Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Dãy số phức có công thức truy hồi là phân thức分数（ぶんすう）式（しき）を漸化（ぜんか）式（しき）とする複素（ふくそ）数列（すうれつ）

Công thức公式

a_1 = i, a_{n+1} = 1 + \frac{1}{a_n}
\left| z - \frac{1}{2} \right| = \frac{\sqrt{5}}{2}
w = f(z) = 1 + \frac{1}{z}
|w-3| = \sqrt{5}|w-1|

Ví dụ例題

Cho \(a_{1} = i\) và công thức truy hồi \(a_{n + 1} = 1 + 1 / a_{n}\). Hãy tính giá trị của \(a_{2}\) và kiểm tra xem \(a_{2}\) có thuộc đường tròn |z - 1/2| = \(\sqrt{5} / 2\) hay không.

\(a_{1} = i\) および漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 1} = 1 + 1 / a_{n}\) が与（あた）えられている。\(a_{2}\) の値（あたい）を計算（けいさん）し、\(a_{2}\) が円（えん） |z - 1/2| = \(\sqrt{5} / 2\) 上（うえ）にあるか検証（けんしょう）せよ。

  1. Bước 1: Tính \(a_{2}\): ta có \(a_{2} = 1 + 1 / i\). Vì 1/i = -i, suy ra \(a_{2} = 1 - i\).ステップ1：\(a_{2}\) の計算（けいさん）：\(a_{2} = 1 + 1 / i\) となります。1/i = -i なので、\(a_{2} = 1 - i\) です。
  2. Bước 2: Tính |\(a_{2} - 1 / 2\)|: thế \(a_{2}\) vào ta được |1 - i - 1/2| = |1/2 - i|.ステップ2：|\(a_{2} - 1 / 2\)| の計算（けいさん）：\(a_{2}\) を代入（だいにゅう）すると |1 - i - 1/2| = |1/2 - i| となります。
  3. Bước 3: Tính độ dài: |1/2 - i| = \(\sqrt{(1 / 2)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{1 / 4 + 1} = \sqrt{5} / 2\).ステップ3：絶対（ぜったい）値（ち）の計算（けいさん）：|1/2 - i| = \(\sqrt{(1 / 2)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{1 / 4 + 1} = \sqrt{5} / 2\) となります。
Vậy \(a_{2} = 1 - i\) và điểm \(a_{2}\) nằm chính xác trên đường tròn |z - 1/2| = \(\sqrt{5} / 2\).したがって \(a_{2} = 1 - i\) であり、点（てん） \(a_{2}\) は確（たし）かに円（えん） |z - 1/2| = \(\sqrt{5} / 2\) 上（うえ）に存在（そんざい）します。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Với \(a_{1} = i\) và \(a_{n + 1} = 1 + 1 / a_{n}\), số hạng \(a_{2}\) bằng số phức nào sau đây?\(a_{1} = i\) かつ \(a_{n + 1} = 1 + 1 / a_{n}\) のとき、第（だい）2項（こう） \(a_{2}\) は次（つぎ）のうちどの複素（ふくそ）数（すう）ですか。

2. Khoảng cách từ \(z = a_{1} = i\) đến điểm 1/2 trên mặt phẳng số phức bằng bao nhiêu?複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）における \(z = a_{1} = i\) から点（てん） 1/2 までの距離（きょり）はいくらですか。

3. Nếu điểm z thỏa mãn |z - 1/2| = \(\sqrt{5} / 2\) và w = 1 + 1/z, hệ thức nào giữa |w-3| và |w-1| là đúng?点（てん）zが |z - 1/2| = \(\sqrt{5} / 2\) を満（み）たし、w = 1 + 1/z のとき、|w-3| と |w-1| の関係（かんけい）式（しき）として正（ただ）しいものはどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.12.2 · MATH.15.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.12.2 · MATH.15.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Tính các số hạng của dãy số phức từ công thức truy hồi phân thức.分数（ぶんすう）型（がた）の漸化（ぜんか）式（しき）から複素（ふくそ）数列（すうれつ）の各項（かくこう）を計算（けいさん）する。
  2. Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh các số hạng thuộc một đường tròn.数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）を用（もち）いて各項（かくこう）が円上（えんじょう）にあることを証明（しょうめい）する。
  3. Hiểu phép biến hình w = f(z) = 1 + 1/z và mối liên hệ |w-3| = \(\sqrt{5}\)|w-1|.変換（へんかん） w = f(z) = 1 + 1/z と関係（かんけい）式（しき） |w-3| = \(\sqrt{5}\)|w-1| を理解（りかい）する。
Trực giác · イメージ

Quỹ tích hình học của dãy số phức nghịch đảo逆数（ぎゃくすう）を含（ふく）む複素（ふくそ）数列（すうれつ）の幾何（きか）学（がく）的（てき）軌跡（きせき）

Khi một dãy số phức được tạo bởi phép biến đổi phân thức, tập hợp các điểm biểu diễn các số hạng có thể nằm trên một đường tròn cố định. Phép biến đổi w = 1 + 1/z biến đường tròn này thành một quỹ tích hình học có quan hệ khoảng cách đặc trưng trên mặt phẳng số phức.

