Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Chứng minh hình học trên mặt phẳng số phức bằng vectorベクトルを用（もち）いた複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）の図形（ずけい）証明（しょうめい）

Công thức公式

\vec{AM} \cdot \vec{BC} = 0

Ví dụ例題

Cho hình vuông ABCD trên mặt phẳng số phức và M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh \(\vec{AM}\cdot\vec{BC}=0\).

複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）に正（せい）方形（ほうけい）ABCDがあり、Mを辺（へん）ABの中点（ちゅうてん）とする。\(\vec{AM}\cdot\vec{BC}=0\) を示（しめ）せ。

  1. Vì M là trung điểm AB nên \(\vec{AM}=\frac12\vec{AB}\).MはABの中点（ちゅうてん）なので、\(\vec{AM}=\frac12\vec{AB}\) である。
  2. Hai cạnh kề của hình vuông vuông góc nên \(\vec{AB}\cdot\vec{BC}=0\).正（せい）方形（ほうけい）の隣り合（となりあ）う辺（へん）は垂直（すいちょく）だから、\(\vec{AB}\cdot\vec{BC}=0\) である。
  3. Do đó \(\vec{AM}\cdot\vec{BC}=\frac12(\vec{AB}\cdot\vec{BC})=0\).したがって、\(\vec{AM}\cdot\vec{BC}=\frac12(\vec{AB}\cdot\vec{BC})=0\) である。
Vậy AM vuông góc với BC.よって AM と BC は垂直（すいちょく）である。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Trong mặt phẳng số phức, điều kiện nào sau đây đảm bảo vector AM vuông góc với vector BC (với A, M, B, C là các điểm phân biệt)?複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）において、相異（そうい）なる点（てん）A, M, B, Cに対（たい）してベクトルAMがベクトルBCと垂直（すいちょく）であるための条件（じょうけん）はどれですか。

2. Trong hình vuông ABCD, M là trung điểm của AB. Kết luận nào đúng về hai đường thẳng AM và BC?正（せい）方形（ほうけい）ABCDでMを辺（へん）ABの中点（ちゅうてん）とする。このとき2直線（ちょくせん）AMとBCについて正（ただ）しい結論（けつろん）はどれか。

3. Cho hai vector \(\vec{AM}\) và \(\vec{BC}\) trên mặt phẳng số phức. Nếu \(\vec{AM}\) \(\cdot\) \(\vec{BC}\) = 0 và cả hai vector đều khác vector không, khẳng định nào sau đây sai?複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の2つのベクトル \(\vec{AM}\) と \(\vec{BC}\) について、\(\vec{AM}\) \(\cdot\) \(\vec{BC}\) = 0 であり両方（りょうほう）が零（れい）ベクトルでないとき、誤（あやま）っている主張（しゅちょう）はどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.1 · MATH.15.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.1 · MATH.15.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu cách chuyển biểu diễn hình học trên mặt phẳng số phức sang dạng vector.複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の図形（ずけい）表現（ひょうげん）をベクトル表現（ひょうげん）へ変換（へんかん）する方法（ほうほう）を理解（りかい）する。
  2. Sử dụng điều kiện tích vô hướng bằng 0 để chứng minh hai đường thẳng vuông góc.内積（ないせき）が0になる条件（じょうけん）を用（もち）いて2直線（ちょくせん）の垂直（すいちょく）関係（かんけい）を証明（しょうめい）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về mối quan hệ giữa vector và hình học số phứcベクトルと複素（ふくそ）数（すう）図形（ずけい）の関係（かんけい）に関（かん）する直感（ちょっかん）

Mặt phẳng số phức cho phép biểu diễn điểm bằng số phức và hướng chuyển động bằng vector. Khi hai vector vuông góc với nhau, tích vô hướng của chúng bằng 0, giúp việc chứng minh vuông góc trở nên đơn giản.

複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）では点（てん）を複素（ふくそ）数（すう）で、移動（いどう）の向（む）きをベクトルで表（あらわ）すことができます。2つのベクトルが垂直（すいちょく）であるとき、それらの内積（ないせき）は0になるため、垂直（すいちょく）の証明（しょうめい）が非常（ひじょう）に簡単（かんたん）になります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • ベクトルvector

    Vector là đại lượng có cả độ dài và hướng, dùng để diễn tả các đoạn thẳng hướng trên mặt phẳng số phức.

    ベクトルは大（おお）きさと向（む）きを持（も）つ量（りょう）であり、複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の向（む）き付（つ）き線分（せんぶん）を表（あらわ）すために用（もち）いられます。

  • 垂直（すいちょく）vuông góc

    Hai đường thẳng hoặc hai vector vuông góc với nhau khi góc giữa chúng bằng 90 độ, tương ứng với tích vô hướng bằng 0.

    2つの直線（ちょくせん）またはベクトルが垂直（すいちょく）であるとは、それらのなす角（かく）が90度（ど）であり、内積（ないせき）が0になることを意味（いみ）します。

  • 正（せい）方形（ほうけい）hình vuông

    Hình vuông là tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc vuông, các đường nối trung điểm hoặc đỉnh có tính chất vuông góc đặc biệt.

