Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Biểu thức và đường cong Phần 2式（しき）と曲線（きょくせん） 第（だい）2部（ぶ）

Công thức公式

x=r\cos\theta, y=r\sin\theta
x=a\cos\theta, y=b\sin\theta
x=\frac{a}{\cos\theta}, y=b\tan\theta
r=\sqrt{x^2+y^2}

Ví dụ例題

Cho điểm P có tọa độ Descartes là (3, 4). Hãy tính khoảng cách cực r từ gốc tọa độ đến P và xác định tọa độ tham số của elip có bán trục lớn a = 3, bán trục nhỏ b = 2 tại góc θ = 0.

直交（ちょっこう）座標（ざひょう）が (3, 4) である点（てん）Pについて、原点（げんてん）からの極（ごく）半径（はんけい） r を求（もと）め、また半（はん）長軸（ちょうじく） a = 3、半（はん）短軸（たんじく） b = 2 である楕円（だえん）の θ = 0 における媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）の座標（ざひょう）を求（もと）めなさい。

  1. Áp dụng công thức \(r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\) với x = 3 và y = 4, ta có \(r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).公式（こうしき） \(r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\) に x = 3, y = 4 を代入（だいにゅう）すると、\(r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) となります。
  2. Thay a = 3, b = 2 và θ = 0 vào công thức x = a cos θ, y = b sin θ. Ta có \(\cos 0 = 1\) và \(\sin 0 = 0\).公式（こうしき） x = a cos θ, y = b sin θ に a = 3, b = 2, θ = 0 を代入（だいにゅう）します。\(\cos 0 = 1\), \(\sin 0 = 0\) です。
  3. Do đó, x = 3 * 1 = 3 và y = 2 * 0 = 0. Tọa độ điểm trên elip là (3, 0).したがって、x = 3 * 1 = 3, y = 2 * 0 = 0 となり、楕円（だえん）上（じょう）の点（てん）の座標（ざひょう）は (3, 0) です。
Khoảng cách cực r là 5 và tọa độ điểm trên elip tại θ = 0 là (3, 0).極（ごく）半径（はんけい） r は 5 であり、θ = 0 における楕円（だえん）上（じょう）の点（てん）の座標（ざひょう）は (3, 0) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tìm tọa độ Descartes (x, y) của điểm có tọa độ cực r = 4 và góc θ = π/3 (với cos(π/3) = 1/2, sin(π/3) = √3/2).極（ごく）座標（ざひょう）が r = 4, θ = π/3 である点（てん）の直交（ちょっこう）座標（ざひょう） (x, y) を求（もと）めなさい（ただし cos(π/3) = 1/2, sin(π/3) = √3/2 とする）。

2. Cho phương trình tham số của đường elip x = 5 cos θ, y = 3 sin θ. Tính giá trị \(x^{2} / 25 + y^{2} / 9\) tại góc θ bất kỳ.楕円（だえん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ） x = 5 cos θ, y = 3 sin θ について、任意（にんい）の角（かく） θ における \(x^{2} / 25 + y^{2} / 9\) の値（あたい）を求（もと）めなさい。

3. Điểm P có tọa độ Descartes x = 6, y = 8. Khoảng cách cực r từ gốc tọa độ đến điểm P bằng bao nhiêu?直交（ちょっこう）座標（ざひょう）が x = 6, y = 8 である点（てん）Pについて、原点（げんてん）からの極（ごく）半径（はんけい） r の値（あたい）はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.1 · MATH.16.2 · MATH.16.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.1 · MATH.16.2 · MATH.16.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu và biểu diễn tọa độ cực cũng như chuyển đổi với tọa độ vuông góc.極（ごく）座標（ざひょう）を理解（りかい）し、直交（ちょっこう）座標（ざひょう）との相互（そうご）変換（へんかん）ができるようになる。
  2. Áp dụng biểu diễn tham số cho elip và hypebol để xác định các yếu tố hình học.楕円（だえん）や双（そう）曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）を適用（てきよう）し、幾何（きか）学（がく）的（てき）要素（ようそ）を特定（とくてい）できるようになる。
  3. Nhận biết mối liên hệ giữa tâm, trục nhỏ, đường tiệm cận và phương trình biểu diễn tham số.中心（ちゅうしん）、短軸（たんじく）、漸近（ぜんきん）線（せん）と媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）の関連（かんれん）性（せい）を理解（りかい）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về sự chuyển động và tọa độ góc運動（うんどう）と角度（かくど）座標（ざひょう）の直観（ちょっかん）的（てき）理解（りかい）

