりますか。

3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x + \(\sqrt{2}\) và parabol y = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)x^2 + x + \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) bằng bao nhiêu?直線（ちょくせん） y = x + \(\sqrt{2}\) と放物（ほうぶつ）線（せん） y = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)x^2 + x + \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) で囲（かこ）まれた面積（めんせき）はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.15.3 · MATH.16.1 · MATH.16.2 · MATH.20.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.15.3 · MATH.16.1 · MATH.16.2 · MATH.20.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Xác định giao điểm của đồ thị hàm số bậc hai và đường thẳng.2次（じ）関数（かんすう）のグラフと直線（ちょくせん）の交点（こうてん）を特定（とくてい）すること。
  2. Áp dụng công thức tích phân tính diện tích phần hình phẳng giới hạn.囲（かこ）まれた図形（ずけい）の面積（めんせき）を計算（けいさん）するために定（てい）積分（せきぶん）公式（こうしき）を適用（てきよう）すること。
Trực giác · イメージ

Hiểu bản chất tính diện tích bằng tích phân定（てい）積分（せきぶん）による面積（めんせき）計算（けいさん）の本質（ほんしつ）を理解（りかい）する

Khi đường thẳng và đồ thị hàm số bậc hai cắt nhau tại hai điểm, khoảng cách giữa hai hoành độ giao điểm quyết định diện tích phần bị bao quanh. Việc sử dụng công thức tích phân giúp rút ngắn thời gian tính toán diện tích mà không cần tính nguyên hàm từng bước.

直線（ちょくせん）と2次（じ）関数（かんすう）のグラフが2点（てん）で交（まじ）わるとき、2つの交点（こうてん）のx座標（ざひょう）の差（さ）が囲（かこ）まれた面積（めんせき）の大（おお）きさを決定（けってい）します。定（てい）積分（せきぶん）公式（こうしき）を使用（しよう）することで、原子（げんし）関数（かんすう）をいちいち計算（けいさん）することなく効率（こうりつ）的（てき）に面積（めんせき）を求（もと）めることができます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 2次（じ）関数（かんすう）のグラフđồ thị hàm số bậc hai

    Đường cong biểu diễn hàm số bậc hai trên mặt phẳng tọa độ.

    2次（じ）関数（かんすう）のグラフを表（あらわ）す基本（きほん）的（てき）な曲線（きょくせん）です。

  • 交点（こうてん）giao điểm

    Điểm chung của đồ thị hàm số bậc hai và đường thẳng thu được bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm.

    交点（こうてん）方程（ほうてい）式（しき）を解（と）くことで得（え）られる、2次（じ）関数（かんすう）のグラフと直線（ちょくせん）の共通（きょうつう）点（てん）です。

  • 放物（ほうぶつ）線（せん）parabol

    Đường cong có trục đối xứng và đường chuẩn đặc trưng.

    対称（たいしょう）軸（じく）と準線（じゅんせん）によって特徴（とくちょう）づけられる曲線（きょくせん）です。

  • 準線（じゅんせん）đường chuẩn

    Đường thẳng cố định dùng để định nghĩa parabol.

    放物（ほうぶつ）線（せん）を定義（ていぎ）するために用（もち）いられる定（てい）直線（ちょくせん）です。

  • 対称（たいしょう）軸（じく）trục đối xứng

    Đường thẳng chia đồ thị thành hai phần đối xứng nhau.

    グラフを左右（さゆう）対称（たいしょう）に2分（ぶん）する直線（ちょくせん）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：交点（こうてん）方程（ほうてい）式（しき）の作成（さくせい）

    Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm

    Cho phương trình đồ thị và đường thẳng bằng nhau để tìm các hoành độ giao điểm \(\alpha\) và \(\beta\). Việc này giúp xác định cận tích phân.

    グラフと直線（ちょくせん）の式（しき）を等（ひと）しく置（お）いて、交点（こうてん）のx座標（ざひょう）\(\alpha\)と\(\beta\)を求（もと）めます。これにより積分（せきぶん）の上下（じょうげ）端（たん）が決定（けってい）します。

  2. 02
    ステップ2：グラフと直線（ちょくせん）の上下（じょうげ）関係（かんけい）の確認（かくにん）

    Bước 2: Xác định vị trí tương đối giữa đồ thị và đường thẳng

    Xác định đường nằm trên và đường nằm dưới trong khoảng từ \(\alpha\) đến \(\beta\). Hiệu của hai hàm số sẽ cho biểu thức tích phân dương.

    \(\alpha\)から\(\beta\)の間（あいだ）でどちらの関数（かんすう）が上（うえ）にあるかを確認（かくにん）します。2つの関数（かんすう）の差（さ）をとることで正（せい）の積分（せきぶん）式（しき）を作（つく）ります。

  3. 03
    ステップ3：定（てい）積分（せきぶん）公式（こうしき）の適用（てきよう）

    Bước 3: Áp dụng công thức tích phân

    Sử dụng công thức tích phân của \((x - \alpha) (x - \beta)\) để tính nhanh kết quả diện tích. Thay \(\beta\) minus \(\alpha\) vào công thức để có kết quả cuối cùng.

