Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Các chuỗi vô hạn khác nhauいろいろな無限（むげん）級数（きゅうすう）

Công thức公式

\sum_{n=1}^{\infty} k a_n = k \sum_{n=1}^{\infty} a_n
\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} b_n
\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n} = 0
c = (a - r) + (b - r)

Ví dụ例題

Cho hai chuỗi hội tụ có tổng lần lượt là \(\sum_{n=1}^{\infty}\) a_n = 2 và \(\sum_{n=1}^{\infty}\) b_n = 3. Hãy tính tổng của chuỗi \(\sum_{n=1}^{\infty}\) (4 a_n + 5 b_n).

2つの収束（しゅうそく）する級数（きゅうすう）の和（わ）が \(\sum_{n=1}^{\infty}\) a_n = 2 および \(\sum_{n=1}^{\infty}\) b_n = 3 であるとき、級数（きゅうすう） \(\sum_{n=1}^{\infty}\) (4 a_n + 5 b_n) の和（わ）を求（もと）めなさい。

  1. Tách tổng bằng phép tính tuyến tính: Áp dụng công thức phép tính tuyến tính, ta có \(\sum_{n=1}^{\infty}\) (4 a_n + 5 b_n) = \(\sum_{n=1}^{\infty}\) 4 a_n + \(\sum_{n=1}^{\infty}\) 5 b_n.線形（せんけい）演算（えんざん）による和（わ）の分解（ぶんかい）：線形（せんけい）演算（えんざん）の公式（こうしき）を適用（てきよう）すると、\(\sum_{n=1}^{\infty}\) (4 a_n + 5 b_n) = \(\sum_{n=1}^{\infty}\) 4 a_n + \(\sum_{n=1}^{\infty}\) 5 b_n となります。
  2. Đưa hệ số ra ngoài và thay giá trị: Ta đưa các hệ số ra ngoài: 4 \(\sum_{n=1}^{\infty}\) a_n + 5 \(\sum_{n=1}^{\infty}\) b_n = 4 \(\cdot\) 2 + 5 \(\cdot\) 3.係数（けいすう）の括（くく）り出（だ）しと値（あたい）の代入（だいにゅう）：係数（けいすう）を外（そと）に出（だ）すと、4 \(\sum_{n=1}^{\infty}\) a_n + 5 \(\sum_{n=1}^{\infty}\) b_n = 4 \(\cdot\) 2 + 5 \(\cdot\) 3 となります。
  3. Tính kết quả: Tính giá trị: 4 \(\cdot\) 2 + 5 \(\cdot\) 3 = 8 + 15 = 23.結果（けっか）の計算（けいさん）：値（あたい）を計算（けいさん）すると、4 \(\cdot\) 2 + 5 \(\cdot\) 3 = 8 + 15 = 23 となります。
Vậy tổng của chuỗi \(\sum_{n=1}^{\infty}\) (4 a_n + 5 b_n) bằng 23.したがって、級数（きゅうすう） \(\sum_{n=1}^{\infty}\) (4 a_n + 5 b_n) の和（わ）は 23 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho \(\sum_{n=1}^{\infty}\) a_n = 3 và \(\sum_{n=1}^{\infty}\) b_n = 4. Tính tổng \(\sum_{n=1}^{\infty}\) (2 a_n - b_n).\(\sum_{n=1}^{\infty}\) a_n = 3 および \(\sum_{n=1}^{\infty}\) b_n = 4 のとき、和（わ） \(\sum_{n=1}^{\infty}\) (2 a_n - b_n) を求（もと）めなさい。

2. Giá trị của giới hạn \(\lim_{n \to \infty}\) \(\frac{3n}{2^n}\) là bao nhiêu?極限（きょくげん） \(\lim_{n \to \infty}\) \(\frac{3n}{2^n}\) の値（あたい）はいくらですか。

3. Cho c = (a - r) + (b - r). Nếu a = 5, b = 4 và r = 2, giá trị của c là bao nhiêu?c = (a - r) + (b - r) とします。a = 5, b = 4, r = 2 のとき、c の値（あたい）はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.18.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.18.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu và áp dụng phép tính tuyến tính đối với tổng của các chuỗi vô hạn.無限（むげん）級数（きゅうすう）の和（わ）に対（たい）する線形（せんけい）演算（えんざん）を理解（りかい）し適用（てきよう）する。
  2. Nắm vững phương pháp lấy hiệu \(S_{n}\) trừ r \(S_{n}\) để tính tổng của chuỗi.差（さ）\(S_{n} - rS_{n}\)の手法（しゅほう）を用（もち）いて級数（きゅうすう）の和（わ）を求（もと）める方法（ほうほう）を習得（しゅうとく）する。
  3. Xử lý bài toán chuỗi liên quan đến công thức truy hồi, điểm chia trong và giới hạn lim n/2^n = 0.漸化（ぜんか）式（しき）、内分（ないぶん）点（てん）、および極限（きょくげん）lim n/2^n = 0が関（かか）わる級数（きゅうすう）問題（もんだい）を解決（かいけつ）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về việc tính tổng các chuỗi vô hạn phức tạp複雑（ふくざつ）な無限（むげん）級数（きゅうすう）の和（わ）に関（かん）する直観（ちょっかん）