Thay vì mô tả điểm bằng cặp tọa độ vuông góc, ta có thể mô tả vị trí bằng khoảng cách đến tâm và góc quay hoặc thông qua một tham số thời gian. Cách biểu diễn này giúp đơn giản hóa việc tính toán hình học và làm rõ tính đối xứng của đường cong.

直交（ちょっこう）座標（ざひょう）で点（てん）を表（あらわ）す代（か）わりに、中心（ちゅうしん）からの距離（きょり）と回転（かいてん）角（かく）、あるいは媒介（ばいかい）変数（へんすう）を用（もち）いて位置（いち）を記述（きじゅつ）できます。この表示（ひょうじ）法（ほう）により、幾何（きか）学（がく）的（てき）な計算（けいさん）が単純（たんじゅん）化（か）され、曲線（きょくせん）の対称（たいしょう）性（せい）が明確（めいかく）になります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 短軸（たんじく）Trục nhỏ

    Trục nhỏ là đoạn thẳng ngắn hơn đi qua tâm của elip, vuông góc với trục lớn và nối hai đỉnh đối diện. Nó xác định độ hẹp của hình elip.

    短軸（たんじく）は、楕円（だえん）の中心（ちゅうしん）を通（とお）って長軸（ちょうじく）に垂直（すいちょく）であり、対向（たいこう）する2頂点（ちょうてん）を結（むす）ぶ短（みじか）い線分（せんぶん）です。楕円（だえん）のつぶれ具合（ぐあい）を決定（けってい）します。

  • 双（そう）曲線（きょくせん）Đường hypebol

    Đường hypebol là tập hợp các điểm có hiệu khoảng cách đến hai điểm cố định là không đổi. Đường cong này gồm hai nhánh riêng biệt.

    双（そう）曲線（きょくせん）は、2つの定点（ていてん）からの距離（きょり）の差（さ）が一定（いってい）である点（てん）の集合（しゅうごう）です。この曲線（きょくせん）は2つの離（はな）れた枝（えだ）から構成（こうせい）されます。

  • 中心（ちゅうしん）Tâm

    Tâm là điểm đối xứng của đường cong, đóng vai trò làm gốc tọa độ cho việc xác định các trục và tiệm cận. Nó là giao điểm của các trục đối xứng.

    中心（ちゅうしん）は曲線（きょくせん）の対称（たいしょう）中心（ちゅうしん）であり、軸（じく）や漸近（ぜんきん）線（せん）を設定（せってい）する基準（きじゅん）点（てん）となります。対称（たいしょう）軸（じく）の交点（こうてん）にあたります。

  • 漸近（ぜんきん）線（せん）Đường tiệm cận

    Đường tiệm cận là đường thẳng mà đường hypebol tiến lại rất gần khi các điểm trên hypebol ra xa vô tận. Nó định hình hướng phát triển của nhánh hypebol.

    漸近（ぜんきん）線（せん）は、双（そう）曲線（きょくせん）上（じょう）を無限（むげん）遠（えん）に移動（いどう）するときに曲線（きょくせん）が無限（むげん）に近（ちか）づく直線（ちょくせん）です。双（そう）曲線（きょくせん）の枝（えだ）の伸（の）びる方向（ほうこう）を規定（きてい）します。

  • 媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）Biểu diễn tham số

    Biểu diễn tham số là cách mô tả tọa độ x và y của đường cong thông qua một biến trung gian. Nó cho phép diễn tả tọa độ của điểm trên đường cong theo một tham số duy nhất.

    媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）は、曲線（きょくせん）のx座標（ざひょう）とy座標（ざひょう）を共通（きょうつう）の変数（へんすう）を用（もち）いて表（あらわ）す方法（ほうほう）です。単一（たんいつ）の変数（へんすう）によって曲線（きょくせん）上（じょう）の点（てん）を示（しめ）せます。

  • 極（ごく）座標（ざひょう）Tọa độ cực

    Tọa độ cực xác định vị trí của một điểm bằng khoảng cách đến gốc tọa độ và góc tạo bởi bán kính với trục hoành. Hệ tọa độ này phù hợp với các bài toán có tính đối xứng quay.

