Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Chuỗi cấp số nhân vô hạn無限（むげん）等比（とうひ）級数（きゅうすう）

Công thức公式

a = 0 \implies S = 0
a \neq 0, |r| < 1 \implies S = \frac{a}{1 - r}
a \neq 0, |r| \ge 1 \implies \text{発散する}

Ví dụ例題

Tính tổng S của chuỗi cấp số nhân vô hạn: 6 + 2 + 2/3 + 2/9 + ...

無限（むげん）等比（とうひ）級数（きゅうすう） 6 + 2 + 2/3 + 2/9 + ... の和（わ）Sを求（もと）めなさい。

  1. Xác định số hạng đầu a = 6 và công tỷ r = 2/6 = 1/3.初項（しょこう） a = 6、公比（こうひ） r = 2/6 = 1/3 を特定（とくてい）します。
  2. Kiểm tra điều kiện hội tụ: do |r| = |1/3| = 1/3 < 1 nên chuỗi hội tụ.収束（しゅうそく）条件（じょうけん）を確認（かくにん）します：|r| = |1/3| = 1/3 < 1 なので、この級数（きゅうすう）は収束（しゅうそく）します。
  3. Áp dụng công thức S = a/(1 - r): S = 6 / (1 - 1/3) = 6 / (2/3) = 9.公式（こうしき） S = a/(1 - r) を適用（てきよう）します：S = 6 / (1 - 1/3) = 6 / (2/3) = 9。
Vậy chuỗi cấp số nhân vô hạn hội tụ và có tổng S = 9.したがって、この無限（むげん）等比（とうひ）級数（きゅうすう）は収束（しゅうそく）し、その和（わ）は S = 9 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính tổng của chuỗi cấp số nhân vô hạn: 4 - 2 + 1 - 1/2 + 1/4 - ...無限（むげん）等比（とうひ）級数（きゅうすう） 4 - 2 + 1 - 1/2 + 1/4 - ... の和（わ）を求（もと）めなさい。

2. Tìm điều kiện của x để chuỗi cấp số nhân vô hạn \(1 + 2 x + 4 x^{2}\) + ... hội tụ.無限（むげん）等比（とうひ）級数（きゅうすう） \(1 + 2 x + 4 x^{2}\) + ... が収束（しゅうそく）するようなxの条件（じょうけん）を求（もと）めなさい。

3. Biểu diễn số thập phân tuần hoàn 0.333... (chu kỳ 3) dưới dạng phân số tối giản bằng cách dùng chuỗi cấp số nhân vô hạn.無限（むげん）等比（とうひ）級数（きゅうすう）を用（もち）いて、循環（じゅんかん）小数（しょうすう） 0.333... （循環（じゅんかん）節（せつ）3）を既約（きやく）分数（ぶんすう）で表（あらわ）しなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.18.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.18.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nhận biết số hạng đầu a và công tỷ r của một chuỗi cấp số nhân vô hạn.無限（むげん）等比（とうひ）級数（きゅうすう）の初項（しょこう）aと公比（こうひ）rを識別（しきべつ）する。
  2. Áp dụng điều kiện |r| < 1 để xác định tính hội tụ và tính tổng S = a/(1 - r).収束（しゅうそく）条件（じょうけん） |r| < 1 を適用（てきよう）して収束（しゅうそく）性（せい）を判定（はんてい）し、和（わ） S = a/(1 - r) を計算（けいさん）する。
  3. Chuyển đổi số thập phân tuần hoàn thành phân số bằng cách sử dụng chuỗi cấp số nhân vô hạn.無限（むげん）等比（とうひ）級数（きゅうすう）を利用（りよう）して循環（じゅんかん）小数（しょうすう）を分数（ぶんすう）に変換（へんかん）する。
Trực giác · イメージ

Nhân liên tiếp một tỷ số nhỏ hơn 11より小（ちい）さい割合（わりあい）を掛（か）け続（つづ）けること

Khi mỗi số hạng tiếp theo thu nhỏ lại theo một tỷ lệ cố định r với |r| < 1, các số hạng sau cùng sẽ trở nên vô cùng nhỏ và tổng của chúng không vượt quá một giới hạn hữu hạn. Công thức S = a/(1 - r) phản ánh tổng toàn bộ quá trình nhân vô hạn này. Nếu công tỷ r có độ lớn từ 1 trở lên, tổng sẽ tăng vượt kiểm soát hoặc dao động, dẫn đến phân kỳ.

各項（かくこう）が一定（いってい）の割合（わりあい）r（|r| < 1）で小（ちい）さくなるとき、後方（こうほう）の項（こう）は限（かぎ）りなく0に近（ちか）づき、全体（ぜんたい）としての和（わ）は有限（ゆうげん）の値（あたい）に収（おさ）まります。公式（こうしき） S = a/(1 - r) はこの無限（むげん）の足し算（たしざん）の結果（けっか）を表（あらわ）しています。公比（こうひ）rの絶対（ぜったい）値（ち）が1以上（いじょう）の場合（ばあい）、和（わ）は無限（むげん）に大（おお）きくなるか振動（しんどう）し、発散（はっさん）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 無限（むげん）等比（とうひ）級数（きゅうすう）chuỗi cấp số nhân vô hạn

    Chuỗi cấp số nhân vô hạn là tổng vô hạn các số hạng có dạng \(a + ar + ar^{2}\) + ... + \(ar^{n - 1}\) + ...