Việc tính tổng của chuỗi vô hạn có thể đơn giản hóa bằng cách tách thành các tổng nhỏ hơn nhờ tính chất tuyến tính. Đối với chuỗi có dạng tích của cấp số cộng và cấp số nhân, việc nhân với tỉ số r rồi trừ đi sẽ triệt tiêu hầu hết các số hạng trung gian.

無限（むげん）級数（きゅうすう）の和（わ）の計算（けいさん）は、線形（せんけい）性（せい）を用（もち）いてより小（ちい）さな和（わ）に分解（ぶんかい）することで簡素（かんそ）化（か）できます。等差（とうさ）数列（すうれつ）と等比（とうひ）数列（すうれつ）の積（せき）の形（かたち）をした級数（きゅうすう）では、公比（こうひ）rを掛（か）けて引き算（ひきざん）することで中間（ちゅうかん）の項（こう）の多（おお）くを消去（しょうきょ）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 線形（せんけい）演算（えんざん）phép tính tuyến tính

    Phép tính tuyến tính cho phép tách tổng của hai chuỗi hội tụ hoặc đưa hệ số hằng số ra ngoài dấu tổng. Điều này giúp đơn giản hóa việc tính tổng của chuỗi phức tạp.

    線形（せんけい）演算（えんざん）により、2つの収束（しゅうそく）する級数（きゅうすう）の和（わ）を分（わ）けたり、定数（ていすう）倍（ばい）を和（わ）の外（そと）に出（だ）したりできます。これにより複雑（ふくざつ）な級数（きゅうすう）の和（わ）の計算（けいさん）が簡素（かんそ）化（か）されます。

  • 級数（きゅうすう）の和（わ）tổng của chuỗi

    Tổng của chuỗi vô hạn là giới hạn của tổng phần \(S_{n}\) khi n tiến tới vô cùng. Khi giới hạn này tồn tại là một số hữu hạn, chuỗi được gọi là hội tụ.

    無限（むげん）級数（きゅうすう）の和（わ）とは、nが無限（むげん）大（だい）に向（む）かうときの一部（いちぶ）和（わ）\(S_{n}\)の極限（きょくげん）です。この極限（きょくげん）が有限（ゆうげん）な値（あたい）として存在（そんざい）するとき、級数（きゅうすう）は収束（しゅうそく）すると言（い）います。

  • 差（さ）S_n - rS_nphương pháp lấy hiệu S_n trừ r S_n

    Phương pháp lấy hiệu \(S_{n}\) trừ r \(S_{n}\) được dùng khi tính tổng phần của chuỗi có số hạng tổng quát là tích của cấp số cộng và cấp số nhân. Phép trừ này đưa biểu thức về dạng tổng cấp số nhân quen thuộc.

    差（さ）\(S_{n} - rS_{n}\)の手法（しゅほう）は、一般（いっぱん）項（こう）が等差（とうさ）数列（すうれつ）と等比（とうひ）数列（すうれつ）の積（せき）である級数（きゅうすう）の一部（いちぶ）和（わ）を計算（けいさん）する際（さい）に用（もち）いられます。この引き算（ひきざん）により、よく知（し）られた等比（とうひ）数列（すうれつ）の和（わ）の形（かたち）に帰着（きちゃく）されます。

  • 和（わ）の存在（そんざい）sự tồn tại của tổng

    Sự tồn tại của tổng biểu thị việc dãy tổng phần \(S_{n}\) có giới hạn hữu hạn khi n tiến ra vô cùng. Khi đó, chuỗi vô hạn có một giá trị tổng xác định.

