Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Cách tìm giới hạn của dãy số数列（すうれつ）の極限（きょくげん）の求（もと）め方（かた）

Công thức公式

lim_{n -> ∞} (k a_{n}) = k α
lim_{n -> ∞} (a_{n} ± b_{n}) = α ± β
lim_{n -> ∞} (a_{n} b_{n}) = α β
lim_{n -> ∞} (a_{n} / b_{n}) = α / β

Ví dụ例題

Cho hai dãy số a_n và b_n thỏa mãn lim_{n -> ∞} a_n = 2 và lim_{n -> ∞} b_n = 3. Tính giới hạn lim_{n -> ∞} (2 a_n + b_n) / (a_n b_n).

lim_{n -> ∞} a_n = 2 かつ lim_{n -> ∞} b_n = 3 である2つの数列（すうれつ） a_n, b_n について、極限（きょくげん） lim_{n -> ∞} (2 a_n + b_n) / (a_n b_n) を求（もと）めよ。

  1. Tính giới hạn của tử số: lim_{n -> ∞} (2 a_n + b_n) = 2 * 2 + 3 = 7.分子（ぶんし）の極限（きょくげん）を計算（けいさん）する: lim_{n -> ∞} (2 a_n + b_n) = 2 * 2 + 3 = 7。
  2. Tính giới hạn của mẫu số: lim_{n -> ∞} (a_n b_n) = 2 * 3 = 6.分母（ぶんぼ）の極限（きょくげん）を計算（けいさん）する: lim_{n -> ∞} (a_n b_n) = 2 * 3 = 6。
  3. Do giới hạn mẫu số là 6 (khác 0), áp dụng quy tắc thương: giới hạn bằng 7 / 6.分母（ぶんぼ）の極限（きょくげん）が6（≠0）であるため、商（しょう）の性質（せいしつ）を適用（てきよう）して極限（きょくげん）値（ち）は 7 / 6 となる。
Vậy giới hạn cần tìm là 7/6.したがって、求（もと）める極限（きょくげん）値（ち）は 7/6 である。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho lim_{n -> ∞} a_n = 3 và lim_{n -> ∞} b_n = 4. Tính giới hạn lim_{n -> ∞} (a_n b_n - 2 a_n).lim_{n -> ∞} a_n = 3 かつ lim_{n -> ∞} b_n = 4 のとき、極限（きょくげん） lim_{n -> ∞} (a_n b_n - 2 a_n) の値（あたい）を求（もと）めよ。

2. Cho dãy số c_n thỏa mãn 2 - (1/n) <= c_n <= 2 + (1/n) với mọi n >= 1. Biết lim_{n -> ∞} (1/n) = 0, tìm lim_{n -> ∞} c_n.すべての n >= 1 に対（たい）して 2 - (1/n) <= c_n <= 2 + (1/n) を満（み）たす数列（すうれつ） c_n がある。lim_{n -> ∞} (1/n) = 0 であるとき、lim_{n -> ∞} c_n を求（もと）めよ。

3. Cho lim_{n -> ∞} a_n = 5 và lim_{n -> ∞} b_n = 2. Tính giới hạn lim_{n -> ∞} (3 a_n / b_n).lim_{n -> ∞} a_n = 5 かつ lim_{n -> ∞} b_n = 2 のとき、極限（きょくげん） lim_{n -> ∞} (3 a_n / b_n) の値（あたい）を求（もと）めよ。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.18.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.18.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững các tính chất cơ bản của phép toán giới hạn cho dãy số.数列（すうれつ）の極限（きょくげん）における基本（きほん）演算（えんざん）の性質（せいしつ）を理解（りかい）する。
  2. Biết cách biến đổi để giải quyết dạng vô định khi tìm giới hạn.不（ふ）定形（ていけい）を解消（かいしょう）して極限（きょくげん）値（ち）を計算（けいさん）する方法（ほうほう）を習得（しゅうとく）する。
  3. Áp dụng định lý kẹp để xác định giới hạn của dãy số bị chặn.はさみ打（う）ちの定理（ていり）を用（もち）いて数列（すうれつ）の極限（きょくげん）を判定（はんてい）できるようになる。
Trực giác · イメージ

Trực giác về cách tìm giới hạn của dãy số数列（すうれつ）の極限（きょくげん）の求（もと）め方（かた）に関（かん）する直感（ちょっかん）

Khi xét một dãy số phức tạp, ta có thể phân tích thành các dãy số đơn giản hơn bằng phép cộng, trừ, nhân, chia hoặc kẹp giữa hai dãy có cùng giới hạn. Nhờ đó, việc xác định xu hướng tiến tới của dãy số trở nên rõ ràng.