    初項（しょこう）aに公比（こうひ）rを順（じゅん）に掛（か）けて得（え）られる項（こう）の無限（むげん）の和（わ） \(a + ar + ar^{2}\) + ... + \(ar^{n - 1}\) + ... のことです。

  • 初項（しょこう）số hạng đầu

    Số hạng đầu a là số hạng đầu tiên xuất hiện trong chuỗi cấp số nhân vô hạn.

    初項（しょこう）aとは、無限（むげん）等比（とうひ）級数（きゅうすう）の最初（さいしょ）にある項（こう）のことです。

  • 公比（こうひ）tỷ số công

    Tỷ số công r là tỷ lệ giữa số hạng liền sau và số hạng liền trước trong cấp số nhân.

    公比（こうひ）rとは、等比（とうひ）数列（すうれつ）において隣り合（となりあ）う2項（こう）の比率（ひりつ）（後項（こうこう）÷前項（ぜんこう））のことです。

  • 収束（しゅうそく）条件（じょうけん）điều kiện hội tụ

    Với a khác 0, điều kiện để chuỗi cấp số nhân vô hạn hội tụ là giá trị tuyệt đối của công tỷ nhỏ hơn 1 (|r| < 1).

    a ≠ 0 のとき、無限（むげん）等比（とうひ）級数（きゅうすう）が収束（しゅうそく）するための条件（じょうけん）は公比（こうひ）の絶対（ぜったい）値（ち）が1未満（みまん）であること（|r| < 1）です。

  • 循環（じゅんかん）小数（しょうすう）số thập phân tuần hoàn

    Số thập phân tuần hoàn là số thập phân vô hạn có một nhóm chữ số lặp lại vô tận sau dấu phẩy.

    循環（じゅんかん）小数（しょうすう）とは、小数（しょうすう）部分（ぶぶん）の特定（とくてい）の数字（すうじ）の列（れつ）が無限（むげん）に繰り返（くりかえ）される無限（むげん）小数（しょうすう）のことです。

  • 循環（じゅんかん）節（せつ）chu kỳ tuần hoàn

    Chu kỳ tuần hoàn là nhóm chữ số ngắn nhất được lặp đi lặp lại vô hạn lần trong số thập phân tuần hoàn.

    循環（じゅんかん）節（せつ）とは、循環（じゅんかん）小数（しょうすう）において繰り返（くりかえ）し現（あらわ）れる最小（さいしょう）の数字（すうじ）の列（れつ）のことです。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：初項（しょこう）aと公比（こうひ）rを特定（とくてい）する

    Bước 1: Xác định số hạng đầu a và công tỷ r

    Tìm số hạng đầu tiên a và lấy số hạng thứ hai chia cho số hạng thứ nhất để tìm công tỷ r. Đảm bảo chuỗi có dạng cấp số nhân.

    最初（さいしょ）の項（こう）aを求（もと）め、第（だい）2項（こう）を第（だい）1項（こう）で割（わ）って公比（こうひ）rを算出（さんしゅつ）します。級数（きゅうすう）が等比（とうひ）級数（きゅうすう）の形（かたち）をしているか確認（かくにん）します。

  2. 02
    ステップ2：rの収束（しゅうそく）条件（じょうけん）を判定（はんてい）する

    Bước 2: Kiểm tra điều kiện hội tụ theo r

    Xét giá trị của a và r. Nếu a = 0 chuỗi hội tụ về 0; nếu a ≠ 0 và |r| < 1 chuỗi hội tụ, ngược lại nếu |r| ≥ 1 thì chuỗi phân kỳ.

    aとrの値（あたい）を調（しら）べます。a = 0なら和（わ）は0に収束（しゅうそく）し、a ≠ 0のとき |r| < 1 なら収束（しゅうそく）、|r| ≥ 1 なら発散（はっさん）します。

  3. 03
    ステップ3：和（わ）の公式（こうしき）Sを適用（てきよう）する

    Bước 3: Áp dụng công thức tính tổng S

    Khi chuỗi hội tụ với a ≠ 0 và |r| < 1, thay a và r vào công thức S = a/(1 - r) để tính giá trị của tổng.

    級数（きゅうすう）が収束（しゅうそく）し a ≠ 0 かつ |r| < 1 の場合（ばあい）、aとrを公式（こうしき） S = a/(1 - r) に代入（だいにゅう）して和（わ）を計算（けいさん）します。

  4. 04
    ステップ4：循環（じゅんかん）小数（しょうすう）を級数（きゅうすう）として表（あらわ）す

    Bước 4: Biểu diễn số thập phân tuần hoàn thành chuỗi

    Tách phần tuần hoàn thành tổng các số hạng cấp số nhân vô hạn có |r| < 1, từ đó tính tổng S để đổi thành phân số.