    和（わ）の存在（そんざい）とは、nが無限（むげん）大（だい）に向（む）かうときに一部（いちぶ）和（わ）の数列（すうれつ）\(S_{n}\)が有限（ゆうげん）な極限（きょくげん）値（ち）を持（も）つことを意味（いみ）します。このとき、無限（むげん）級数（きゅうすう）は確定（かくてい）した和（わ）の値（あたい）を持（も）ちます。

  • 漸化（ぜんか）式（しき）công thức truy hồi

    Công thức truy hồi xác định mối quan hệ giữa các số hạng liên tiếp trong dãy số. Từ công thức truy hồi, ta có thể tìm số hạng tổng quát và xét tính hội tụ của chuỗi tương ứng.

    漸化（ぜんか）式（しき）は数列（すうれつ）の隣接（りんせつ）する項（こう）の間（あいだ）の関係（かんけい）を規定（きてい）します。漸化（ぜんか）式（しき）から一般（いっぱん）項（こう）を求（もと）め、対応（たいおう）する級数（きゅうすう）の収束（しゅうそく）性（せい）を調（しら）べる立場（たちば）をとります。

  • 内分（ないぶん）点（てん）điểm chia trong

    Điểm chia trong phân chia một đoạn thẳng theo một tỉ lệ cho trước. Biểu thức vị trí của điểm chia trong thường dẫn đến dãy số thỏa mãn công thức truy hồi hoặc biểu thức liên quan r.

    内分（ないぶん）点（てん）は線分（せんぶん）を与（あた）えられた比率（ひりつ）で分割（ぶんかつ）する点（てん）です。内分（ないぶん）点（てん）の位置（いち）の式（しき）は、漸化（ぜんか）式（しき）や公比（こうひ）rに関（かか）わる数列（すうれつ）にしばしば繋（つな）がります。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    線形（せんけい）演算（えんざん）による級数（きゅうすう）の分解（ぶんかい）

    Tách chuỗi bằng phép tính tuyến tính

    Phân tích số hạng tổng quát thành tổng các số hạng đơn giản hơn. Sử dụng tính chất tuyến tính để biến đổi tổng của chuỗi thành tổng của các chuỗi thành phần.

    一般（いっぱん）項（こう）をより単純（たんじゅん）な項（こう）の和（わ）に分解（ぶんかい）します。線形（せんけい）性（せい）を用（もち）いて、級数（きゅうすう）の和（わ）を成分（せいぶん）ごとの級数（きゅうすう）の和（わ）に変形（へんけい）します。

  2. 02
    一部（いちぶ）和（わ）\(S_{n}\)の式（しき）と差（さ）\(S_{n} - rS_{n}\)の作成（さくせい）

    Lập biểu thức tổng phần \(S_{n}\) và hiệu \(S_{n} - r\) \(S_{n}\)

    Viết tổng phần \(S_{n}\) và nhân hai vế với r để tạo biểu thức r \(S_{n}\). Lấy \(S_{n}\) trừ r \(S_{n}\) để thu gọn biểu thức thành tổng của cấp số nhân.

    一部（いちぶ）和（わ）\(S_{n}\)を書（か）き、両辺（りょうへん）にrを掛（か）けてr \(S_{n}\)を作成（さくせい）します。\(S_{n}\)からr \(S_{n}\)を引（ひ）くことで式（しき）を整理（せいり）し、等比（とうひ）数列（すうれつ）の和（わ）に引き渡（ひきわた）します。

  3. 03
    nが無限（むげん）大（だい）に向（む）かうときの極限（きょくげん）の計算（けいさん）

    Tính giới hạn khi n tiến tới vô cùng

    Sử dụng các giới hạn cơ bản như lim (n / 2^n) = 0 khi n tiến ra vô cùng để tìm giới hạn của S_n. Kết quả thu được chính là tổng của chuỗi vô hạn.

    nが無限（むげん）大（だい）に向（む）かうときのlim (n / 2^n) = 0などの基本（きほん）極限（きょくげん）を利用（りよう）してS_nの極限（きょくげん）を求（もと）めます。得（え）られた結果（けっか）が無限（むげん）級数（きゅうすう）の和（わ）となります。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn rằng phép tính tuyến tính có thể áp dụng cho các chuỗi phân kỳ.発散（はっさん）する級数（きゅうすう）に対（たい）しても線形（せんけい）演算（えんざん）を適用（てきよう）できると誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Phép tính tuyến tính tổng chuỗi chỉ hợp lệ khi từng chuỗi thành phần đều hội tụ và có tổng tồn tại.級数（きゅうすう）の線形（せんけい）演算（えんざん）は、各（かく）成分（せいぶん）の級数（きゅうすう）がそれぞれ収束（しゅうそく）し和（わ）が存在（そんざい）する場合（ばあい）にのみ正当（せいとう）です。

