Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Giới hạn của dãy số数列（すうれつ）の極限（きょくげん）

Công thức公式

lim_{n -> ∞} a_{n} = α
lim_{n -> ∞} |a_{n} - α| = 0
lim_{n -> ∞} a_{n} = ∞
lim_{n -> ∞} a_{n} = -∞

Ví dụ例題

Cho dãy số a_{n} = 2 + \(\frac{1}{n}\) với n = 1, 2, 3, ... Hãy tính giới hạn của dãy số khi n tiến ra vô cùng và xác định dãy số hội tụ hay phân kỳ.

数列（すうれつ） a_{n} = 2 + \(\frac{1}{n}\)（n = 1, 2, 3, ...）が与（あた）えられています。n が無限（むげん）大（だい）に向（む）かうときの極限（きょくげん）を求（もと）め、収束（しゅうそく）か発散（はっさん）かを判定（はんてい）しなさい。

  1. Xét khoảng cách giữa a_{n} và số 2 thông qua biểu thức tuyệt đối |a_{n} - 2| = |(2 + \(\frac{1}{n}\)) - 2| = \(\frac{1}{n}\).絶対（ぜったい）値（ち）の式（しき）を用（もち）いて a_{n} と 2 の距離（きょり）を調（しら）べます：|a_{n} - 2| = |(2 + \(\frac{1}{n}\)) - 2| = \(\frac{1}{n}\)。
  2. Khi n tiến ra vô cùng, giá trị của \(\frac{1}{n}\) tiến sát về 0, do đó lim_{n -> ∞} |a_{n} - 2| = 0.n が無限（むげん）大（だい）に向（む）かうとき、\(\frac{1}{n}\) の値（あたい）は 0 に限（かぎ）りなく近（ちか）づくため、lim_{n -> ∞} |a_{n} - 2| = 0 となります。
  3. Do giới hạn của khoảng cách bằng 0, ta suy ra lim_{n -> ∞} a_{n} = 2.距離（きょり）の極限（きょくげん）が 0 であることから、lim_{n -> ∞} a_{n} = 2 であることが導（みちび）かれます。
Dãy số \(a_{n}\) hội tụ và có giá trị giới hạn là α = 2.したがって、数列（すうれつ） \(a_{n}\) は収束（しゅうそく）し、極限（きょくげん）値（ち）は α = 2 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho dãy số a_{n} = 5 - \(\frac{2}{n}\). Giới hạn lim_{n -> ∞} a_{n} bằng bao nhiêu và dãy số này có đặc tính gì?数列（すうれつ） a_{n} = 5 - \(\frac{2}{n}\) について、極限（きょくげん） lim_{n -> ∞} a_{n} の値（あたい）とその状態（じょうたい）として正（ただ）しいものはどれか。

2. Cho dãy số \(b_{n} = 3 n + 1\). Khẳng định nào sau đây mô tả đúng về giới hạn của dãy số \(b_{n}\)?数列（すうれつ） \(b_{n} = 3 n + 1\) について、極限（きょくげん）の記述（きじゅつ）として正（ただ）しいものはどれか。

3. Cho dãy số \(c_{n} = -2 n\). Phát biểu nào sau đây là đúng về giới hạn của dãy số \(c_{n}\)?数列（すうれつ） \(c_{n} = -2 n\) について、極限（きょくげん）に関（かん）する正（ただ）しい記述（きじゅつ）はどれか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.18.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.18.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu rõ khái niệm hội tụ và cách xác định giá trị giới hạn α của dãy số khi lim_{n -> ∞} a_{n} = α.数列（すうれつ）が収束（しゅうそく）する概念（がいねん）と、lim_{n -> ∞} a_{n} = α における極限（きょくげん）値（ち） α の特定（とくてい）方法（ほうほう）を理解（りかい）する。
  2. Sử dụng điều kiện khoảng cách lim_{n -> ∞} |a_{n} - α| = 0 để kiểm tra tính hội tụ của dãy số.距離（きょり）の条件（じょうけん） lim_{n -> ∞} |a_{n} - α| = 0 を用（もち）いて数列（すうれつ）の収束（しゅうそく）性（せい）を検証（けんしょう）する。
  3. Phân biệt dãy số hội tụ và dãy số phân kỳ, bao gồm phân kỳ ra dương vô cùng (lim_{n -> ∞} a_{n} = ∞) và âm vô cùng (lim_{n -> ∞} a_{n} = -∞).収束（しゅうそく）と発散（はっさん）（正（せい）の無限（むげん）大（だい）への発散（はっさん） lim_{n -> ∞} a_{n} = ∞ や負（ふ）の無限（むげん）大（だい）への発散（はっさん） lim_{n -> ∞} a_{n} = -∞）を正確（せいかく）に区別（くべつ）する。
Trực giác · イメージ

