Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Giới hạn của dãy số nhân等比（とうひ）数列（すうれつ）の極限（きょくげん）

Công thức公式

lim_{n -> ∞} r^{n} = ∞ (r > 1)
lim_{n -> ∞} r^{n} = 1 (r = 1)
lim_{n -> ∞} r^{n} = 0 (|r| < 1)
-1 < r ≤ 1

Ví dụ例題

Tính giới hạn của dãy số \(a_{n} = (3^{n} - 2^{n}) / (3^{n} + 2^{n})\) khi n -> ∞.

n -> ∞ のとき、数列（すうれつ） \(a_{n} = (3^{n} - 2^{n}) / (3^{n} + 2^{n})\) の極限（きょくげん）を求（もと）めよ。

  1. Chia cả tử và mẫu cho \(3^{n}\) (cơ số lớn nhất): \(a_{n} = (1 - (2 / 3)^{n}) / (1 + (2 / 3)^{n})\).分子（ぶんし）と分母（ぶんぼ）を最（もっと）も底（そこ）が大（おお）きい\(3^{n}\)で割（われ）る: \(a_{n} = (1 - (2 / 3)^{n}) / (1 + (2 / 3)^{n})\)。
  2. Vì r = 2/3 thỏa mãn |2/3| < 1, ta có lim_{n -> ∞} (2/3)^n = 0.公比（こうひ） r = 2/3 は |2/3| < 1 を満（み）たすため、lim_{n -> ∞} (2/3)^n = 0 となる。
  3. Do đó, giới hạn là lim_{n -> ∞} a_n = (1 - 0) / (1 + 0) = 1.したがって、極限（きょくげん）値（ち）は lim_{n -> ∞} a_n = (1 - 0) / (1 + 0) = 1 となる。
Vậy giới hạn của dãy số bằng 1.したがって、この数列（すうれつ）の極限（きょくげん）値（ち）は 1 である。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tìm tất cả các giá trị của r để dãy số nhân \(r^{n}\) hội tụ.等比（とうひ）数列（すうれつ） \(r^{n}\) が収束（しゅうそく）するような r の値（あたい）の範囲（はんい）を求（もと）めよ。

2. Tính giới hạn lim_{n -> ∞} (1/2)^n.極限（きょくげん） lim_{n -> ∞} (1/2)^n の値（あたい）を求（もと）めよ。

3. Tính giới hạn lim_{n -> ∞} (4^n + 1) / (4^n).極限（きょくげん） lim_{n -> ∞} (4^n + 1) / (4^n) の値（あたい）を求（もと）めよ。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.18.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.18.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Xác định giới hạn của dãy số nhân \(r^{n}\) với các giá trị khác nhau của công bội r.公比（こうひ）rの値（あたい）に応（おう）じた等比（とうひ）数列（すうれつ）\(r^{n}\)の極限（きょくげん）を判定（はんてい）できるようになる。
  2. Nắm vững điều kiện hội tụ của dãy số nhân \(r^{n}\) là -1 < r <= 1.等比（とうひ）数列（すうれつ）\(r^{n}\)の収束（しゅうそく）条件（じょうけん）が -1 < r <= 1 であることを理解（りかい）する。
  3. Hiểu vai trò của bất đẳng thức Bernoulli và định lý nhị thức trong việc chứng minh giới hạn.極限（きょくげん）の証明（しょうめい）におけるベルヌーイの不（ふ）等式（とうしき）や二項定理（にこうていり）の役割（やくわり）を理解（りかい）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về giới hạn của dãy số nhân等比（とうひ）数列（すうれつ）の極限（きょくげん）に関（かん）する直感（ちょっかん）

Khi nhân một số r với chính nó nhiều lần, nếu |r| < 1 thì giá trị sẽ ngày càng nhỏ và tiến về 0. Ngược lại, nếu r > 1 thì giá trị sẽ tăng rất nhanh và tiến tới vô cực.

数（すう）rを何（なん）度（ど）も掛け合（かけあ）わせるとき、|r| < 1であれば値（あたい）は次第（しだい）に小（ちい）さくなり0に近（ちか）づきます。一方（いっぽう）、r > 1であれば値（あたい）は急激（きゅうげき）に大（おお）きくなり無限（むげん）大（だい）に発散（はっさん）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 等比（とうひ）数列（すうれつ）dãy số nhân

    Dãy số nhân là dãy số mà tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp luôn không đổi, gọi là công bội r. Dạng tổng quát của dãy số nhân đơn giản là \(r^{n}\).