    極（ごく）座標（ざひょう）は、原点（げんてん）からの距離（きょり）と始線（しせん）からの回転（かいてん）角（かく）によって点（てん）の位置（いち）を決定（けってい）する座標（ざひょう）系（けい）です。回転（かいてん）対称（たいしょう）性（せい）をもつ問題（もんだい）に適（てき）しています。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：極（ごく）座標（ざひょう）と直交（ちょっこう）座標（ざひょう）の変換（へんかん）

    Bước 1: Chuyển đổi tọa độ cực và tọa độ Descartes

    Sử dụng các công thức liên hệ để chuyển đổi giữa khoảng cách, góc quay và tọa độ vuông góc. Phép biến đổi này giúp đơn giản hóa phương trình tùy thuộc vào dạng bài.

    距離（きょり）、回転（かいてん）角（かく）、直交（ちょっこう）座標（ざひょう）の関係（かんけい）式（しき）を用（もち）いて座標（ざひょう）変換（へんかん）を行（おこな）います。この変換（へんかん）により問題（もんだい）に応（おう）じて方程（ほうてい）式（しき）を単純（たんじゅん）化（か）できます。

  2. 02
    ステップ2：楕円（だえん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）

    Bước 2: Biểu diễn tham số của đường elip

    Đặt tọa độ x và y theo góc tham số với bán trục lớn và bán trục nhỏ. Công thức này tự động thỏa mãn phương trình chính danh của elip.

    長（ちょう）半径（はんけい）と短（たん）半径（はんけい）を用（もち）いてxとyを媒介（ばいかい）変数（へんすう）で表（あらわ）します。この公式（こうしき）は楕円（だえん）の標準（ひょうじゅん）形（けい）を自動（じどう）的（てき）に満（み）たします。

  3. 03
    ステップ3：双（そう）曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）

    Bước 3: Biểu diễn tham số của đường hypebol

    Biểu diễn tọa độ x và y theo lượng giác với bán trục thực và bán trục ảo. Dạng tham số này giúp xác định dễ dàng các điểm nằm trên nhánh hypebol.

    実（じつ）軸（じく）と虚（きょ）軸（じく）の長（なが）さを基（もと）に三角（さんかく）関数（かんすう）を用（もち）いてxとyを表（あらわ）します。この媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）により双（そう）曲線（きょくせん）上（じょう）の点（てん）を容易（ようい）に特定（とくてい）できます。

  4. 04
    ステップ4：制限（せいげん）条件（じょうけん）と幾何（きか）学（がく）的（てき）性質（せいしつ）の確認（かくにん）

    Bước 4: Kiểm tra điều kiện giới hạn và tính chất hình học

    Kiểm tra miền giá trị của tham số và bán kính cực để bảo đảm tính hợp lệ. Điều này giúp tránh chọn nhầm nghiệm ngoài phạm vi hoặc nhầm lẫn giữa các nhánh.

    媒介（ばいかい）変数（へんすう）や極（ごく）半径（はんけい）のとり得（え）る範囲（はんい）を確認（かくにん）し、妥当（だとう）性（せい）を検証（けんしょう）します。これにより範囲（はんい）外（がい）の解（かい）や枝（えだ）の誤認（ごにん）を防（ふせ）ぎます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn giữa công thức biểu diễn tham số của elip và hypebol, dùng hàm cos và \(\sin cho\) hypebol.楕円（だえん）と双（そう）曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）を混同（こんどう）し、双（そう）曲線（きょくせん）に対（たい）してcosとsinを使（つか）ってしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Cần ghi nhớ elip dùng x = a cos θ, y = b sin θ còn hypebol dùng x = a / cos θ, y = b tan θ.楕円（だえん）には x = a cos θ, y = b sin θ、双（そう）曲線（きょくせん）には x = a / cos θ, y = b tan θ を使用（しよう）することを明確（めいかく）に区別（くべつ）します。