複雑（ふくざつ）な数列（すうれつ）の極限（きょくげん）を考（かんが）える際（さい）、加減（かげん）乗除（じょうじょ）やはさみ打（う）ちを利用（りよう）して簡単（かんたん）な数列（すうれつ）に分解（ぶんかい）することができます。これにより、数列（すうれつ）が収束（しゅうそく）する値（あたい）を明確（めいかく）に把握（はあく）できるようになります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • はさみ打（う）ちの定理（ていり）định lý kẹp

    Nếu dãy số c_n bị kẹp giữa a_n và b_n với a_n <= c_n <= b_n và cả a_n lẫn b_n đều tiến về cùng giới hạn L, thì c_n cũng tiến về L. Đây là công cụ hiệu quả khi không thể tính trực tiếp giới hạn của c_n.

    数列（すうれつ）c_nがa_n <= c_n <= b_nを満（み）たし、a_nとb_nがともに同（おな）じ極限（きょくげん）値（ち）Lに収束（しゅうそく）するとき、c_nもLに収束（しゅうそく）するという定理（ていり）です。直接（ちょくせつ）極限（きょくげん）を求（もと）めるのが難（むずか）しい場合（ばあい）に有効（ゆうこう）です。

  • 不（ふ）定形（ていけい）dạng vô định

    Dạng vô định là biểu thức giới hạn chưa thể xác định ngay kết quả. Cần thực hiện phép biến đổi đại số thích hợp để đưa về dạng có thể tính giới hạn.

    不（ふ）定形（ていけい）とは、極限（きょくげん）値（ち）をそのままでは決定（けってい）できない形（かたち）のことです。適切（てきせつ）な式（しき）変形（へんけい）を行（おこな）って極限（きょくげん）が求（もと）められる形（かたち）に変換（へんかん）する必要（ひつよう）があります。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 式（しき）の形（かたち）を分析（ぶんせき）する

    Bước 1: Phân tích dạng biểu thức

    Kiểm tra xem biểu thức dãy số có rơi vào dạng vô định hay không. Nếu không phải dạng vô định, áp dụng trực tiếp các phép toán giới hạn.

    数列（すうれつ）の式（しき）が不定（ふてい）形（けい）になっているかどうかを確認（かくにん）します。不（ふ）定形（ていけい）でない場合（ばあい）は、極限（きょくげん）の基本（きほん）性質（せいしつ）をそのまま適用（てきよう）します。

  2. 02
    ステップ2: 式（しき）変形（へんけい）による不（ふ）定形（ていけい）の解消（かいしょう）

    Bước 2: Biến đổi đại số khử dạng vô định

    Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n hoặc rút gọn biểu thức. Phép biến đổi này giúp đưa biểu thức về dạng xác định.

    分母（ぶんぼ）・分子（ぶんし）を最高（さいこう）次（つぎ）の項（こう）で割（われ）るなどして式（しき）を整理（せいり）します。この変形（へんけい）により、極限（きょくげん）が計算（けいさん）可能（かのう）な形（かたち）へと導（みちび）かれます。

  3. 03
    ステップ3: 極限（きょくげん）の性質（せいしつ）やはさみ打（う）ちの定理（ていり）の適用（てきよう）

    Bước 3: Áp dụng quy tắc tính giới hạn hoặc định lý kẹp

    Sử dụng các công thức giới hạn tổng, hiệu, tích, thương hoặc kẹp dãy số giữa hai dãy khác. Từ đó suy ra giới hạn của dãy số cần tìm.

    和（わ）・差（さ）・積（せき）・商（しょう）の極限（きょくげん）の性質（せいしつ）や、はさみ打（う）ちの定理（ていり）を適用（てきよう）します。これにより、目的（もくてき）の数列（すうれつ）の極限（きょくげん）値（ち）を導出（どうしゅつ）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Áp dụng quy tắc thương lim (a_n / b_n) = α / β ngay cả khi giới hạn mẫu số β = 0.分母（ぶんぼ）の極限（きょくげん）値（ち） β = 0 の場合（ばあい）にも、商（しょう）の極限（きょくげん）公式（こうしき） lim (a_n / b_n) = α / β をそのまま適用（てきよう）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Chỉ áp dụng quy tắc thương khi giới hạn mẫu số β khác 0. Nếu β = 0, đây là dạng vô định và cần biến đổi đại số trước.商（しょう）の極限（きょくげん）公式（こうしき）は分母（ぶんぼ）の極限（きょくげん）値（ち） β ≠ 0 の場合（ばあい）にのみ適用（てきよう）できます。β = 0 の場合（ばあい）は不定（ふてい）形（けい）となるため、事前（じぜん）に式（しき）変形（へんけい）が必要（ひつよう）です。