Xu hướng của dãy số khi n tăng lên vô hạnn が限（かぎ）りなく大（おお）きくなるときの数列（すうれつ）の挙動（きょどう）

Khi chỉ số n tăng lên rất lớn, các số hạng của dãy số có thể tiến gần đến một giá trị cố định hoặc tăng/giảm không ngừng. Nếu dãy số tiến sát đến một số thực α xác định, ta nói dãy số đó hội tụ về giá trị giới hạn α. Ngược lại, nếu dãy số tăng vượt mọi số dương hoặc giảm xuống dưới mọi số âm, dãy số đó sẽ phân kỳ.

数列（すうれつ）の項（こう）番号（ばんごう） n が非常（ひじょう）に大（おお）きくなるとき、各項（かくこう）は特定（とくてい）の定数（ていすう）に近（ちか）づくか、限（かぎ）りなく増減（ぞうげん）し続（つづ）けます。特定（とくてい）の定数（ていすう） α に限（かぎ）りなく近（ちか）づく場合（ばあい）、その数列（すうれつ）は極限（きょくげん）値（ち） α に収束（しゅうそく）すると言（い）います。逆（ぎゃく）に、正（せい）または負（ふ）の方向（ほうこう）に限（かぎ）りなく大（おお）きくなる場合（ばあい）、数列（すうれつ）は発散（はっさん）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 収束（しゅうそく）hội tụ

    Trạng thái của dãy số khi các số hạng tiến dần đến một giá trị hằng số cố định khi n tiến ra vô cùng.

    n が無限（むげん）大（だい）に向（む）かうとき、数列（すうれつ）の各項（かくこう）が特定（とくてい）の定数（ていすう）に限（かぎ）りなく近（ちか）づく状態（じょうたい）です。

  • 極限（きょくげん）値（ち）giá trị giới hạn

    Số thực α mà dãy số hội tụ về khi n tiến ra vô cùng.

    n が無限（むげん）大（だい）に向（む）かうときに数列（すうれつ）が収束（しゅうそく）する実数（じっすう） α のことです。

  • 極限（きょくげん）giới hạn

    Khái niệm mô tả xu hướng hành vi của giá trị số hạng \(a_{n}\) khi n tăng lên vô hạn.

    n を限（かぎ）りなく大（おお）きくしたときの数列（すうれつ） \(a_{n}\) の挙動（きょどう）を表（あらわ）す概念（がいねん）です。

  • 発散（はっさん）phân kỳ

    Trạng thái của dãy số khi không hội tụ về bất kỳ một giá trị hữu hạn nào.

    数列（すうれつ）が有限（ゆうげん）の極限（きょくげん）値（ち）に収束（しゅうそく）しない状態（じょうたい）のことです。

  • 正（せい）の無限（むげん）大（だい）に発散（はっさん）phân kỳ ra dương vô cùng

    Trạng thái khi các số hạng của dãy số tăng lớn hơn bất kỳ số dương nào khi n tiến ra vô cùng.

    n が無限（むげん）大（だい）に向（む）かうとき、数列（すうれつ）の項（こう）がどんな正（せい）の数（かず）よりも大（おお）きくなる状態（じょうたい）です。

  • 負（ふ）の無限（むげん）大（だい）に発散（はっさん）phân kỳ ra âm vô cùng

    Trạng thái khi các số hạng của dãy số giảm nhỏ hơn bất kỳ số âm nào khi n tiến ra vô cùng.