Quên điều kiện cos θ khác 0 khi làm việc với phương trình tham số của hypebol.双（そう）曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）において cos θ ≠ 0 の条件（じょうけん）を忘（わす）れてしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn chú ý mẫu số cos θ phải khác 0 để tọa độ x được xác định hợp lệ.x座標（ざひょう）が定義（ていぎ）されるために分母（ぶんぼ）の cos θ が 0 でないことを常（つね）に確認（かくにん）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Tọa độ cực biểu diễn điểm qua khoảng cách r và góc θ, chuyển đổi với Descartes bằng các hàm lượng giác.極（ごく）座標（ざひょう）は距離（きょり）rと角（かく）θで点（てん）を表（あらわ）し、三角（さんかく）関数（かんすう）を用（もち）いて直交（ちょっこう）座標（ざひょう）と相互（そうご）変換（へんかん）します。
  • Biểu diễn tham số của elip dùng x = a cos θ, y = b sin θ và thỏa mãn \(x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1\).楕円（だえん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）は x = a cos θ, y = b sin θ であり、\(x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1\) を満（み）たします。
  • Biểu diễn tham số của hypebol dùng x = a / cos θ, y = b tan θ gắn liền với các đường tiệm cận và tâm đối xứng.双（そう）曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）は x = a / cos θ, y = b tan θ であり、漸近（ぜんきん）線（せん）や中心（ちゅうしん）の性質（せいしつ）と密接（みっせつ）に関連（かんれん）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

x=r\cos\theta, y=r\sin\theta

Công thức chuyển đổi từ tọa độ cực sang tọa độ Descartes vuông góc. Tọa độ x và y được tính theo bán kính r và góc θ.

極（ごく）座標（ざひょう）から直交（ちょっこう）座標（ざひょう）へ変換（へんかん）する公式（こうしき）です。半径（はんけい）rと角（かく）θを用（もち）いてx座標（ざひょう）とy座標（ざひょう）を計算（けいさん）します。

x=a\cos\theta, y=b\sin\theta

Công thức biểu diễn tham số của đường elip với tâm tại gốc tọa độ. Trong đó a là bán trục lớn và b là bán trục nhỏ.

原点（げんてん）を中心（ちゅうしん）とする楕円（だえん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）です。ここでaは半（はん）長軸（ちょうじく）、bは半（はん）短軸（たんじく）を表（あらわ）します。

x=\frac{a}{\cos\theta}, y=b\tan\theta

Công thức biểu diễn tham số của đường hypebol với bán trục a và b. Tham số θ thỏa mãn các tính chất lượng giác tương ứng.

半（はん）軸（じく）aおよびbをもつ双曲（そうきょく）線（せん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）です。変数（へんすう）θは対応（たいおう）する三角（さんかく）関数（かんすう）の性質（せいしつ）を満（み）たします。

r=\sqrt{x^2+y^2}

Công thức tính khoảng cách cực r từ tọa độ vuông góc x và y. Giá trị r đại diện cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm xét.

直交（ちょっこう）座標（ざひょう）x, yから極（ごく）半径（はんけい）rを計算（けいさん）する公式（こうしき）です。rの値（あたい）は原点（げんてん）から対象（たいしょう）の点（てん）までの距離（きょり）を表（あらわ）します。

EJU 2026 · MATH.16.1 · MATH.16.2 · MATH.16.3

Bài học giúp bạn nắm vững cách biểu diễn tham số và tọa độ cực cho các đường cong như elip, hypebol và mối liên hệ giữa các hệ tọa độ. Bạn sẽ rèn luyện kỹ năng chuyển đổi linh hoạt giữa phương trình đại số và dạng tham số.

本課（ほんか）では、楕円（だえん）や双（そう）曲線（きょくせん）などの曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）や極（ごく）座標（ざひょう）、および座標（ざひょう）系（けい）間（かん）の関係（かんけい）を習得（しゅうとく）します。代数（だいすう）方程（ほうてい）式（しき）と媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）を相互（そうご）に変換（へんかん）する技能（ぎのう）を養（やしな）います。

式（しき）と曲線（きょくせん） 第（だい）2部（ぶ）
短軸双曲線中心漸近線