複素（ふくそ）数列（すうれつ）が分数（ぶんすう）変換（へんかん）によって生成（せいせい）されるとき、各項（かくこう）を表（あらわ）す点（てん）の集合（しゅうごう）は固定（こてい）された円上（えんじょう）に存在（そんざい）することがあります。変換（へんかん） w = 1 + 1/z はこの円（えん）を、複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の特徴（とくちょう）的（てき）な距離（きょり）関係（かんけい）を持（も）つ幾何（きか）学（がく）的（てき）軌跡（きせき）へ写（うつ）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）mặt phẳng số phức

    Mặt phẳng tọa độ dùng để biểu diễn các số phức với trục thực và trục ảo.

    実（じつ）軸（じく）と虚（きょ）軸（じく）を用（もち）いて複素（ふくそ）数（すう）を表示（ひょうじ）する座標（ざひょう）平面（へいめん）。

  • 漸化（ぜんか）式（しき）công thức truy hồi

    Công thức xác định một số hạng của dãy số dựa vào các số hạng đứng trước nó.

    数列（すうれつ）の前項（ぜんこう）を用（もち）いて各項（かくこう）を定義（ていぎ）する公式（こうしき）。

  • 複素（ふくそ）数列（すうれつ）dãy số phức

    Dãy số mà mỗi số hạng là một số phức.

    各項（かくこう）が複素（ふくそ）数（すう）である数列（すうれつ）。

  • 数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）phương pháp quy nạp toán học

    Phương pháp chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n.

    すべての自然（しぜん）数（すう）nに対（たい）して命題（めいだい）が正（ただ）しいことを証明（しょうめい）する手法（しゅほう）。

  • 垂直（すいちょく）二（に）等（とう）分線（ぶんせん）đường trung trực

    Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.

    線分（せんぶん）の中点（ちゅうてん）を通（とお）り、その線分（せんぶん）に垂直（すいちょく）な直線（ちょくせん）。

  • 内分（ないぶん）する点（てん）điểm chia trong

    Điểm nằm trên đoạn thẳng nối hai điểm và chia đoạn thẳng đó theo một tỷ lệ cho trước.

    2点（てん）を結（むす）ぶ線分（せんぶん）上（じょう）にあり、その線分（せんぶん）を与（あた）えられた比率（ひりつ）で分（わ）ける点（てん）。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：複素（ふくそ）数列（すうれつ）の初項（しょこう）と第（だい）2項（こう）を計算（けいさん）する

    Bước 1: Tính các số hạng đầu của dãy số phức

    Từ \(a_{1} = i\), sử dụng công thức \(a_{n + 1} = 1 + 1 / a_{n}\) để tính \(a_{2} = 1 - i\) và \(a_{3} = (3 + i) / 2\).

    \(a_{1} = i\) から漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 1} = 1 + 1 / a_{n}\) を用（もち）いて \(a_{2} = 1 - i\) および \(a_{3} = (3 + i) / 2\) を計算（けいさん）します。

  2. 02
    ステップ2：数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）で幾何（きか）学（がく）的（てき）性質（せいしつ）を証明（しょうめい）する

    Bước 2: Chứng minh tính chất hình học bằng quy nạp toán học

    Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh mọi số hạng \(a_{n}\) đều thỏa mãn phương trình đường tròn |z - 1/2| = \(\sqrt{5} / 2\).

    数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）を用（もち）いて、すべての項（こう） \(a_{n}\) が円（えん）の方程（ほうてい）式（しき） |z - 1/2| = \(\sqrt{5} / 2\) を満（み）たすことを証明（しょうめい）します。

  3. 03
    ステップ3：分数（ぶんすう）写像（しゃぞう）の変形（へんけい）を行（おこな）う

    Bước 3: Biến đổi phép ánh xạ phân thức

    Đặt w = 1 + 1/z, ta suy ra z = 1/(w-1). Thế z vào phương trình đường tròn ban đầu.

    w = 1 + 1/z と置（お）くと z = 1/(w-1) が得（え）られます。これを元（もと）の円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）に代入（だいにゅう）します。

  4. 04
    ステップ4：点（てん）wの距離（きょり）関係（かんけい）式（しき）を導出（どうしゅつ）する

    Bước 4: Rút ra quan hệ khoảng cách của điểm w

    Rút gọn phương trình vừa thế để thu được quan hệ khoảng cách |w-3| = \(\sqrt{5}\)|w-1| trên mặt phẳng số phức.