    循環（じゅんかん）部分（ぶぶん）を |r| < 1 の無限（むげん）等比（とうひ）級数（きゅうすう）の和（わ）に分解（ぶんかい）し、公式（こうしき）Sを適用（てきよう）して分数（ぶんすう）へ変換（へんかん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Áp dụng công thức S = a/(1 - r) khi công tỷ |r| ≥ 1.公比（こうひ）の絶対（ぜったい）値（ち） |r| ≥ 1 のときに公式（こうしき） S = a/(1 - r) を適用（てきよう）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Công thức S = a/(1 - r) chỉ đúng khi |r| < 1. Nếu |r| ≥ 1, chuỗi phân kỳ và không có tổng S.公式（こうしき） S = a/(1 - r) は |r| < 1 の場合（ばあい）にのみ有効（ゆうこう）です。|r| ≥ 1 の場合（ばあい）、級数（きゅうすう）は発散（はっさん）するため和（わ）は存在（そんざい）しません。

Nhầm lẫn công tỷ r là hiệu giữa hai số hạng thay vì tỷ số của chúng.公比（こうひ）rを隣り合（となりあ）う2項（こう）の比（ひ）ではなく、差（さ）であると誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Trong cấp số nhân, r được xác định bằng phép chia số hạng sau cho số hạng trước (r = a2/a1), không phải phép trừ.等比（とうひ）数列（すうれつ）において、公比（こうひ）rは前項（ぜんこう）に対（たい）する後項（こうこう）の割り算（わりざん）（r = a2/a1）によって求（もと）まり、引き算（ひきざん）ではありません。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Chuỗi cấp số nhân vô hạn \(a + ar + ar^{2}\) + ... hội tụ khi a = 0 hoặc khi a ≠ 0 và |r| < 1.無限（むげん）等比（とうひ）級数（きゅうすう） \(a + ar + ar^{2}\) + ... は、a = 0 または a ≠ 0 かつ |r| < 1 のときに収束（しゅうそく）します。
  • Khi a ≠ 0 và |r| < 1, tổng của chuỗi cấp số nhân vô hạn được tính bằng công thức S = a/(1 - r); nếu |r| ≥ 1 thì chuỗi phân kỳ.a ≠ 0 かつ |r| < 1 のとき、無限（むげん）等比（とうひ）級数（きゅうすう）の和（わ）は S = a/(1 - r) で計算（けいさん）され、|r| ≥ 1 の場合（ばあい）は発散（はっさん）します。
  • Số thập phân tuần hoàn có thể chuyển đổi thành phân số bằng cách phân tích thành chuỗi cấp số nhân vô hạn với |r| < 1.循環（じゅんかん）小数（しょうすう）は、|r| < 1 である無限（むげん）等比（とうひ）級数（きゅうすう）の和（わ）として分解（ぶんかい）することで分数（ぶんすう）に変換（へんかん）できます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

a = 0 \implies S = 0

Khi số hạng đầu a bằng 0, mọi số hạng đều bằng 0 nên tổng S của chuỗi bằng 0.

初項（しょこう）aが0の場合（ばあい）、すべての項（こう）が0となるため、級数（きゅうすう）の和（わ）Sは0になります。

a \neq 0, |r| < 1 \implies S = \frac{a}{1 - r}

Công thức tính tổng S của chuỗi cấp số nhân vô hạn khi a khác 0 và công tỷ |r| < 1.

初項（しょこう）a ≠ 0 かつ公比（こうひ）の絶対（ぜったい）値（ち） |r| < 1 のとき、無限（むげん）等比（とうひ）級数（きゅうすう）の和（わ）Sを求（もと）める公式（こうしき）です。

a \neq 0, |r| \ge 1 \implies \text{発散する}

Khi a khác 0 và |r| ≥ 1, chuỗi cấp số nhân vô hạn không hội tụ mà phân kỳ.

初項（しょこう）a ≠ 0 かつ公比（こうひ）の絶対（ぜったい）値（ち） |r| ≥ 1 のとき、無限（むげん）等比（とうひ）級数（きゅうすう）は発散（はっさん）します。

EJU 2026 · MATH.18.1

Bài học này trình bày về chuỗi cấp số nhân vô hạn, điều kiện hội tụ theo công tỷ r và ứng dụng biểu diễn số thập phân tuần hoàn dưới dạng phân số.

この課（か）では、無限（むげん）等比（とうひ）級数（きゅうすう）、公比（こうひ）rによる収束（しゅうそく）条件（じょうけん）、および循環（じゅんかん）小数（しょうすう）を分数（ぶんすう）で表（あらわ）す応用（おうよう）について学（まな）びます。

無限（むげん）等比（とうひ）級数（きゅうすう）
無限等比級数初項公比収束条件