    n が無限（むげん）大（だい）に向（む）かうとき、数列（すうれつ）の項（こう）がどんな負（ふ）の数（かず）よりも小（ちい）さくなる状態（じょうたい）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：n の増加（ぞうか）に伴（ともな）う項（こう）の変化（へんか）を観察（かんさつ）する

    Bước 1: Quan sát sự thay đổi số hạng khi n tăng

    Liệt kê các số hạng đầu tiên của dãy số \(a_{n}\) để nhận biết xu hướng tăng, giảm hoặc tiến về một số cố định.

    数列（すうれつ） \(a_{n}\) の最初（さいしょ）の数（すう）項（こう）を列挙（れっきょ）し、増加（ぞうか）・減少（げんしょう）・または一定（いってい）値（ち）へ近（ちか）づく傾向（けいこう）を把握（はあく）します。

  2. 02
    ステップ2：n -> ∞ における \(a_{n}\) の式（しき）を解析（かいせき）する

    Bước 2: Phân tích biểu thức của \(a_{n}\) khi n -> ∞

    Biến đổi biểu thức \(a_{n}\) để đưa về các dạng giới hạn cơ bản khi n vô cùng lớn.

    n が非常（ひじょう）に大（おお）きいときの基本（きほん）的（てき）な極限（きょくげん）の形（かたち）に帰着（きちゃく）させるよう、\(a_{n}\) の式（しき）を変形（へんけい）します。

  3. 03
    ステップ3：差（さ）の絶対（ぜったい）値（ち） |\(a_{n}\) - α| を評価（ひょうか）する

    Bước 3: Đánh giá độ chênh lệch |\(a_{n}\) - α|

    Kiểm tra khoảng cách giữa a_{n} và giá trị nghi vấn α; nếu lim_{n -> ∞} |a_{n} - α| = 0 thì α là giá trị giới hạn.

    a_{n} と候補（こうほ）値（ち） α の距離（きょり）を検証（けんしょう）し、lim_{n -> ∞} |a_{n} - α| = 0 であれば α が極限（きょくげん）値（ち）となります。

  4. 04
    ステップ4：収束（しゅうそく）または発散（はっさん）の結論（けつろん）を出（だ）す

    Bước 4: Kết luận tính hội tụ hoặc phân kỳ

    Nếu kết quả là số thực α thì dãy hội tụ; nếu giá trị tiến ra ±∞ hoặc dao động thì dãy phân kỳ.

    結果（けっか）が実数（じっすう） α であれば収束（しゅうそく）、±∞ に向（む）かう場合（ばあい）や振動（しんどう）する場合（ばあい）は発散（はっさん）と結論（けつろん）付（つ）けます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Coi dương vô cùng (∞) hoặc âm vô cùng (-∞) là một giá trị giới hạn α thực sự để kết luận dãy số hội tụ.正（せい）の無限（むげん）大（だい） (∞) や負（ふ）の無限（むげん）大（だい） (-∞) を実数（じっすう）の極限（きょくげん）値（ち） α と見（み）なし、数列（すうれつ）が収束（しゅうそく）すると判定（はんてい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Dương vô cùng và âm vô cùng biểu thị trạng thái phân kỳ của dãy số, không phải là một số thực α để coi là dãy hội tụ.無限（むげん）大（だい）は数列（すうれつ）の発散（はっさん）状態（じょうたい）を表（あらわ）すものであり、収束（しゅうそく）の定義（ていぎ）となる実数（じっすう） α ではありません。