    \((x - \alpha) (x - \beta)\)の定（てい）積分（せきぶん）公式（こうしき）を用（もち）いて面積（めんせき）の計算（けいさん）を迅速（じんそく）に行（おこな）います。\(\beta\)マイナス\(\alpha\)を公式（こうしき）に代入（だいにゅう）して最終（さいしゅう）結果（けっか）を得（え）ます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên lấy hiệu đúng thứ tự giữa đường nằm trên và đường nằm dưới dẫn đến kết quả diện tích bị âm.上（うえ）の関数（かんすう）と下（した）の関数（かんすう）の引き算（ひきざん）の順序（じゅんじょ）を間違（まちが）えて、面積（めんせき）の結果（けっか）が負（ふ）になってしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn lấy hàm số nằm trên trừ đi hàm số nằm dưới trong khoảng tích phân để đảm bảo diện tích mang giá trị dương.積分（せきぶん）区間（くかん）内（ない）で上（うえ）にある関数（かんすう）から下（した）にある関数（かんすう）を引（ひ）くことで、常（つね）に正（せい）の面積（めんせき）を得（え）るようにします。

Tính sai hiệu cận \((\beta - \alpha)\) khi áp dụng công thức tích phân nhanh.公式（こうしき）を適用（てきよう）する際（さい）に端点（たんてん）の差（さ） \((\beta - \alpha)\) の計算（けいさん）を誤（あやま）ること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Xác định rõ cận trên \(\beta\) và cận dưới \(\alpha\) rồi tính chính xác \((\beta - \alpha)^{3}\) trước khi nhân với hệ số.上端（じょうたん）\(\beta\)と下端（したば）\(\alpha\)を明確（めいかく）にし、係数（けいすう）を掛（か）ける前（まえ）に \((\beta - \alpha)^{3}\) を正確（せいかく）に計算（けいさん）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Giao điểm của đồ thị hàm số bậc hai và đường thẳng xác định cận cho bài toán tính diện tích.2次（じ）関数（かんすう）のグラフと直線（ちょくせん）の交点（こうてん）は、面積（めんせき）計算（けいさん）の積分（せきぶん）区間（くかん）を決定（けってい）します。
  • Sử dụng công thức tích phân tích nhanh giúp tiết kiệm thời gian và giảm thiểu sai sót.定（てい）積分（せきぶん）公式（こうしき）を活用（かつよう）することで、計算（けいさん）時間（じかん）を短縮（たんしゅく）しミスを減（へ）らすことができます。
  • Luôn kiểm tra thứ tự hàm số trên và hàm số dưới để đảm bảo diện tích có giá trị dương.面積（めんせき）が正（せい）の値（あたい）となるように、常（つね）に上下（じょうげ）の関数（かんすう）関係（かんけい）を確認（かくにん）してください。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3

Công thức tích phân cơ bản để tính diện tích giới hạn bởi đường thẳng và parabol.

直線（ちょくせん）と放物（ほうぶつ）線（せん）で囲（かこ）まれた面積（めんせき）を計算（けいさん）するための基本（きほん）的（てき）な定（てい）積分（せきぶん）公式（こうしき）です。

x+yi = \left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)(X+Yi)

Biểu thức biến đổi tọa độ qua phép quay một góc \(\pi\) trên 4 trong mặt phẳng phức.

複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）における角（かど）\(\pi / 4\)の回転（かいてん）による座標（ざひょう）変換（へんかん）の式（しき）です。

y = \frac{\sqrt{2}}{2}x^2 + x + \frac{\sqrt{2}}{2}

Phương trình đồ thị hàm số bậc hai dạng parabol.

放物（ほうぶつ）線（せん）を表（あらわ）す2次（じ）関数（かんすう）のグラフの方程（ほうてい）式（しき）です。

y = x + \sqrt{2}

Phương trình đường thẳng cắt parabol tại hai giao điểm.

放物（ほうぶつ）線（せん）と2点（てん）で交（まじ）わる直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）です。

EJU 2026 · MATH.15.3 · MATH.16.1 · MATH.16.2 · MATH.20.2

Bài học giúp bạn nắm vững cách tìm giao điểm và tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số bậc hai và đường thẳng. Bạn cũng học cách ứng dụng công thức tích phân nhanh để tính diện tích chính xác.

本課（ほんか）では、2次（じ）関数（かんすう）のグラフと直線（ちょくせん）の交点（こうてん）を求（もと）め、囲（かこ）まれた面積（めんせき）を計算（けいさん）する方法（ほうほう）を習得（しゅうとく）します。また、定（てい）積分（せきぶん）公式（こうしき）を活用（かつよう）して面積（めんせき）を正確（せいかく）に計算（けいさん）する手順（てじゅん）も学（まな）びます。

軌跡（きせき）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）と囲（かこ）む面積（めんせき） 第（だい）2部（ぶ）
2次関数のグラフ交点放物線準線