    正（せい）方形（ほうけい）は4つの辺（へん）が等（ひと）しく4つの角（かど）が直角（ちょっかく）である四角形（しかくけい）であり、中線（ちゅうせん）や頂点（ちょうてん）を結（むす）ぶ線分（せんぶん）に特別（とくべつ）な垂直（すいちょく）性質（せいしつ）があります。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 各点（かくてん）をベクトルで表現（ひょうげん）する

    Bước 1: Biểu diễn các điểm dưới dạng vector

    Xác định các điểm A, B, C, M trên mặt phẳng số phức và biểu diễn các đoạn thẳng dưới dạng vector. Việc này chuyển bài toán hình học sang đại số vector.

    複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の点（てん）A、B、C、Mを確認（かくにん）し、線分（せんぶん）をベクトルとして表現（ひょうげん）します。これにより図形（ずけい）問題（もんだい）がベクトルの代数（だいすう）処理（しょり）に変換（へんかん）されます。

  2. 02
    ステップ2: 2つのベクトルの内積（ないせき）を計算（けいさん）する

    Bước 2: Tính tích vô hướng của hai vector

    Tính tích vô hướng của hai vector cần chứng minh vuông góc. Phép tính này dựa trên góc và độ dài hoặc tọa độ vector.

    垂直（すいちょく）を証明（しょうめい）したい2つのベクトルの内積（ないせき）を計算（けいさん）します。この計算（けいさん）はベクトルの角度（かくど）と大（おお）きさまたは成分（せいぶん）に基（もと）づいて行（おこな）います。

  3. 03
    ステップ3: 垂直（すいちょく）関係（かんけい）を結論（けつろん）付（つ）ける

    Bước 3: Kết luận quan hệ vuông góc

    Nếu tích vô hướng bằng 0, ta kết luận hai vector vuông góc với nhau. Từ đó suy ra hai đường thẳng tương ứng vuông góc.

    内積（ないせき）が0になれば、2つのベクトルは垂直（すいちょく）であると結論（けつろん）付（つ）けられます。ここから対応（たいおう）する2直線（ちょくせん）の垂直（すいちょく）関係（かんけい）が導（みちび）かれます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn rằng tích vô hướng bằng 0 có nghĩa là ít nhất một trong hai vector có độ dài bằng 0.内積（ないせき）が0であることは、少（すく）なくとも一方（いっぽう）のベクトルの大（おお）きさが0であることを意味（いみ）すると誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Hai vector khác vector không vẫn có tích vô hướng bằng 0 khi và chỉ khi chúng vuông góc với nhau.両方（りょうほう）が零（れい）ベクトルでない2つのベクトルでも、それらが垂直（すいちょく）である場合（ばあい）に内積（ないせき）は0になります。

Quên kiểm tra điều kiện các vector phải khác vector không trước khi kết luận hai đường thẳng vuông góc.2直線（ちょくせん）の垂直（すいちょく）を結論（けつろん）付（つ）ける前（まえ）に、ベクトルが零（れい）ベクトルでないことの確認（かくにん）を忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Chỉ khi hai vector đều khác vector không thì tích vô hướng bằng 0 mới khẳng định hai đường thẳng vuông góc.両方（りょうほう）のベクトルが零（れい）ベクトルでない場合（ばあい）に限（かぎ）り、内積（ないせき）が0であることから直線（ちょくせん）の垂直（すいちょく）関係（かんけい）が導（みちび）かれます。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Vector giúp đại số hóa các quan hệ hình học trên mặt phẳng số phức.ベクトルを用（もち）いることで、複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の図形（ずけい）関係（かんけい）を代数（だいすう）的（てき）に扱（あつか）うことができます。
  • Điều kiện hai vector vuông góc với nhau là tích vô hướng của chúng bằng 0.2つのベクトルが垂直（すいちょく）であるための条件（じょうけん）は、それらの内積（ないせき）が0になることです。
  • Đẳng thức \(\vec{AM}\) \(\cdot\) \(\vec{BC}\) = 0 là công thức cốt lõi để chứng minh quan hệ vuông góc.等式（とうしき） \(\vec{AM}\) \(\cdot\) \(\vec{BC}\) = 0 は、垂直（すいちょく）関係（かんけい）を証明（しょうめい）するための核（かく）となる公式（こうしき）です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\vec{AM} \cdot \vec{BC} = 0

Đẳng thức thể hiện tích vô hướng của vector AM và vector BC bằng 0, chứng tỏ đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BC.

ベクトルAMとベクトルBCの内積（ないせき）が0であることを示（しめ）す等式（とうしき）であり、直線（ちょくせん）AMと直線（ちょくせん）BCが垂直（すいちょく）であることを証明（しょうめい）します。

EJU 2026 · MATH.14.1 · MATH.15.3

Bài học giúp học sinh sử dụng phương pháp vector để chứng minh tính chất vuông góc trên mặt phẳng số phức. Thông qua tích vô hướng của hai vector, ta dễ dàng xác định quan hệ giữa các đoạn thẳng trong hình vuông.

本課（ほんか）では、複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の図形（ずけい）においてベクトルを用（もち）いて垂直（すいちょく）関係（かんけい）を証明（しょうめい）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。2つのベクトルの内積（ないせき）を利用（りよう）することで、正（せい）方形（ほうけい）などの図形（ずけい）における線分（せんぶん）の関係（かんけい）を簡単（かんたん）に判定（はんてい）できます。

ベクトルを用（もち）いた複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）の図形（ずけい）証明（しょうめい）
ベクトル垂直正方形