Quên không lấy giới hạn khi n tiến ra vô cùng sau khi nhân và trừ \(S_{n} - r\) \(S_{n}\).\(S_{n} - rS_{n}\) の掛（か）けて引（ひ）く操作（そうさ）の後（あと）、nを無限（むげん）大（だい）に飛（と）ばす極限（きょくげん）を忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Sau khi thu gọn S_n - r S_n, bắt buộc phải chia cho (1 - r) rồi lấy giới hạn lim khi n tiến tới vô cùng.\(S_{n} - rS_{n}\) を整理（せいり）した後（あと）、必（かなら）ず (1 - r) で割（わ）ってから n が無限（むげん）大（だい）に向（む）かう極限（きょくげん）をとる必要（ひつよう）があります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Phép tính tuyến tính giúp chia nhỏ chuỗi phức tạp thành các chuỗi hội tụ đơn giản.線形（せんけい）演算（えんざん）により、複雑（ふくざつ）な級数（きゅうすう）を単純（たんじゅん）な収束（しゅうそく）級数（きゅうすう）に分解（ぶんかい）できます。
  • Phương pháp lấy hiệu \(S_{n} - r\) \(S_{n}\) là công cụ hiệu quả để xử lý chuỗi tích cấp số cộng và cấp số nhân.差（さ）\(S_{n} - r\) \(S_{n}\)の手法（しゅほう）は、等差（とうさ）数列（すうれつ）と等比（とうひ）数列（すうれつ）の積（せき）の級数（きゅうすう）を処理（しょり）する有効（ゆうこう）な道具（どうぐ）です。
  • Sự tồn tại của tổng phụ thuộc vào việc giới hạn của dãy tổng phần \(S_{n}\) khi n tiến ra vô cùng có hữu hạn hay không.和（わ）の存在（そんざい）は、nが無限（むげん）大（だい）に向（む）かうときの一部（いちぶ）和（わ）\(S_{n}\)の極限（きょくげん）が有限（ゆうげん）であるかどうかに依存（いぞん）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\sum_{n=1}^{\infty} k a_n = k \sum_{n=1}^{\infty} a_n

Đưa hệ số k ra ngoài tổng của chuỗi khi chuỗi \(a_{n}\) hội tụ.

級数（きゅうすう）\(a_{n}\)が収束（しゅうそく）するとき、定数（ていすう）倍（ばい）kを和（わ）の外（そと）に出（だ）すことができます。

\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} b_n

Tổng của tổng hai dãy bằng tổng các tổng chuỗi tương ứng khi từng chuỗi hội tụ.

各（かく）級数（きゅうすう）が収束（しゅうそく）するとき、2つの数列（すうれつ）の和（わ）の級数（きゅうすう）は各（かく）級数（きゅうすう）の和（わ）の和（わ）に等（ひと）しいです。

\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n} = 0

Giới hạn của thương n trên \(2^{n}\) bằng 0 khi n tiến ra vô cùng.

nが無限（むげん）大（だい）に向（む）かうとき、\(2^{n}\)に対（たい）するnの比（ひ）の極限（きょくげん）は0になります。

c = (a - r) + (b - r)

Biểu thức liên hệ giữa các bán kính hoặc độ dài đoạn thẳng trong bài toán hình học liên quan điểm chia và bán kính r.

分割（ぶんかつ）点（てん）や半径（はんけい）rに関（かか）わる図形（ずけい）問題（もんだい）における、半径（はんけい）または線分（せんぶん）長（ちょう）の間（あいだ）の関係（かんけい）式（しき）です。

EJU 2026 · MATH.18.1

Bài học hướng dẫn cách tính tổng của các chuỗi vô hạn khác nhau bằng cách áp dụng phép tính tuyến tính và phương pháp lấy hiệu \(S_{n}\) trừ r \(S_{n}\). Học sinh sẽ nắm được sự tồn tại của tổng và xử lý các bài toán liên quan đến công thức truy hồi hoặc điểm chia trong.

本課（ほんか）では、線形（せんけい）演算（えんざん）や差（さ）\(S_{n} - rS_{n}\)の手法（しゅほう）を用（もち）いて、いろいろな無限（むげん）級数（きゅうすう）の和（わ）を計算（けいさん）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。和（わ）の存在（そんざい）を確認（かくにん）し、漸化（ぜんか）式（しき）や内分（ないぶん）点（てん）が関（かか）わる問題（もんだい）への応用（おうよう）力（りょく）を身（み）につけます。

いろいろな無限（むげん）級数（きゅうすう）
線形演算級数の和差S_n - rS_n和の存在