    代入（だいにゅう）した式（しき）を整理（せいり）することで、複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の距離（きょり）関係（かんけい）式（しき） |w-3| = \(\sqrt{5}\)|w-1| を導出（どうしゅつ）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Tính sai 1/i thành i dẫn đến \(a_{2} = 1 + i\) thay vì 1 - i.1/i を誤（あやま）って i と計算（けいさん）し、\(a_{2}\) を 1 - i ではなく 1 + i とすること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Vì \(i^{2} = -1\) nên 1/i = -i, do đó \(a_{2} = 1 - i\).\(i^{2} = -1\) であるため 1/i = -i となり、したがって \(a_{2} = 1 - i\) です。

Biến đổi z = 1/(w-1) sai thành z = 1/(w+1) khi thực hiện phép đổi biến w = 1 + 1/z.変数（へんすう）変換（へんかん） w = 1 + 1/z において z = 1/(w-1) を誤（あやま）って z = 1/(w+1) と変形（へんけい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Từ w = 1 + 1/z suy ra w - 1 = 1/z, do đó z = 1/(w-1) mới là kết quả đúng.w = 1 + 1/z より w - 1 = 1/z となるため、正（ただ）しい変形（へんけい）は z = 1/(w-1) です。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Dãy số phức thỏa mãn công thức truy hồi phân thức \(a_{n + 1} = 1 + 1 / a_{n}\) với \(a_{1} = i\).複素（ふくそ）数列（すうれつ）は初期（しょき）値（ち） \(a_{1} = i\) と分数（ぶんすう）型（がた）漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 1} = 1 + 1 / a_{n}\) を満（み）たします。
  • Tất cả các số hạng \(a_{n}\) của dãy đều nằm trên đường tròn |z - 1/2| = \(\sqrt{5} / 2\).数列（すうれつ）のすべての項（こう） \(a_{n}\) は円（えん） |z - 1/2| = \(\sqrt{5} / 2\) 上（うえ）に存在（そんざい）します。
  • Phép biến đổi w = 1 + 1/z thỏa mãn mối quan hệ khoảng cách |w-3| = \(\sqrt{5}\)|w-1|.変換（へんかん） w = 1 + 1/z は距離（きょり）関係（かんけい）式（しき） |w-3| = \(\sqrt{5}\)|w-1| を満（み）たします。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

a_1 = i, a_{n+1} = 1 + \frac{1}{a_n}

Công thức truy hồi dạng phân thức của dãy số phức với giá trị ban đầu \(a_{1} = i\).

初期（しょき）値（ち） \(a_{1} = i\) を持（も）つ複素（ふくそ）数列（すうれつ）の分数（ぶんすう）型（がた）漸化（ぜんか）式（しき）。

\left| z - \frac{1}{2} \right| = \frac{\sqrt{5}}{2}

Phương trình đường tròn chứa tất cả các số hạng của dãy số phức.

複素（ふくそ）数列（すうれつ）のすべての項（こう）が含（ふく）まれる円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）。

w = f(z) = 1 + \frac{1}{z}

Phép biến đổi phân thức biểu diễn mối liên hệ giữa z và w.

zとwの関係（かんけい）を表（あらわ）す分数（ぶんすう）変換（へんかん）。

|w-3| = \sqrt{5}|w-1|

Đẳng thức khoảng cách đại diện cho quỹ tích điểm w thu được sau phép biến đổi.

変換（へんかん）後（ご）に得（え）られる点（てん）wの軌跡（きせき）を表（あらわ）す距離（きょり）の等式（とうしき）。

EJU 2026 · MATH.12.2 · MATH.15.3

Bài học này nghiên cứu dãy số phức cho bởi công thức truy hồi dạng phân thức và tính chất hình học của chúng trên mặt phẳng số phức.

本課（ほんか）では分数（ぶんすう）式（しき）を漸化（ぜんか）式（しき）とする複素（ふくそ）数列（すうれつ）の性質（せいしつ）と、複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）におけるその幾何（きか）学（がく）的（てき）特徴（とくちょう）を研究（けんきゅう）します。

分数（ぶんすう）式（しき）を漸化（ぜんか）式（しき）とする複素（ふくそ）数列（すうれつ）
複素数平面漸化式複素数列数学的帰納法