    等比（とうひ）数列（すうれつ）とは、隣り合（となりあ）う項（こう）の比（ひ）が常（つね）に一定（いってい）（公比（こうひ）r）である数列（すうれつ）です。最（もっと）も基本（きほん）的（てき）な形（かたち）は\(r^{n}\)で表（あらわ）されます。

  • 収束（しゅうそく）条件（じょうけん）điều kiện hội tụ

    Điều kiện hội tụ của dãy số nhân \(r^{n}\) là công bội r thỏa mãn -1 < r <= 1. Khi r = 1 giới hạn bằng 1, và khi |r| < 1 giới hạn bằng 0.

    等比（とうひ）数列（すうれつ）\(r^{n}\)が収束（しゅうそく）するための条件（じょうけん）は、公比（こうひ）rが -1 < r <= 1 を満（み）たすことです。r = 1のとき極限（きょくげん）値（ち）は1、|r| < 1のとき極限（きょくげん）値（ち）は0となります。

  • ベルヌーイの不（ふ）等式（とうしき）bất đẳng thức Bernoulli

    Bất đẳng thức Bernoulli phát biểu rằng \((1 + h)^{n} \ge 1 + nh\) với h > 0 và n là số nguyên dương. Bất đẳng thức này giúp đánh giá lũy thừa khi chứng minh \(r^{n}\) tiến tới vô cực với r > 1.

    ベルヌーイの不（ふ）等式（とうしき）は、h > 0 かつ 正（せい）の整数（せいすう）n に対（たい）して \((1 + h)^{n} \ge 1 + nh\) が成り立（なりた）つという不（ふ）等式（とうしき）です。r > 1 のとき \(r^{n}\) が無限（むげん）大（だい）に発散（はっさん）することを証明（しょうめい）するのに役立（やくだ）ちます。

  • 二項定理（にこうていり）định lý nhị thức

    Định lý nhị thức khai triển biểu thức \((1 + h)^{n}\) thành tổng các số hạng chứa hệ số tổ hợp. Đây là cơ sở để chứng minh các bất đẳng thức phục vụ việc tính giới hạn.

    二項定理（にこうていり）は、\((1 + h)^{n}\) を組合（くみあわ）せ記号（きごう）を含（ふく）む項（こう）の和（わ）に展開（てんかい）する定理（ていり）です。極限（きょくげん）の計算（けいさん）に必要（ひつよう）な不（ふ）等式（とうしき）を証明（しょうめい）する基礎（きそ）となります。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 等比（とうひ）数列（すうれつ）の公比（こうひ）rを特定（とくてい）する

    Bước 1: Xác định công bội r của dãy số nhân

    Quan sát biểu thức dãy số để tìm giá trị của công bội r. Xác định r thuộc phạm vi nào trong các trường hợp r > 1, r = 1, |r| < 1 hoặc r <= -1.

    数列（すうれつ）の式（しき）から公比（こうひ）rの値（あたい）を読み取（よみと）ります。rが r > 1、r = 1、|r| < 1、r <= -1 のどの範囲（はんい）にあるかを判定（はんてい）します。

  2. 02
    ステップ2: 収束（しゅうそく）条件（じょうけん）との照合（しょうごう）

    Bước 2: Đối chiếu với điều kiện hội tụ

    Kiểm tra xem r có thỏa mãn điều kiện hội tụ -1 < r <= 1 hay không. Nếu thỏa mãn, xác định giá trị giới hạn tương ứng là 0 hoặc 1.

    rが収束（しゅうそく）条件（じょうけん） -1 < r <= 1 を満（み）たしているかを確認（かくにん）します。満（み）たす場合（ばあい）、対応（たいおう）する極限（きょくげん）値（ち）が0または1になるかを判断（はんだん）します。

  3. 03
    ステップ3: 複雑（ふくざつ）な等比（とうひ）数列（すうれつ）を含（ふく）む式（しき）の変形（へんけい）

    Bước 3: Biến đổi biểu thức chứa dãy số nhân phức tạp

    Với phân thức chứa lũy thừa, chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất. Sau đó áp dụng kết quả lim r^n = 0 với |r| < 1 để tìm giới hạn.

    累乗（るいじょう）を含（ふく）む分数（ぶんすう）式（しき）では、分母（ぶんぼ）・分子（ぶんし）を底（そこ）の絶対（ぜったい）値（ち）が最（もっと）も大（おお）きい項（こう）で割（わ）ります。その後（あと）、|r| < 1 のとき lim r^n = 0 となる性質（せいしつ）を適用（てきよう）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Cho rằng dãy số nhân \(r^{n}\) hội tụ khi r = -1.r = -1 のときも等比（とうひ）数列（すうれつ） \(r^{n}\) が収束（しゅうそく）すると誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi r = -1, dãy \(r^{n}\) dao động giữa -1 và 1 nên không hội tụ. Điều kiện hội tụ đúng phải là -1 < r <= 1.r = -1 のとき、数列（すうれつ） \(r^{n}\) は -1 と 1 の間（あいだ）を振動（しんどう）するため収束（しゅうそく）しません。正（ただ）しい収束（しゅうそく）条件（じょうけん）は -1 < r <= 1 です。