Kết luận sai về giới hạn khi xuất hiện dạng vô định mà không biến đổi rút gọn.不（ふ）定形（ていけい）が現（あらわ）れた際（さい）に、式（しき）変形（へんけい）や約分（やくぶん）を行（おこな）わずに誤（あやま）った極限（きょくげん）値（ち）を結論（けつろん）づけてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi gặp dạng vô định, phải chia cả tử và mẫu cho lũy thừa thích hợp để đưa về dạng các dãy số hội tụ xác định.不（ふ）定形（ていけい）に遭遇（そうぐう）した場合（ばあい）は、分母（ぶんぼ）・分子（ぶんし）を適切（てきせつ）な項（こう）で割（われ）るなどして、確実（かくじつ）な収束（しゅうそく）数列（すうれつ）の形（かたち）に変形（へんけい）してから極限（きょくげん）を求（もと）めます。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Các phép toán giới hạn (tổng, hiệu, tích, thương) chỉ được áp dụng khi các dãy thành phần đều hội tụ.極限（きょくげん）の基本（きほん）演算（えんざん）（和（わ）・差（さ）・積（せき）・商（しょう））は、構成（こうせい）する各（かく）数列（すうれつ）が収束（しゅうそく）する場合（ばあい）にのみ適用（てきよう）できます。
  • Khi gặp dạng vô định, cần thực hiện phép biến đổi đại số trước khi tính giới hạn.不（ふ）定形（ていけい）に遭遇（そうぐう）した場合（ばあい）は、極限（きょくげん）を計算（けいさん）する前（まえ）に式（しき）変形（へんけい）を行（おこな）う必要（ひつよう）があります。
  • Định lý kẹp cho phép xác định giới hạn của một dãy số bằng cách kẹp nó giữa hai dãy có cùng giới hạn.はさみ打（う）ちの定理（ていり）を用（もち）いることで、同（おな）じ極限（きょくげん）値（ち）をもつ2つの数列（すうれつ）で挟み込（はさみこ）んで極限（きょくげん）を決定（けってい）できます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

lim_{n -> ∞} (k a_{n}) = k α

Nhân một hằng số k với dãy số a_n có giới hạn α thì giới hạn của dãy số mới bằng k nhân α. Hằng số k có thể đưa ra ngoài dấu giới hạn.

収束（しゅうそく）する数列（すうれつ）a_nの定数（ていすう）k倍（ばい）の極限（きょくげん）は、a_nの極限（きょくげん）値（ち）αのk倍（ばい）になります。定数（ていすう）kは極限（きょくげん）の記号（きごう）の外（そと）に出（だ）すことができます。

lim_{n -> ∞} (a_{n} ± b_{n}) = α ± β

Giới hạn của tổng hoặc hiệu hai dãy số hội tụ bằng tổng hoặc hiệu các giới hạn của từng dãy. Quy tắc này giúp tách bài toán phức tạp thành các phần đơn giản.

収束（しゅうそく）する2つの数列（すうれつ）の和（わ）および差（さ）の極限（きょくげん）は、それぞれの極限（きょくげん）値（ち）の和（わ）および差（さ）に等（ひと）しくなります。複雑（ふくざつ）な式（しき）を単純（たんじゅん）な部分（ぶぶん）に分（わ）けて計算（けいさん）できます。

lim_{n -> ∞} (a_{n} b_{n}) = α β

Giới hạn của tích hai dãy số hội tụ bằng tích các giới hạn của hai dãy đó. Điều này cho phép tính giới hạn của từng nhân tử độc lập.

収束（しゅうそく）する2つの数列（すうれつ）の積（せき）の極限（きょくげん）は、それぞれの極限（きょくげん）値（ち）の積（せき）に等（ひと）しくなります。各（かく）因数（いんすう）の極限（きょくげん）を個別（こべつ）計算（けいさん）することが可能（かのう）です。

lim_{n -> ∞} (a_{n} / b_{n}) = α / β

Giới hạn của thương hai dãy số hội tụ bằng thương các giới hạn, với điều kiện giới hạn mẫu số β khác 0. Cần lưu ý kiểm tra giới hạn mẫu số trước khi chia.

収束（しゅうそく）する2つの数列（すうれつ）の商（しょう）の極限（きょくげん）は、それぞれの極限（きょくげん）値（ち）の商（しょう）に等（ひと）しくなります。ただし分母（ぶんぼ）の極限（きょくげん）値（ち）βは0ではない必要（ひつよう）があります。

EJU 2026 · MATH.18.1

Bài học này hướng dẫn các phương pháp tính giới hạn của dãy số thông qua các phép toán giới hạn và định lý kẹp. Bạn sẽ học cách xử lý dạng vô định để tìm giới hạn chính xác.

本課（ほんか）では、極限（きょくげん）の基本（きほん）性質（せいしつ）やはさみ打（う）ちの定理（ていり）を用（もち）いて数列（すうれつ）の極限（きょくげん）を求（もと）める方法（ほうほう）を解説（かいせつ）します。不（ふ）定形（ていけい）を解消（かいしょう）して正確（せいかく）な極限（きょくげん）値（ち）を求（もと）める手順（てじゅん）を学（まな）びます。

数列（すうれつ）の極限（きょくげん）の求（もと）め方（かた）
はさみ打ちの定理不定形