Giả định rằng mọi dãy số có các số hạng tăng dần đều phải phân kỳ ra dương vô cùng.各項（かくこう）が増加（ぞうか）する数列（すうれつ）はすべて正（せい）の無限（むげん）大（だい）に発散（はっさん）すると決（き）めつけること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Một dãy số có thể tăng dần nhưng bị chặn trên bởi một hằng số và vẫn hội tụ về một giá trị giới hạn hữu hạn.数列（すうれつ）が増加（ぞうか）していても、ある定数（ていすう）で上（うえ）に有界（ゆうかい）であれば有限（ゆうげん）の極限（きょくげん）値（ち）に収束（しゅうそく）することがあります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Dãy số hội tụ về giá trị giới hạn α khi các số hạng tiến gần đến α, tức là lim_{n -> ∞} |a_{n} - α| = 0.数列（すうれつ）の各項（かくこう）が α に近（ちか）づくとき、数列（すうれつ）は極限（きょくげん）値（ち） α に収束（しゅうそく）します（lim_{n -> ∞} |a_{n} - α| = 0）。
  • Dãy số phân kỳ khi không có giá trị giới hạn hữu hạn, bao gồm phân kỳ ra dương vô cùng (lim_{n -> ∞} a_{n} = ∞) hoặc âm vô cùng (lim_{n -> ∞} a_{n} = -∞).有限（ゆうげん）の極限（きょくげん）値（ち）を持（も）たないとき数列（すうれつ）は発散（はっさん）し、正（せい）の無限（むげん）大（だい）（lim_{n -> ∞} a_{n} = ∞）や負（ふ）の無限（むげん）大（だい）（lim_{n -> ∞} a_{n} = -∞）への発散（はっさん）を含（ふく）みます。
  • Phân biệt rõ giữa sự hội tụ (tiến về số thực α) và sự phân kỳ (tiến về vô cùng hoặc không ổn định).収束（しゅうそく）（実数（じっすう） α に近（ちか）づく）と発散（はっさん）（無限（むげん）大（だい）に向（む）かう、または不（ふ）安定（あんてい））を明確（めいかく）に区別（くべつ）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

lim_{n -> ∞} a_{n} = α

Công thức biểu diễn dãy số \(a_{n}\) có giới hạn là α khi n tiến ra vô cùng.

n が無限（むげん）大（だい）に向（む）かうとき、数列（すうれつ） \(a_{n}\) の極限（きょくげん）値（ち）が α であることを示（しめ）す公式（こうしき）です。

lim_{n -> ∞} |a_{n} - α| = 0

Công thức định nghĩa sự hội tụ qua khoảng cách giữa số hạng \(a_{n}\) và giá trị α tiến về 0.

数列（すうれつ） \(a_{n}\) と α の距離（きょり）が 0 に近（ちか）づくことで収束（しゅうそく）を定義（ていぎ）する公式（こうしき）です。

lim_{n -> ∞} a_{n} = ∞

Công thức biểu diễn dãy số \(a_{n}\) phân kỳ ra dương vô cùng khi n tăng lên vô hạn.

n が無限（むげん）大（だい）に向（む）かうとき、数列（すうれつ） \(a_{n}\) が正（せい）の無限（むげん）大（だい）に発散（はっさん）することを示（しめ）す公式（こうしき）です。

lim_{n -> ∞} a_{n} = -∞

Công thức biểu diễn dãy số \(a_{n}\) phân kỳ ra âm vô cùng khi n tăng lên vô hạn.

n が無限（むげん）大（だい）に向（む）かうとき、数列（すうれつ） \(a_{n}\) が負（ふ）の無限（むげん）大（だい）に発散（はっさん）することを示（しめ）す公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.18.1

Bài học này giới thiệu khái niệm giới hạn của dãy số khi n tiến ra vô cùng, bao gồm sự hội tụ và sự phân kỳ. Bạn sẽ học cách xác định giá trị giới hạn cũng như nhận biết các trường hợp dãy số tiến ra vô cùng.

この課（か）では、n が無限（むげん）大（だい）に向（む）かうときの数列（すうれつ）の極限（きょくげん）（収束（しゅうそく）と発散（はっさん））について学（まな）びます。極限（きょくげん）値（ち）の特定（とくてい）方法（ほうほう）や、数列（すうれつ）が無限（むげん）大（だい）に発散（はっさん）するケースの識別（しきべつ）方法（ほうほう）を習得（しゅうとく）します。

数列（すうれつ）の極限（きょくげん）
収束極限値極限発散