Tính giới hạn của phân thức lũy thừa bằng cách chia cho cơ số nhỏ hơn thay vì cơ số lớn nhất.累乗（るいじょう）を含（ふく）む分数（ぶんすう）の極限（きょくげん）計算（けいさん）において、最（もっと）も大（おお）きい底（そこ）ではなく小（ちい）さい底（そこ）で割（わ）ってしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Phải chia cho lũy thừa có cơ số tuyệt đối lớn nhất để tạo ra các cơ số r thỏa mãn |r| < 1, giúp lim r^n = 0.絶対（ぜったい）値（ち）が最大（さいだい）の底（そこ）の累乗（るいじょう）で割（わ）ることで、|r| < 1 となる項（こう）を作り出（つくりだ）し、lim r^n = 0 を利用（りよう）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Dãy số nhân r^n hội tụ khi và chỉ khi -1 < r <= 1, trong đó lim r^n = 0 nếu |r| < 1 và lim r^n = 1 nếu r = 1.等比（とうひ）数列（すうれつ） r^n は -1 < r <= 1 のときに限（かぎ）り収束（しゅうそく）し、|r| < 1 ならば lim r^n = 0、r = 1 ならば lim r^n = 1 となります。
  • Khi r > 1 dãy số \(r^{n}\) tiến ra +∞, còn khi r <= -1 dãy số dao động phân kỳ.r > 1 のとき \(r^{n}\) は +∞ に発散（はっさん）し、r <= -1 のとき数列（すうれつ）は振動（しんどう）して発散（はっさん）します。
  • Bất đẳng thức Bernoulli và định lý nhị thức là các công cụ toán học quan trọng dùng để đánh giá và chứng minh giới hạn của dãy số nhân.ベルヌーイの不（ふ）等式（とうしき）や二項定理（にこうていり）は、等比（とうひ）数列（すうれつ）の極限（きょくげん）を評価（ひょうか）・証明（しょうめい）するための重要（じゅうよう）な数学（すうがく）的（てき）ツールです。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

lim_{n -> ∞} r^{n} = ∞ (r > 1)

Khi công bội r lớn hơn 1, lũy thừa \(r^{n}\) tăng vô hạn khi n tiến ra vô cực. Dãy số phân kỳ tiến tới dương vô cực.

公比（こうひ）rが1より大（おお）きいとき、nが無限（むげん）大（だい）に向（む）かうにつれて\(r^{n}\)は限（かぎ）りなく大（おお）きくなります。数列（すうれつ）は正（せい）の無限（むげん）大（だい）に発散（はっさん）します。

lim_{n -> ∞} r^{n} = 1 (r = 1)

Khi công bội r = 1, mọi số hạng \(r^{n}\) đều bằng 1. Giới hạn của dãy số bằng 1.

公比（こうひ）rが1のとき、すべての項（こう）\(r^{n}\)は1となります。したがって数列（すうれつ）の極限（きょくげん）値（ち）は1です。

lim_{n -> ∞} r^{n} = 0 (|r| < 1)

Khi giá trị tuyệt đối của công bội r nhỏ hơn 1, lũy thừa \(r^{n}\) tiến dần về 0 khi n tiến ra vô cực.

公比（こうひ）rの絶対（ぜったい）値（ち）が1より小（ちい）さいとき、nが無限（むげん）大（だい）に向（む）かうにつれて\(r^{n}\)は0に近（ちか）づきます。

-1 < r ≤ 1

Tập hợp các giá trị của r để dãy số nhân \(r^{n}\) hội tụ. Ngoài khoảng này, dãy số sẽ phân kỳ.

等比（とうひ）数列（すうれつ）\(r^{n}\)が収束（しゅうそく）するrの値（あたい）の範囲（はんい）です。この範囲（はんい）外（がい）では数列（すうれつ）は発散（はっさん）します。

EJU 2026 · MATH.18.1

Bài học này tìm hiểu về giới hạn của dãy số nhân \(r^{n}\) phụ thuộc vào công bội r. Bạn sẽ nắm vững điều kiện hội tụ và cách áp dụng bất đẳng thức Bernoulli hoặc định lý nhị thức trong chứng minh.

本課（ほんか）では、公比（こうひ）rに依存（いぞん）する等比（とうひ）数列（すうれつ）\(r^{n}\)の極限（きょくげん）について学（まな）びます。収束（しゅうそく）条件（じょうけん）や、証明（しょうめい）に用（もち）いられるベルヌーイの不（ふ）等式（とうしき）・二項定理（にこうていり）の活用（かつよう）法（ほう）を習得（しゅうとく）します。

等比（とうひ）数列（すうれつ）の極限（きょくげん）
等比数列収束条件ベルヌーイの不等式二項定理